课题学习 数学好玩（知识梳理+5个考点讲练+真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年北师大版数学五年级上册单元复习举一反三培优精讲练

该小学数学讲义通过知识梳理与技巧点拨系统构建北师大版五年级上册“数学好玩”单元体系，以框架图呈现设计秋游方案、图形间隔排列规律、鸡兔同笼三大知识点，用表格归纳鸡兔同笼多种解法公式，清晰展现最优化思想、归纳递推等重难点的内在联系。 讲义亮点在于高频考点讲练与分层设计，精选近两年名校易错题如租船方案比较、数与形规律题，通过列表法假设法等培养数学思维，分层练习从基础夯实到创新拓展适配不同学生，助力教师精准教学与学生自主提升。

课题学习 数学好玩 （知识梳理+5个考点讲练+真题演练+难度分层练 共40题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：设计秋游方案（简单规划问题） 2 知识点梳理02：图形中的规律（间隔排列规律） 2 知识点梳理03：尝试与猜测（鸡兔同笼） 2 重点难点 考点讲练 3 高频考点讲练1 设计秋游方案（租船问题） 3 高频考点讲练2 数与形(归纳递推） 5 高频考点讲练3 列表法解鸡兔同笼 7 高频考点讲练4 假设法解鸡兔同笼 10 高频考点讲练5 方程法解鸡兔同笼 11 升学真题 实战演练 13 优选题型 培优强化 17 基础夯实 能力提升 17 创新拓展 拔尖冲刺 24 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：设计秋游方案（简单规划问题） 最优化问题：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果。最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 知识点梳理02：图形中的规律（间隔排列规律） 事物的间隔排列规律：间隔排列是指两种物体一个隔一个地排成一行的排列方式，它具有以下规律： 当两端物体相同时，两端物体比中间物体多 1。 当两端物体不同时，两种物体数量相等。 在解决一些数学问题时，可以利用间隔排列的规律快速确定物体的数量。 生活中的设计与布局：在园林设计中，常常利用间隔排列规律来布置花卉和树木，使景观更加美观。比如，在一条小路两边每隔一段距离种一朵花和一棵树，形成有规律的间隔排列。 室内装饰中，也会运用间隔排列来摆放装饰品，如在书架上间隔排列书籍和摆件。 知识点梳理03：尝试与猜测（鸡兔同笼） 鸡兔同笼：方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 公式1：（兔的脚数×总只数﹣总脚数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝鸡的只数； 总只数﹣鸡的只数＝兔的只数 公式2：（ 总脚数﹣鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数 公式3：总脚数÷2﹣总头数＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数 公式4：鸡的只数＝（4×鸡兔总只数﹣鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数＝鸡兔总只数﹣鸡的只数 公式5：兔总只数＝（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数＝鸡兔总只数﹣兔总只数 公式6：（头数x4﹣实际脚数）÷2＝鸡 公式7：4×+2（总数﹣x）＝总脚数 （x＝兔，总数﹣x＝鸡数，用于方程） 公式8：鸡的只数：兔的只数＝兔的脚数﹣（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）﹣鸡的脚数． 高频考点讲练1 设计秋游方案（租船问题） 【典例精讲】（23-24五年级上·广东深圳·期中）金汉斯自助餐店庆推出两种优惠方案。 A方案：小孩每位48元，大人每位68元。 B方案：团体5人以上（含5人），每位55元。 3位大人带4个小孩选择哪种方案合算？你的理由是什么？ 【答案】B方案；理由见详解 【思路引导】根据题意的两种购买票的方案，大人多时，大人票不如团体票便宜，所以大人尽量购买团体票；同理，小孩票比团体票便宜，小孩多时，小孩尽量购买小孩票；据此分别计算出应付的钱数，再进行比较，即可解答。 【规范解答】A方案：3个大人买大人票，4个小孩买小孩票。 68×3＋48×4 ＝204＋192 ＝396（元） B方案：买团体票 55×（3＋4） ＝55×7 ＝385（元） 396＞385 答：3位大人带4个小孩选择B方案合算，因为A方案396元，B方案385元，B方案比较便宜。 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）七月份，渤海湾红海滩风景区推出两种优惠方案． A B 成人每位120元 小孩每位40元 团体5人以上（含5人）每位70元 （1）3个大人，10个小孩选哪种方案便宜？需要多少钱？ （2）10个大人，3个小孩选哪种方案便宜？需要多少钱？ 【答案】（1）A；760元 （2）B；910元 【思路引导】根据题意的两种购买票的方案，成人多时，成人票不如团体票便宜，所以成人尽量购买团体票；同理，小孩票比团体票便宜，小孩多时，小孩尽量购买小孩票；据此分别计算出应付的钱数，再进行比较，即可解答。 【规范解答】（1）方案A： 3个大人购买大人票，10个小孩购买小孩票： 3×120＋10×40 ＝360＋400 ＝760（元） 方案B： 购买团体票：（3＋10）×70 ＝13×70 ＝910（元） 760元＜910元 答：3个大人，10个小孩选A方案便宜，需要760元。 （2）方案A：10×120＋3×40 ＝1200＋120 ＝1320（元） 购买团体票：70×（10＋3） ＝70×13 ＝910（元） 1320元＞910元 答：10个大人，3个小孩选B方案便宜，需要910元。 【变式训练2】（2024六年级下·辽宁·专题练习）旅游费用策略。 新兴旅行社推出假日旅游A、B两种方案。           A方案              B方案 （1）小明要同爸爸、妈妈、爷爷、奶奶去旅游，选哪种方案省钱？ （2）李老师带领6名同学去旅游，选哪种方案省钱？ 【答案】（1）B方案 （2）A方案 【思路引导】（1）小明是小孩，还有4个大人，则A方案的总价钱＝小孩的钱＋4×每个大人的钱；小明一家一共5个人去，正好可以报团体票，则B方案的总价钱＝100×人数。两个方案的价钱进行比较，价钱少的就选哪种方案。 （2）李老师带领6名同学一共有6个小孩和1个大人，则A方案的总价钱＝每个小孩的钱×6＋1个大人的钱；李老师带领6名同学一共有7个人，正好可以报团体票，则B方案的总价钱＝100×人数。两个方案的价钱进行比较，价钱少的就选哪种方案。 【规范解答】（1）A方案：140×4＋30 ＝560＋30 ＝590（元） B方案：100×5＝500（元） 590＞500 答：B方案省钱。 （2）A方案：140＋6×30 ＝140＋180 ＝320（元） B方案：100×7＝700（元） 320＜700 答：A方案省钱。 