精品解析：山东省菏泽市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题（B)

2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题（B） 2025.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程直接求解即可. 【详解】由抛物线的方程可知：，所以准线方程为. 故选：D 2. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线的方向向量求得直线斜率，即可求出直线倾斜角. 【详解】由直线的方向向量为可知直线斜率， 又因为倾斜角，且，所以. 故选：C 3. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 4. 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴和虚轴的长度列方程即可求解得解. 【详解】由题意可知：实轴长为，虚轴长为， 故，解得， 故双曲线方程为， 故选：C 5. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心距，与半径之和，半径之差的绝对值比较大小即可判断. 【详解】由题可得：,,,,所以， 则，则这两个圆的位置关系为相交； 故选：C 6. 已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可得，即可得出离心率. 【详解】设长轴为，焦距为， 由题意有，得. 故选：C. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据条件得到，从而将问题转化成与圆有交点，再利用两圆的位置关系即可求出结果. 【详解】设，则由，得到， 整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点， 又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 所以，解得， 故选：D. 8. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】由题意，椭圆的左焦点为， 由椭圆定义可得，所以， 因为,故在椭圆内， 所以， 当三点共线时，等号成立. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线化为，代入两平行线间距离公式分析求解. 【详解】将直线化， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 10. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线表示一个圆 B. 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可. 【详解】当时，曲线是，故A正确； 当时，曲线表示一个圆，故B错误； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 当时，曲线表示焦点在轴上双曲线，故D正确. 故选：ACD. 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，联立直线方程和抛物线方程后可得，，据此逐项计算后可得正确的选项. 【详解】 由题设有过焦点，而， 设，则可得即， 此时且，， 故，故A正确； ， 故B正确； 对于C，， 而，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故C成立； 对于D，故直线与间的距离， 当且仅当时等号成立，故直线与间的距离最小值为8， 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______ 【答案】 【解析】 【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可. 【详解】由题意知：直线的方程为，即， 所以在轴上的截距为. 故答案为：. 13. 抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线上的动点坐标为，利用点到直线的距离公式结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设抛物线上的动点坐标为， 则点到直线的距离 ， 当，即时，距离最小值为， 此时点坐标为． 故答案为：． 14. 取两颗小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条绳子两端固定在这两只钉子上，且绳长为12，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值是________. 【答案】18 【解析】 【详解】设为其焦点，点为椭圆上一点， 则， ， 当时等号成立，此时两个钉子之间的距离为. 故答案为：18. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）求边的垂直平分线所在的直线的方程； （2）若的面积为5，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）由题意直线的斜率公式，两直线垂直的性质，求出的斜率，再用点斜式求直线的方程． （2）根据的面积为5，求得点到直线的距离，再利用点到直线的距离公式，求得的值． 【详解】解：（1），， 的中点的坐标为， 又 设边的垂直平分线所在的直线的斜率为 则 ， 可得的方程为， 即． 边的垂直平分线所在的直线的方程 （2）边所在的直线方程为 设边上的高为即点到直线的距离为 且 解得 解得或， 点的坐标为或． 16. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式得，求得，即可求解方程； （2）由点差法化为，根据中点坐标可得直线斜率从而求出直线方程． 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以 又因为，解得，故抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，则 ，所以，化为 又因为的中点为，所以， 则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为 整理得． 17. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. （1）求椭圆的离心率； （2）设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“伸缩变换”的定义得到的方程，然后求离心率即可； （2）根据得到的方程，然后设的方程，与的方程联立，根据相切得到，即可得到，为关于的方程的两根，然后利用韦达定理得到，最后将代入即可. 【小问1详解】 对于椭圆：，所以为， 故椭圆：（）中，， 故， 则椭圆的离心率. 【小问2详解】 由题解得，所以椭圆：， 设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于方程的两根， 所以. 又点在椭圆：上，所以， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 18. 已知圆：. （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）过点作直线与圆交于两点，若与垂直，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦的长度. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化成标准形式，求出圆心、半径. （2）按直线的斜率是否存在，设出其方程并与圆的方程联立，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列式计算并验证得解. （3）利用（2）中信息求出弦长. 【小问1详解】 依题意，圆：， 所以圆心的坐标为，半径. 【小问2详解】 当直线斜率存在时，设其方程为， 由消去得， 则， 由，得， 即，整理得， 于是，整理得，解得或， 当时，直线与圆交于点，与之一为，不符合题意， 当时，直线过圆的圆心，线段为圆的直径，符合题意， 当直线斜率不存在时，直线方程为，代入圆方程得，不妨设， ，，不符合题意， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 由（2）知直线，弦为圆的直径，则， 所以弦的长度. 19. 已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求证：点E恒在一条定直线L上； （2）若两直线与L交于点N，，求的值； （3）若点A、B都在双曲线C右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）0 （3）存在 【解析】 【分析】（1）设，由题意可证得点A，B都在直线上，直线l过点，可得，即可证明点E恒在定直线上． （2）法一：设，由可得，将其带入双曲线方程可得，同理可得，由根与系数的关系可得． 法二：由题意知，设l的方程：，联立直线与双曲线的方程，设，由可得，同理，将韦达定理代入即可得出答案. （3）设，与联立，设，表示出，将韦达定理代入化简即可得出答案. 【小问1详解】 证明：设， 由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：， 同理可得：，易知点A，B都在直线上， 所以直线l的方程为：， 因为直线l过点，所以， 所以点E恒在定直线上． 【小问2详解】 法一：设，因，所以 整理得 因为点在双曲线上，所以， 整理得， 同理可得， 所以，是关于x的方程的两个实根， 所以． 法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：， 联立得：， 所以， 设，因为，所以，所以， 同理， 所以 . 【小问3详解】 设，与联立得： ， ， 因为直线L的方程为，所以， 所以， 同理， 所以， 故存在，使得． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中考试 高二数学试题（B） 2025.11 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线的准线方程为（ ） A B. C. D. 2. 已知向量是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A B. C. D. 5. 已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（ ） A 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 6. 已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最大值为（ ） A. B. 5 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（ ） A. B. C. 12 D. 14 10. 已知曲线的方程为，则（ ） A. 当时，曲线表示一个圆 B 当时，曲线表示椭圆 C. 当时，曲线表示焦点在轴上双曲线 D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为______ 13. 抛物线上的点到直线的距离最小，则点坐标是________． 14. 取两颗小钉子并钉在一张平板上（平板上垫有纸），将一条绳子两端固定在这两只钉子上，且绳长为12，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖顺势在平板上移动一圈，则笔尖在纸上画出的图形是一个椭圆.在上述实验中，笔尖与两个钉子所围成的三角形的面积的最大值是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在平面直角坐标系内，已知的三个顶点坐标分别为． （1）求边的垂直平分线所在的直线的方程； （2）若的面积为5，求点的坐标． 16. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. （1）求椭圆的离心率； （2）设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 18. 已知圆：. （1）求圆的圆心坐标和半径； （2）过点作直线与圆交于两点，若与垂直，求直线的方程； （3）在（2）的条件下，求弦的长度. 19. 已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为） （1）求证：点E恒在一条定直线L上； （2）若两直线与L交于点N，，求的值； （3）若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别作直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $