专题09 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题09 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 10 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（24-25七年级上·江苏·专题练习）如图，，=（ ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，点M、D分别在、上，于点N，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 例4（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例5（24-25下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 例6（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 例7（24-25·江苏南京·七年级校考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 例8（24-25七年级下·北京东城·校考期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，则，，之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，点E，F分别是直线上的点，点G为直线之间的一点，连接，的平分线交于点H，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25下·北京·七年级校考期末）如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 5．（24-25·江苏南通·七年级校考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 6．（24-25七年级·江苏扬州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面 垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广东深圳·阶段练习）在古代中国，弓箭是战争中的武器之一，“弓箭”文化也是中国最古老的文化之一．如图①是一种弓箭的箭头实物图，图②是其示意图，已知，，， 则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图，，，，则 ． 9．（24-25·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    10．（24-25·湖北随州·七年级统考期末）如图，已知，，平分，，在式子：①；②；③；④中，值为的序号是 ．    11．（24-25下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．    12．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 13．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）【问题情境】 （1）若将具有图特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若，为，之间一点，则______． 【问题迁移】（2）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． 如图，当点在点的左侧时，若，，请你结合（）中“平行凸折线”的性质，求的度数；如图，当点在点的右侧时，设，，请写出的度数并说明理由（用含，的式子表示）． 14．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 15．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 16．（24-25下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？    17．（24-25·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：      ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 18．（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 10 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴由图①； 图②中过点E作，    ∵，∴，∴，， ∴，即， 同理可得图③，， ∴图4时，．故选C． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（24-25七年级上·江苏·专题练习）如图，，=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解，如下图所示，过C点作直线， ， ，，， ，即.故选：B． 例2（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，，点M、D分别在、上，于点N，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，，所以， 又因为，所以， 又因为为的外角，所以．故选：D ． 例3（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析(2) 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴； （2）解：过点C作，∴， ∵，∴， 根据题意可知，，∴，∴． 例4（24-25七年级上·广东·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识，正确作出辅助线构造平行线成为解题的关键． 【详解】解：如图所示，过E作，∵，∴， ∴，∴， 又∵，分别为的角平分线， ∴， ∴四边形中，．故选：D． 例5（24-25下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，，若，下列各式：①  ②  ③  ④ 其中正确的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，       ∴，，∴，故①正确； 如图，过点F作，∵，∴， ∴，， ∴，即，故②不正确； 又∵，∴， 即，故③不正确； ∵，∴， ∵，∴， ， 故④正确；∴正确的为①④，故选D． 例6（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵，∴．如图，过点作． ，，，． （2）如图，过点作．，，∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作．，，． ，． 平分，平分，， 例7（24-25·江苏南京·七年级校考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)； 【详解】（1）证明：如下图，过点作，      ∵，，∴， 根据两直线平行同旁内角互补可得：，， ∴，∴； （2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作，，，， 结合（1）解答在两相邻平行线间可得：， ，，， ，将所有角度相加可得：； （3）解：由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和， 由图3可知：当、之间有2条线段时，，当、之间有3条线段时，， 当、之间有4条线段时，，当、之间有5条线段时，，…， 当、之间有条线段时，，∴； 例8（24-25七年级下·北京东城·校考期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1），证明：，， ，，； （2）， 证明：，， ，，， ，； （3）如图1，； 如图2，； 如图3，； 如图4，； 四个角，，，之间的数量关系有4种，故答案为：4．    1．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，已知，，则，，之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点分别作的平行线，， ∵，∴ ∴，，则 ∵∴即∴故选：C． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，直线，点E，F分别是直线上的点，点G为直线之间的一点，连接，的平分线交于点H，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点G作，，， 平分，，，， ，，，，，，， ，， ，， ，， ，，故选：A． 3．（24-25下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，则，， ，，， ，， ．故选：B．    4．（24-25下·北京·七年级校考期末）如图，已知，下列结论正确的是（    ）    A．∠BAC＝∠DCE B．∠BAC＝∠CEF C．∠BAC＋∠ACE＝180° D．∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360° 【答案】D 【详解】解：A.由无法得出，错误； B.由无法得出，错误； C.∵，∴，∴，错误； D.∵，∴，， ∴，正确；故选：D． 5．（24-25·江苏南通·七年级校考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点P作，过点Q作，    ∵，∴， ∴，， ，∴， ∵和的平分线交于点Q，∴， ∴， ∵， ∴．故选：A． 6．（24-25七年级·江苏扬州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面 垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∴，， ∴，故选：A． 7．（24-25七年级下·广东深圳·阶段练习）在古代中国，弓箭是战争中的武器之一，“弓箭”文化也是中国最古老的文化之一．如图①是一种弓箭的箭头实物图，图②是其示意图，已知，，， 则的度数为 ． 【答案】/50度 【详解】解：如图，延长交于，延长交于，过作， ∵，∴，∴，， ∵，， ∴，， ∴，故答案为： 8．（24-25七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：过点C作， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 9．（24-25·山西临汾·七年级统考期末）如图，一环湖公路的段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了东西方向的段，则的度数是 ．    【答案】540° 【详解】解：如图，根据题意可知：AB∥EF， 分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，所以AB∥CG∥DH∥EF， 则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°， ∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°， ∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°．故答案为：540°．    10．（24-25·湖北随州·七年级统考期末）如图，已知，，平分，，在式子：①；②；③；④中，值为的序号是 ．    【答案】①③/③① 【详解】解：，，，， 又平分，，，，故①的值为； ，，， ，，，，故②的值为， ，， ，故③的值为； ，，， ，故④的值为；故答案为：①③． 11．（24-25下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．    【答案】/60度 【详解】解：∵，，∴， 如图所示，过点作，∵，∴，       ∴，，， ∴， ∵，∴， ∵， ， ∴，如图所示，过点作， ∵，∴，∴，， ∴，故答案为：． 12．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）（1）如图1，已知，分别是上的点，点在两平行线之间，，求的度数．解：过点作，，．． ． 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系： ． （2）如图2，已知，点分别在直线上，点在两平行线之间，求、和之间的数量关系． （3）如图3，在图2的条件下，作和的平分线，交于点（交点在两平行线之间）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）过点作，如图1所示： ，．． ．故答案为：； （2）过点作，如图2所示： ，．， ， ， 和之间的数量关系为：； （3）分别是和的平分线， ，，过点作，如图3所示： ，．， ， 由（2）得：， ， ，． 13．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）【问题情境】 （