高频考点讲练2 数与形(归纳递推） 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江·期末）如图，一张桌子配4把椅子，两张桌子拼在一起配6把椅子，照这样的规律摆放，6张桌子需要( )把椅子；摆( )张桌子要20把椅子。 【答案】 14 9 【思路引导】观察可知，左右两边的2把椅子不变，每加一张桌子就增加2把椅子，因此规律是有n张桌子，就有把椅子。据此解答。 【规范解答】6张桌子需要的椅子： （把） 解：设摆n张桌子要20把椅子。 因此，6张桌子需要14把椅子；摆9张桌子要20把椅子。 【变式训练1】（22-23四年级下·安徽阜阳·期中）如图，用三角形纸片摆图形。用到三角形纸片的数量分别是1，3，6，10…，4，9，16…接着摆下去。第8个图形需要( )个三角形纸片。能摆( )个三角形。 【答案】 36 64 【思路引导】三角形纸片的个数分别为1，3，6，10…，可以看出来，1到3增加了2，3到6增加了3，6到10增加了4，按照规律，10到下一个数应该增加5，小三角形的个数为：1，4，9，16…第一个图形中三角形的个数为：1×1，第二个图形中三角形的个数为：2×2，第三个图形中三角形的个数为：3×3，第四个图形中三角形的个数为：4×4。第8个图形需要三角形纸片（1＋2＋3＋…＋8）个；能摆出三角形的个数是8×8，据此解答即可。 【规范解答】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个） 8×8＝64（个） 用三角形纸片摆图形。用到三角形纸片的数量分别是1，3，6，10…，4，9，16…接着摆下去。第8个图形需要36个三角形纸片。能摆64个三角形。 【变式训练2】（23-24五年级上·福建泉州·期末）仔细观察下图，照这样第6个图形有( )个点。 1＝1     6＝1＋5   15＝1＋5＋9 第1个   第2个    第3个 【答案】66 【思路引导】通过观察可知，第1个图形有1个点，第2个图形有（1＋5）个点，第3个图形有（1＋5＋9）个点，第4个图形有（1＋5＋9＋13）个点，也就是28个点，已知1＝1×1，6＝2×3，15＝3×5，28＝4×7，…n×（2n－1），以此类推，第n个图形的点数量是（2n－1）n。据此解答。 【规范解答】根据分析可知，第6个图形有：6×11＝66（个） 照这样第6个图形有66个点。 高频考点讲练3 列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江·期末）如表，小明用列表法解决“鸡兔共21只，56条腿，鸡兔各有多少只？”的数学问题，观察表格，小明第四次尝试，如果想找到正确答案，鸡应该调整到（    ）只。 鸡的只数/只 1 8 15 兔的只数/只 20 13 6 总腿数/条 82 68 54 A．18 B．16 C．14 D．7 【答案】C 【思路引导】已知“鸡兔共21只，56条腿”，第三次尝试时，鸡有15只，兔有6只，总腿数是54条，54＜56，所以鸡的只数应该减少，兔子的只数应该增加； 第三次尝试的总腿数比实际总腿数少了（56－54）条，因为每只鸡比兔的腿数少（4－2）条，用少的总腿数除以每只鸡比兔少的腿数，即可求出鸡应减少的只数，进而得出第四次尝试时鸡应该调整到的只数。 【规范解答】54＜56 鸡要减少： （56－54）÷（4－2） ＝2÷2 ＝1（只） 15－1＝14（只） 小明第四次尝试，如果想找到正确答案，鸡应该调整到14只。 如下表： 鸡的只数/只 1 8 15 14 兔的只数/只 20 13 6 7 总腿数/条 82 68 54 56 故答案为：C 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江金华·期末）今年植树节李叔叔花了734元买了茶树和楠木两种树苗，一共56棵，茶树苗每棵16元，楠木苗每棵7元。茶树苗和楠木苗分别有多少棵？ （1）请写出列表解答的过程，并在括号里填写得数。 树苗总数/棵 茶树/棵 楠木/棵 总价/元 答：茶树苗买了（    ）棵，楠木苗买了（    ）棵。 （2）现在，李叔叔发现7棵树苗没有成活，没有成活的占树苗总数的几分之几？成活的占树苗总数的几分之几？（请用最简分数表示） 【答案】（1）见详解； （2）；。 【思路引导】（1）由题意可知，茶树和楠木的数量之和是56棵，可假设茶树和楠木各有一半，即28棵。算出总价为644元，低于实际的总价，所以要将茶树的数量逐一增加，楠木的数量逐一减少进行调整，直到总价与实际总价相等为止。因表格有限，可选择调整的最后四组数据填入表格即可。 （2）求一个数是另一个数的几分之几，用一个数除以另一个数。据此解答。 【规范解答】（1） 树苗总数/棵 茶树/棵 楠木/棵 总价/元 56 35 21 707 56 36 20 716 56 37 19 725 56 38 18 734 （答案不唯一） 答：茶树苗买了38棵，楠木苗买了18棵。 （2）    56－7＝49（棵） 49÷56＝ 答：没有成活的占树苗总数的，成活的占树苗总数的。 【变式训练2】（23-24五年级上·四川成都·期末）张阿姨是茶店老板，她用1040元买了7千克茶叶。已知红茶120元/千克，绿茶160元/千克，两种茶叶各买了多少千克？请用列表法解决问题。 【答案】红茶叶买了2千克，绿茶叶买了5千克 【思路引导】由于茶叶总共有7千克，即红茶的千克数×120＋绿茶的千克数×160＝1040元，据此列表解答。 【规范解答】 总千克数 红茶/千克 绿茶/千克 总钱数 7 1 6 1080 7 2 5 1040 7 3 4 1000 7 4 3 960 7 5 2 920 7 6 1 880 2×120＋5×160 ＝240＋800 ＝1040（元） 答：红茶叶买了2千克，绿茶叶买了5千克。 高频考点讲练4 假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋城·期末）第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举行。天天购买了价值88.5元的亚冬会吉祥物“滨滨”，付给售货员100元，找回1元和5角的硬币共14枚，其中1元的硬币有( )枚，5角的硬币有( )枚。 【答案】 9 5 【思路引导】已知购买了价值88.5元的亚冬会吉祥物“滨滨”，付给售货员100元，那么应找回100－88.5＝11.5元。 已知找回1元和5角的硬币共14枚，假设全是5角（即0.5元）的硬币，应有（14×0.5）元，与实际找回的钱数相差（11.5－14×0.5）元；因为不全是5角的硬币，1元硬币与5角硬币相差（1－0.5）元，用除法求出（11.5－14×0.5）元里有几个（1－0.5）元，就有几枚1元的硬币，再用找回硬币的总枚数减去1元硬币的枚数，即是5角硬币的枚数。注意单位的换算：1元＝10角。 【规范解答】100－88.5＝11.5（元） 5角＝0.5元 1元的硬币： （11.5－14×0.5）÷（1－0.5） ＝（11.5－7）÷0.5 ＝4.5÷0.5 ＝9（枚） 5角的硬币：14－9＝5（枚） 填空如下： 其中1元的硬币有（9）枚，5角的硬币有（5）枚。 【变式训练1】（23-24五年级上·河南商丘·期末）五（1）班26名同学参加植树活动，共植树100棵。男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，参加植树活动的男、女生各有多少人？ 【答案】11人；15人 【思路引导】假设全是女生，应该植树（26×3）棵，比实际少了（100－26×3）棵，因为将男生算成女生，每个男生少算了（5－3）棵，少的棵数÷每个男生少算的棵数＝男生人数，总人数－男生人数＝女生人数，据此列式解答。 【规范解答】（100－26×3）÷（5－3） ＝（100－78）÷2 ＝22÷2 ＝11（人） 26－11＝15（人） 答：参加植树活动的男、女生各有11人、15人。 【变式训练2】（24-25五年级上·陕西榆林·期末）榆林市位于陕西省最北部，是国家历史文化名城。榆林市某学校举行了古诗词大赛，总共12道题，答对一道题加10分，不答或答错一道题扣6分，宁宁最后得了88分，宁宁答对了( )道题。 【答案】10 【思路引导】假设12道题全部答对，应得（12×10）分，与实际得分相差（12×10－88）分；因为每答对一道题与不答或答错一道题相差（10＋6）分，用除法求出（12×10－88）分里面有几个（10＋6）分，就有几道题答错，再用总题数减去答错的题数，即是答对的题数。 【规范解答】假设全部答对，则不答或答错的题的数量： （12×10－88）÷（10＋6） ＝（120－88）÷16 ＝32÷16 ＝2（道） 答对：12－2＝10（道） 宁宁答对了10道题。 高频考点讲练5 方程法解鸡兔同笼 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）为了庆祝学校建校20周年，明星小学举行数学竞赛。本次竞赛共20题，答对一题得6分，答错一题扣4分。小敏得了80分，她答对了多少道题？ 【答案】16道 【思路引导】设她答对了x道题，则答错了（20－x）道题；答对一道得6分，x道题得6x分；打错一道扣4分，（20－x）道题扣（20－x）×4分；用答对题得的分数－打错题扣的分数＝小敏得的分数，列方程：6x－（20－x）×4＝80，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设她答对了x道题，则打错了（20－x）道题。 6x－（20－x）×4＝80 6x－20×4＋4x＝80 10x－80＝80 10x－80＋80＝80＋80 10x＝160 10x÷10＝160÷10 x＝16 答：她答对了16道题。 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江金华·期末）五（1）班有象棋、飞行棋共15副，恰好可供全班40名同学同时进行活动，象棋要2人下一副，飞行棋要4人下一副，象棋有( )副，飞行棋有( )副。 【答案】 10 5 【思路引导】根据题意可设象棋有x副，则此时飞行棋有（15-x）副，总人数40人＝象棋副数×2＋飞行棋副数×4，列出方程解出未知数x的值，据此可得出答案。 【规范解答】解：设象棋有x副，则此时飞行棋有（15-x）副，可列出方程： 则象棋有10副，飞行棋有（副）。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）我国明代珠算发明家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完。如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 【答案】大和尚：25人；小和尚：75人 【思路引导】根据题中熟练关系：大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100；设大和尚有x人，则小和尚有（100－x）人；大和尚1人分3个馒头，x人分3x个馒头；小和尚每3人分一个馒头，（100－x）人分得（100－x）÷3个馒头；一共100个，列方程：3x＋（100－x）÷3＝100，解方程，即可解答。 【规范解答】解：设大和尚有x人，小和尚有（100－x）人。 3x＋（100－x）÷3＝100 3x×3＋（100－x）＝100×3 9x＋100－x＝300 8x＝300－100 8x＝200 x＝200÷8 x＝25 小和尚：100－25＝75（人） 答：大和尚有25人，小和尚有75人。 【考点剖析】本题属于鸡兔同笼问题，利用大和尚和小和尚人数与分馒头数量关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 【演练1】（2025·吉林长春·小升初真题）根据数字间的关系，找规律填空，“？”＝( )。 【答案】528 【思路引导】根据前三个图形中的数字关系可知： 图一：18×10＋17＝180＋17＝197； 图二：92×10＋33＝920＋33＝953； 图三：307×10＋45＝3070＋45＝3115； 所以数字规律为：右上角的数×10＋左上角的数＝下面的数； 据此可求出“？”所代表的数。 【规范解答】根据分析可知： 51×10＋18 ＝510＋18 ＝528 【考点剖析】本题关键在于找出每个图中三个数之间的数量关系。 【演练2】（2025·吉林长春·小升初真题）如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 【答案】B 【思路引导】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。 【规范解答】第7个图形中木块的总数是： （块） 第7个图形中看得到的块数是： （块） 第7个图形中看不到的块数是： （块） 故答案为：B 【考点剖析】本题核心考查“图形规律探索，立体空间想象，数列运算”的综合能力，需通过观察图形推导数量规律，结合平方数、等差数列求和计算，同时想象立体结构区分可见和不可见木块。 【演练3】（2025·吉林长春·小升初真题）现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【思路引导】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【规范解答】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝24 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【考点剖析】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 【演练4】（2025·吉林长春·小升初真题）一张纸的厚度大约为0.09mm，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作……假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ）。 A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 【答案】D 【思路引导】一张纸对折1次，平均分成2份，厚度是原来的2倍；对折2次，平均分成（2×2）份，厚度是原来的4倍；对折3次，平均分成（2×2×2）份，厚度是原来的8倍……，对折10次，平均分成（2×2×2×2×2×2×2×2×2×2）份，厚度是原来的（2×2×2×2×2×2×2×2×2×2）倍； 用这张纸的厚度乘对折10次后厚度是原来的倍数，即可求出这张纸对折10次后的厚度，再与各选项进行对比，找出厚度最接近的物体。 【规范解答】2×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1024 0.09×1024＝92.16（mm） 92.16mm＝9.216cm A．数学课本的厚度大约在4cm以内，小于这张纸第10次操作后的厚度； B．姚明的身高大约是2.26m，2.26m＝226cm，大于这张纸第10次操作后的厚度； C．一层楼房的高度大约是3m，3m＝300cm，大于这张纸第10次操作后的厚度；； D．一支中性笔的长度大约是10cm，最接近这张纸第10次操作后的厚度。 故答案为：D 【演练5】（2025·吉林长春·小升初真题）阳光小学组织安全意识知识竞赛，共20题，评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分，芳芳小组弃权两题，得了120分，他们答对了 题。 【答案】14 【思路引导】竞赛共20题，弃权2题，所以实际参与答对或答错的题目数量为（20－2）题。设芳芳小组答对了x题，则答错了（20－2－x）题。答对一题得10分，所以答对的分数为10x分；答错一题扣5分，所以答错扣的分数为5×（18－x）分。根据最后得了120分，可列方程：10x－5×（20－2－x）＝120。然后解方程即可。 【规范解答】解：设芳芳小组答对了x题。 10x－5×（20－2－x）＝120 10x－5×（18－x）＝120 10x－90＋5x＝120 15x－90＝120 15x＝120＋90 15x＝210 x＝210÷15 x＝14 所以他们答对了14道题。 基础夯实 能力提升 1．（22-23五年级上·河南鹤壁·期末）循环小数0.1875875…小数部分第10位上的数字是（    ）。 A．8 B．7 C．5 【答案】C 【思路引导】循环小数0.1875875…的循环节是875，用10减去小数部分第一个数字，剩下的就是循环节的数，也就是有9个数，一个循环节有3个数，所以正好循环了3次，因此末尾是5。 【规范解答】10－1＝9 9÷3＝3 所以第10位是循环节的最后一个数字5。 故答案为：C 【考点剖析】重点是能够知道第10位数字是循环了几次的循环节。 2．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）下面是由完全相同的正方形按规律摆成的图形，第1个图中有1个正方形，第2个图中有3个正方形，第3个图中有6个正方形，第4个图中有10个正方形，……，按此规律，第8个图中有（    ）个正方形。    A．42 B．40 C．38 D．36 【答案】D 【思路引导】观察可得规律，第1个图中有1个正方形，第2个图中有1＋2＝3个正方形，第3个图中有1＋2＋3＝6个正方形，第4个图中有1＋2＋3＋4＝10个正方形，按此规律，第8个图中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8个正方形，据此解答。 【规范解答】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个） 按此规律，第8个图中有36个正方形。 故答案为：D 【考点剖析】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。 3．（21-22五年级上·辽宁朝阳·期末）小明用火柴棒这样摆三角形，像这样继续摆，用25根火柴棒能摆出（    ）个三角形。 A．10 B．11 C．12 【答案】C 【思路引导】分析给出的图形，摆1个三角形需要3根火柴棒，摆2个三角形需要5根火柴棒，摆3个三角形需要7根火柴棒……第一个三角形需要3根火柴棒，以后每增加1个三角形就需要增加2根火柴棒，即摆出n个三角形时需要的火柴棒数量为：3＋（n－1）×2＝2n＋1，据此求出25根火柴棒可以摆出的三角形的数量即可。 【规范解答】（25－1）÷2 ＝24÷2 ＝12（个） 故答案为：C 【考点剖析】找出火柴棒的数量随三角形的数量变化的规律是解答本题的关键。 4．（2023·陕西西安·小升初真题）如图所示：一张桌子坐6人，2张桌子坐 人，n张桌子坐 人。 【答案】 10 4n＋2 【思路引导】观察可得，一张桌子坐（2＋4）人，2张桌子坐（2＋4×2）人，……就是有几张桌子就坐几个4加2人。n张桌子坐的人即可求。 【规范解答】一张桌子坐： 2＋4＝6（人） 2张桌子坐： 2＋4×2 ＝2＋8 ＝10（人） n张桌子坐：（4n＋2）人。 一张桌子坐6人，2张桌子坐10人，n张桌子坐（4n＋2）人。 【考点剖析】仔细观察，比较总结出规律是解决本题的关键。 5．（20-21六年级下·陕西榆林·期末）把小圆圈按如图所示的规律拼图形，其中第1个图中有3个小圆圈，第2个图中有7个小圆圈，第3个图中有12个小圆圈，……，按此规律排列下去，第8个图中有( )个小圆圈。 【答案】52 【思路引导】根据题意，第1个图中有3个小圆圈，第2个图中有7个小圆圈，第3个图中有12个小圆圈，……，按此规律排列下去，后面的依次比前面的多4、5、6……据此可知第8个图中有52个小圆圈。据此解答即可。 【规范解答】3＋4＝7（个） 7＋5＝12（个） 12＋6＝18（个） 18＋7＝25（个） 25＋8＝33（个） 33＋9＝42（个） 42＋10＝52（个） 第1个图中有3个小圆圈，第2个图中有7个小圆圈，第3个图中有12个小圆圈，……，按此规律排列下去，第8个图中有52个小圆圈。 【考点剖析】本题考查了数与形的规律知识，结合题意分析解答即可。 6．（20-21六年级下·陕西商洛·期末）把小正方形按如图所示的规律拼图案，第1个图中有1个小正方形，第2个图中有7个小正方形，第3个图中有13个小正方形，……，按此规律，第( )个图中有151个小正方形。 【答案】26 【思路引导】第1个图中有1个正方形； 第2个图中有7个正方形； 第3个图中有13个正方形； …… 后面的依次比前面的多6个小正方形，也就是每个图形有（6n－5）个小正方形。 据此求出第几个图中有151个小正方形即可。 【规范解答】6n－5＝151 解：6n－5＋5＝151＋5 6n＝156 6n÷6＝156÷6 n＝26 第26个图中有151个小正方形。 【考点剖析】本题主要考查数与形结合的规律，找出规律，结合题意分析解答即可。 7．（21-22五年级上·陕西汉中·期末）2021年是红军长征胜利85周年，镇巴县某小学举行了以“缅怀革命先烈，传承红色基因”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱组和双人合唱组，共有16组，26名学生参加比赛，单人独唱组和双人合唱组各有多少组？（用列表的方法解决问题） 【答案】单人独唱组有6组，双人合唱组有10组 【思路引导】分析题目，单人独唱组组数＋双人合唱组组数＝16，单人独唱组的组数×1＋双人合唱组的组数×2＝总人数，据此列出表格，找出总人数为26的方法即为所求。 【规范解答】 单人独唱组/组 8 7 6 双人合唱组/组 8 9 10 总人数/人 24 25 26 答：单人独唱组有6组，双人合唱组有10组。 【考点剖析】掌握用列表法解鸡兔同笼问题的方法是解答本题的关键。 8．（21-22五年级上·陕西咸阳·期末）元旦期间某商贸城举行了购物抽奖活动，其中一等奖和二等奖共设置了16个，一等奖奖金为500元，二等奖奖金为100元，一等奖和二等奖的奖金总额为3200元，一等奖和二等奖分别设置了多少个？ 【答案】一等奖设置了4个，二等奖设置了12个 【思路引导】分析题目，假设全是一等奖，算出此时的奖金总金额，再算出此时的奖金总金额和实际奖金总金额的差，最后用总金额之差除以（500－100）即可求出二等奖的个数，进而求出一等奖的个数即可。 【规范解答】假设16个全是一等奖。 16×500＝8000（元） 8000－3200＝4800（元） 二等奖：4800÷（500－100） ＝4800÷400 ＝12（个） 一等奖：16－12＝4（个） 答：一等奖设置了4个，二等奖设置了12个。 【考点剖析】掌握用假设法求鸡兔同笼问题的方法是解答本题的关键。 9．（21-22五年级上·陕西榆林·期末）画一画，填一填。 （1）请画出后面的图形并填空。 （2）想一想，按照这个规律，第10个图形一共由（    ）个点组成。 【答案】（1）见详解 （2）55 【思路引导】（1）根据点子图的变化规律完成作图并填空即可； （2）根据图形可知，这组点子的规律为：第n个图形点子的个数是1＋2＋3＋……＋n，据此解答。 【规范解答】（1） 1＋2＋3＋4 （2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55（个） 第10个图形一共由55个点组成。 【考点剖析】根据给出的图形总结出变化规律是解答本题的关键。 10．（23-24五年级上·山西晋城·期末）2023年全国旅游业复苏，特别是中秋遇上国庆，人们纷纷趁着假日旅行，旅游中有许多的数学问题，请你仔细阅读下面的材料并解决问题。 某旅行社组织168人自驾游，一共乘坐了如图1的商务车和小轿车30辆，并且每辆车都坐满了。 妙想和爸爸妈妈来到生态园观光，生态园有一块形状为梯形的空地（如图2），景区打算在这块地上开垦出一块最大的平行四边形菜地种有机蔬菜，其余地方作为养鸡场散养土鸡。 小王叔叔准备乘坐高铁去杭州旅游，他从家叫了“滴滴打车”去高铁站，他下车时使用支付宝付款，得到红包3.9元，他实际只支付了23.7元车费。打车收费标准如下表： 路程 收费标准 3km以内（包含3km） 8元 3km以上 每增加1km，再收2.8元（不足1km，按1km计算） （1）自驾游的商务车和小轿车各有多少辆？ （2）生态园的养鸡场面积有多大？ （3）菜地和养鸡场的面积分别占梯形面积的几分之几？（化成最简分数） （4）小王叔叔家到高铁站最远有多少千米？ 【答案】（1）商务车：16辆；小轿车：14辆 （2）24平方米 （3）； （4）10千米 【思路引导】（1）设商务车有x辆，则小轿车有（30－x）辆；商务车限乘7人，x辆乘坐7x人，小轿车限乘4人，（30－x）辆乘坐4×（30－x）人，一共168人，列方程：7x＋4×（30－x）＝168，解方程，即可解答。 （2）平行四边形菜地的底等于梯形空地的上底，高等于梯形空地的高；根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，分别求出平行四边形菜地面积和梯形空地面积，再用梯形空地面积－平行四边形菜地面积，即可求出生态园的养鸡场面积。 （3）用平行四边形菜地面积÷梯形空地面积，求出菜地面积分别占梯形面积的分率；用养鸡场面积÷梯形空地面积，求出养鸡场的面积占梯形面积的分率。 （4）用支付宝得到红包钱＋实际付的钱数，求出从家到高铁站实际付费；再用实际付费－8，求出超过3千米的付费，再用超出3千米付费÷2.8，求出超出的路程，再加上3千米，即可求出从家到高铁站的路程。 【规范解答】（1）解：设商务车有x辆，则小轿车有（30－x）辆。 7x＋4×（30－x）＝168 7x＋4×30－4x＝168 3x＋120＝168 3x＝168－120 3x＝48 x＝48÷3 x＝16 小轿车：30－16＝14（辆） 答：商务车有16辆，小轿车有14辆。 （2）（6＋12）×8÷2－6×8 ＝18×8÷2－6×8 ＝144÷2－48 ＝72－48 ＝24（平方米） 答：生态园的养鸡场面积有24平方米。 （3）6×8＝48（平方米） （6＋12）×8÷2 ＝18×8÷2 ＝144÷2 ＝72（平方米） 48÷72＝ （72－48）÷72 ＝24÷72 ＝ 答：菜地的面积占梯形面积的，养鸡场的面积占梯形面积的。 （4）（3.9＋23.7－8）÷2.8＋3 ＝（27.6－8）÷2.8＋3 ＝19.6÷2.8＋3 ＝7＋3 ＝10（千米） 答：小王叔叔家到高铁站最远有10千米。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2024·广东惠州·小升初真题）如图，摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆9个三角形要（    ）根小棒。 A．17 B．19 C．21 【答案】B 【思路引导】摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆3个三角形要7根小棒，每增加1个三角形，就增加2根小棒。 摆1个三角形要3根小棒，可以写成：2×1＋1； 摆2个三角形要5根小棒，可以写成：2×2＋1； 摆3个三角形要7根小棒，可以写成：2×3＋1； …… 由此可知，摆n个三角形，需要（2n＋1）根小棒，据此求出n＝9时，需要小棒的数量，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，摆n个三角形需要（2n＋1）根小棒。 当n＝9时： 2×9＋1 ＝18＋1 ＝19（根） 摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆9个三角形要19根小棒。 故答案为：B 12．（2024·陕西西安·小升初真题）用小棒摆图形，如图，第1个图用6根小棒，第2个图用10根小棒，第3个图用14根小棒，……，按这样的规律摆下去，第（    ）个图用146根小棒。 A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【思路引导】观察图形可知，第1个图用6根小棒，可以写成：4×1＋2； 第2个图形用10个小棒，可以写成：4×2＋2； 第3个图形用14个小棒，可以写成：4×3＋2； …… 由此可知，第n个图形用小棒的根数是：（4n＋2）根；当用小棒的根数是146根，求第几个图形，用146－2，再除以4，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，第n图形需要小棒（4n＋2）根。 （146－2）÷4 ＝144÷4 ＝36（个） 用小棒摆图形，如图，第1个图用6根小棒，第2个图用10根小棒，第3个图用14根小棒，……，按这样的规律摆下去，第36个图用146根小棒。 故答案为：A 13．（23-24五年级上·浙江金华·期末）淘气的储蓄罐里有1角和5角的硬币共计28枚，总额为9.6元，其中5角硬币有（    ）枚。 A．11 B．17 C．14 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】假设储蓄罐里全是1角的硬币，28枚1角硬币总额为2.8元。而实际总额为9.6元，多出的部分是因为把5角当成1角计算造成的。每把一枚5角硬币当成1角硬币就少算了4角。用实际总额与假设总额的差值÷4角，就可以得到5角硬币的数量。 【规范解答】1角＝0.1元，5角＝0.5元 假设全是1角硬币，总额为0.1×28＝2.8元 实际总额为9.6元，相差9.6－2.8＝6.8元 一枚5角硬币当成1角硬币少算0.5－0.1＝0.4元 5角硬币数量为6.8÷0.4＝17枚 故答案为：B 14．（24-25六年级下·陕西西安·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派的数学家喜欢把数和形结合起来研究：如下图，他们画点表示数。按照所给图的规律，第⑤个图形有( )个点，第个图形有( )个点。 【答案】 25 n2 【思路引导】观察图形可知：第①个图形有1个点；第②个图形的点每行2个，有2行，一共有2×2＝4（个）点；第③个图形的点每行3个，有3行，一共有3×3＝9（个）点；第④个图形的点每行4个，有4行，一共有4×4＝16（个）点……由此可知：点的个数＝图形序数的平方。据此解答。 【规范解答】通过分析可得：点的个数＝图形序数的平方 5×5＝25（个），第⑤个图形有25个点；第个图形有n2个点。 15．（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）如图，用相同的小棒摆正方形，……，摆7个小正方形需要( )根小棒。 【答案】22 【思路引导】由题意得，摆1个正方形需要4根小棒，后面每增加1个正方形，只需要增加3根小棒。摆7个正方形时，第1个正方形需要4根小棒，后续的6个正方形都只需要3根小棒。据此解答。 【规范解答】4＋（7－1）×3 ＝4＋6×3 ＝4＋18 ＝22（根） 故摆7个小正方形需要22根小棒。 16．（23-24五年级上·山西吕梁·期末）奇思用小棒按下面的方式摆图形。 图①摆1个梯形用5根小棒，图②摆2个梯形用9根小棒……图⑥摆6个梯形用( )根小棒，61根小棒可以摆( )个梯形。 【答案】 25 15 【思路引导】根据题意，摆1个梯形需要5根小棒，摆2个梯形需要9根小棒，……，n个正梯形需要5＋4（n－1）＝（4n＋1）根小棒，据此解答即可。 【规范解答】当n＝6时， 需要小棒：6×4＋1 ＝24＋1 ＝25（根） （2）当4n＋1＝61时， 4n＋1＝61 4n＋1－1＝61－1 4n＝60 4n÷4＝60÷4 n＝15 图⑥摆6个梯形用25根小棒，61根小棒可以摆15个梯形。 【考点剖析】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力﹔对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点。 17．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）书法是中国特有的一种传统艺术，练习书法不仅可以训练手、眼、脑的协调能力，还可以培养耐心和专注力。周末，笑笑在练习毛笔字时，不小心将墨水洒在了方格纸上（如图），形成的墨水渍的面积约是多少？（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】28平方厘米 【思路引导】可以把不规则图形看成一个近似的长方形，长方形的长近似7厘米，宽近似为4厘米，再用长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解。 【规范解答】7×4＝28（平方厘米） 答：形成的墨水渍的面积约是28平方厘米。 18．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）每年的11月9日是消防安全日。为加强同学们的防火意识，这天学校举行了“消防安全知识竞答比赛”。3号选手共抢答8道题，最后得了64分。她答对了几道题？ 【答案】7道 【思路引导】假设8题全对，就应得分：8×10＝80分，假设就比实际得分多了80－64＝16分，这是因为答错一题，不仅不得分，还要扣6分，这样答对一题和答错一题就相差10＋6＝16分，据此可求出答错的题数，再用总题数减去错的题数，即可求出对的题数。 【规范解答】假设8题全对： （8×10－64）÷（10＋6） ＝（80－64）÷16 ＝16÷16 ＝1（道） 8－1＝7（道） 答：她答对了7道题。 19．（21-22五年级上·广东深圳·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。 （1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。 4＝1＋3             9＝3＋6                  16＝6＋10        _____________ （2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝____________。 【答案】（1）图形见详解；25＝10＋15 （2）45＋55 【思路引导】（1）观察三组图中正方形的圆点数量与边长可知，4＝22，9＝32，16＝42，则它们的边长分别有2、3、4个圆点，那么第四组图形的边应该有5个圆点，正方形一共画5×5＝25（个）圆点；前一组“三角形数”中的第二个，就是后一组“三角形数”的第一个，据此画出直线分割，并写出算式。 （2）观察图形可以发现，“正方形数”等于几的平方，每组中的第二个“三角形数”就等于从1到这个数的连续自然数的和，如9＝32，6＝1＋2＋3；16＝42，10＝1＋2＋3＋4。据此，100＝102，则第二个“三角形数”＝1＋2＋3＋…＋10，计算出结果即可。再用100减去第二个“三角形数”即可算出第一个“三角形数”。 【规范解答】（1）第四组图形如下图： 25＝10＋15 （2）100＝102 第二个“三角形数”：1＋2＋3＋……10 ＝（1＋10）×5 ＝55 第一个“三角形数”：100－55＝45 则把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝45＋55。 【考点剖析】本题考查了数形结合问题。发现“正方形数”和“三角形数”的关系是解题的关键。 20．（23-24五年级上·福建·期末）先数一数，再填一填，你能发现什么规律？ （1）填写下表： 正方形个数 1 2 3 4 5 6 7 … 需要小棒根数 4 7 … （2）这样摆16个正方形，需要多少根小棒？请写出计算过程。 （3）现有106根小棒，能摆多少个这样的正方形？请写出计算过程。 【答案】（1）10；13；16；19；22 （2）49根； （3）35个 【规范解答】（2）16×3＋1＝49（根） （3）（106－1）÷3＝35（个） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 课题学习 数学好玩 （知识梳理+5个考点讲练+真题演练+难度分层练 共40题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：设计秋游方案（简单规划问题） 2 知识点梳理02：图形中的规律（间隔排列规律） 2 知识点梳理03：尝试与猜测（鸡兔同笼） 2 重点难点 考点讲练 3 高频考点讲练1 设计秋游方案（租船问题） 3 高频考点讲练2 数与形(归纳递推） 4 高频考点讲练3 列表法解鸡兔同笼 4 高频考点讲练4 假设法解鸡兔同笼 5 高频考点讲练5 方程法解鸡兔同笼 6 升学真题 实战演练 6 优选题型 培优强化 8 基础夯实 能力提升 8 创新拓展 拔尖冲刺 10 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：设计秋游方案（简单规划问题） 最优化问题：最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果。最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 知识点梳理02：图形中的规律（间隔排列规律） 事物的间隔排列规律：间隔排列是指两种物体一个隔一个地排成一行的排列方式，它具有以下规律： 当两端物体相同时，两端物体比中间物体多 1。 当两端物体不同时，两种物体数量相等。 在解决一些数学问题时，可以利用间隔排列的规律快速确定物体的数量。 生活中的设计与布局：在园林设计中，常常利用间隔排列规律来布置花卉和树木，使景观更加美观。比如，在一条小路两边每隔一段距离种一朵花和一棵树，形成有规律的间隔排列。 室内装饰中，也会运用间隔排列来摆放装饰品，如在书架上间隔排列书籍和摆件。 知识点梳理03：尝试与猜测（鸡兔同笼） 鸡兔同笼：方法：假设法，方程法，抬腿法，列表法 公式1：（兔的脚数×总只数﹣总脚数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝鸡的只数； 总只数﹣鸡的只数＝兔的只数 公式2：（ 总脚数﹣鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数﹣鸡的脚数）＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数 公式3：总脚数÷2﹣总头数＝兔的只数； 总只数﹣兔的只数＝鸡的只数 公式4：鸡的只数＝（4×鸡兔总只数﹣鸡兔总脚数）÷2； 兔的只数＝鸡兔总只数﹣鸡的只数 公式5：兔总只数＝（鸡兔总脚数﹣2×鸡兔总只数）÷2； 鸡的只数＝鸡兔总只数﹣兔总只数 公式6：（头数x4﹣实际脚数）÷2＝鸡 公式7：4×+2（总数﹣x）＝总脚数 （x＝兔，总数﹣x＝鸡数，用于方程） 公式8：鸡的只数：兔的只数＝兔的脚数﹣（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）﹣鸡的脚数． 高频考点讲练1 设计秋游方案（租船问题） 【典例精讲】（23-24五年级上·广东深圳·期中）金汉斯自助餐店庆推出两种优惠方案。 A方案：小孩每位48元，大人每位68元。 B方案：团体5人以上（含5人），每位55元。 3位大人带4个小孩选择哪种方案合算？你的理由是什么？ 【变式训练1】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）七月份，渤海湾红海滩风景区推出两种优惠方案． A B 成人每位120元 小孩每位40元 团体5人以上（含5人）每位70元 （1）3个大人，10个小孩选哪种方案便宜？需要多少钱？ （2）10个大人，3个小孩选哪种方案便宜？需要多少钱？ 【变式训练2】（2024六年级下·辽宁·专题练习）旅游费用策略。 新兴旅行社推出假日旅游A、B两种方案。           A方案              B方案 （1）小明要同爸爸、妈妈、爷爷、奶奶去旅游，选哪种方案省钱？ （2）李老师带领6名同学去旅游，选哪种方案省钱？ 高频考点讲练2 数与形(归纳递推） 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江·期末）如图，一张桌子配4把椅子，两张桌子拼在一起配6把椅子，照这样的规律摆放，6张桌子需要( )把椅子；摆( )张桌子要20把椅子。 【变式训练1】（22-23四年级下·安徽阜阳·期中）如图，用三角形纸片摆图形。用到三角形纸片的数量分别是1，3，6，10…，4，9，16…接着摆下去。第8个图形需要( )个三角形纸片。能摆( )个三角形。 【变式训练2】（23-24五年级上·福建泉州·期末）仔细观察下图，照这样第6个图形有( )个点。 1＝1     6＝1＋5   15＝1＋5＋9 第1个   第2个    第3个 高频考点讲练3 列表法解鸡兔同笼 【典例精讲】（23-24五年级上·浙江·期末）如表，小明用列表法解决“鸡兔共21只，56条腿，鸡兔各有多少只？”的数学问题，观察表格，小明第四次尝试，如果想找到正确答案，鸡应该调整到（    ）只。 鸡的只数/只 1 8 15 兔的只数/只 20 13 6 总腿数/条 82 68 54 A．18 B．16 C．14 D．7 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江金华·期末）今年植树节李叔叔花了734元买了茶树和楠木两种树苗，一共56棵，茶树苗每棵16元，楠木苗每棵7元。茶树苗和楠木苗分别有多少棵？ （1）请写出列表解答的过程，并在括号里填写得数。 树苗总数/棵 茶树/棵 楠木/棵 总价/元 答：茶树苗买了（    ）棵，楠木苗买了（    ）棵。 （2）现在，李叔叔发现7棵树苗没有成活，没有成活的占树苗总数的几分之几？成活的占树苗总数的几分之几？（请用最简分数表示） 【变式训练2】（23-24五年级上·四川成都·期末）张阿姨是茶店老板，她用1040元买了7千克茶叶。已知红茶120元/千克，绿茶160元/千克，两种茶叶各买了多少千克？请用列表法解决问题。 高频考点讲练4 假设法解鸡兔同笼 【典例精讲】（24-25五年级上·山西晋城·期末）第9届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨市举行。天天购买了价值88.5元的亚冬会吉祥物“滨滨”，付给售货员100元，找回1元和5角的硬币共14枚，其中1元的硬币有( )枚，5角的硬币有( )枚。 【变式训练1】（23-24五年级上·河南商丘·期末）五（1）班26名同学参加植树活动，共植树100棵。男生每人植树5棵，女生每人植树3棵，参加植树活动的男、女生各有多少人？ 【变式训练2】（24-25五年级上·陕西榆林·期末）榆林市位于陕西省最北部，是国家历史文化名城。榆林市某学校举行了古诗词大赛，总共12道题，答对一道题加10分，不答或答错一道题扣6分，宁宁最后得了88分，宁宁答对了( )道题。 高频考点讲练5 方程法解鸡兔同笼 【典例精讲】（23-24五年级上·辽宁·单元测试）为了庆祝学校建校20周年，明星小学举行数学竞赛。本次竞赛共20题，答对一题得6分，答错一题扣4分。小敏得了80分，她答对了多少道题？ 【变式训练1】（23-24五年级上·浙江金华·期末）五（1）班有象棋、飞行棋共15副，恰好可供全班40名同学同时进行活动，象棋要2人下一副，飞行棋要4人下一副，象棋有( )副，飞行棋有( )副。 【变式训练2】（23-24五年级上·辽宁·课后作业）我国明代珠算发明家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完。如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 【演练1】（2025·吉林长春·小升初真题）根据数字间的关系，找规律填空，“？”＝( )。 【演练2】（2025·吉林长春·小升初真题）如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 【演练3】（2025·吉林长春·小升初真题）现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【演练4】（2025·吉林长春·小升初真题）一张纸的厚度大约为0.09mm，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作……假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（    ）。 A．数学课本的厚度 B．姚明的身高 C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度 【演练5】（2025·吉林长春·小升初真题）阳光小学组织安全意识知识竞赛，共20题，评分规则是答对一题得10分，答错一题扣5分，弃权不扣分也不得分，芳芳小组弃权两题，得了120分，他们答对了 题。 基础夯实 能力提升 1．（22-23五年级上·河南鹤壁·期末）循环小数0.1875875…小数部分第10位上的数字是（    ）。 A．8 B．7 C．5 2．（22-23六年级下·陕西咸阳·期末）下面是由完全相同的正方形按规律摆成的图形，第1个图中有1个正方形，第2个图中有3个正方形，第3个图中有6个正方形，第4个图中有10个正方形，……，按此规律，第8个图中有（    ）个正方形。    A．42 B．40 C．38 D．36 3．（21-22五年级上·辽宁朝阳·期末）小明用火柴棒这样摆三角形，像这样继续摆，用25根火柴棒能摆出（    ）个三角形。 A．10 B．11 C．12 4．（2023·陕西西安·小升初真题）如图所示：一张桌子坐6人，2张桌子坐 人，n张桌子坐 人。 5．（20-21六年级下·陕西榆林·期末）把小圆圈按如图所示的规律拼图形，其中第1个图中有3个小圆圈，第2个图中有7个小圆圈，第3个图中有12个小圆圈，……，按此规律排列下去，第8个图中有( )个小圆圈。 6．（20-21六年级下·陕西商洛·期末）把小正方形按如图所示的规律拼图案，第1个图中有1个小正方形，第2个图中有7个小正方形，第3个图中有13个小正方形，……，按此规律，第( )个图中有151个小正方形。 7．（21-22五年级上·陕西汉中·期末）2021年是红军长征胜利85周年，镇巴县某小学举行了以“缅怀革命先烈，传承红色基因”为主题的歌咏比赛。比赛分单人独唱组和双人合唱组，共有16组，26名学生参加比赛，单人独唱组和双人合唱组各有多少组？（用列表的方法解决问题） 8．（21-22五年级上·陕西咸阳·期末）元旦期间某商贸城举行了购物抽奖活动，其中一等奖和二等奖共设置了16个，一等奖奖金为500元，二等奖奖金为100元，一等奖和二等奖的奖金总额为3200元，一等奖和二等奖分别设置了多少个？ 9．（21-22五年级上·陕西榆林·期末）画一画，填一填。 （1）请画出后面的图形并填空。 （2）想一想，按照这个规律，第10个图形一共由（    ）个点组成。 10．（23-24五年级上·山西晋城·期末）2023年全国旅游业复苏，特别是中秋遇上国庆，人们纷纷趁着假日旅行，旅游中有许多的数学问题，请你仔细阅读下面的材料并解决问题。 某旅行社组织168人自驾游，一共乘坐了如图1的商务车和小轿车30辆，并且每辆车都坐满了。 妙想和爸爸妈妈来到生态园观光，生态园有一块形状为梯形的空地（如图2），景区打算在这块地上开垦出一块最大的平行四边形菜地种有机蔬菜，其余地方作为养鸡场散养土鸡。 小王叔叔准备乘坐高铁去杭州旅游，他从家叫了“滴滴打车”去高铁站，他下车时使用支付宝付款，得到红包3.9元，他实际只支付了23.7元车费。打车收费标准如下表： 路程 收费标准 3km以内（包含3km） 8元 3km以上 每增加1km，再收2.8元（不足1km，按1km计算） （1）自驾游的商务车和小轿车各有多少辆？ （2）生态园的养鸡场面积有多大？ （3）菜地和养鸡场的面积分别占梯形面积的几分之几？（化成最简分数） （4）小王叔叔家到高铁站最远有多少千米？ 创新拓展 拔尖冲刺 11．（2024·广东惠州·小升初真题）如图，摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒，摆9个三角形要（    ）根小棒。 A．17 B．19 C．21 12．（2024·陕西西安·小升初真题）用小棒摆图形，如图，第1个图用6根小棒，第2个图用10根小棒，第3个图用14根小棒，……，按这样的规律摆下去，第（    ）个图用146根小棒。 A．36 B．37 C．38 D．39 13．（23-24五年级上·浙江金华·期末）淘气的储蓄罐里有1角和5角的硬币共计28枚，总额为9.6元，其中5角硬币有（    ）枚。 A．11 B．17 C．14 D．无法确定 14．（24-25六年级下·陕西西安·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派的数学家喜欢把数和形结合起来研究：如下图，他们画点表示数。按照所给图的规律，第⑤个图形有( )个点，第个图形有( )个点。 15．（24-25四年级下·辽宁沈阳·期末）如图，用相同的小棒摆正方形，……，摆7个小正方形需要( )根小棒。 16．（23-24五年级上·山西吕梁·期末）奇思用小棒按下面的方式摆图形。 图①摆1个梯形用5根小棒，图②摆2个梯形用9根小棒……图⑥摆6个梯形用( )根小棒，61根小棒可以摆( )个梯形。 17．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）书法是中国特有的一种传统艺术，练习书法不仅可以训练手、眼、脑的协调能力，还可以培养耐心和专注力。周末，笑笑在练习毛笔字时，不小心将墨水洒在了方格纸上（如图），形成的墨水渍的面积约是多少？（每个小方格的边长表示1厘米） 18．（23-24五年级上·辽宁·课后作业）每年的11月9日是消防安全日。为加强同学们的防火意识，这天学校举行了“消防安全知识竞答比赛”。3号选手共抢答8道题，最后得了64分。她答对了几道题？ 19．（21-22五年级上·广东深圳·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、…这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。 （1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。 4＝1＋3             9＝3＋6                  16＝6＋10        _____________ （2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝____________。 20．（23-24五年级上·福建·期末）先数一数，再填一填，你能发现什么规律？ （1）填写下表： 正方形个数 1 2 3 4 5 6 7 … 需要小棒根数 4 7 … （2）这样摆16个正方形，需要多少根小棒？请写出计算过程。 （3）现有106根小棒，能摆多少个这样的正方形？请写出计算过程。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $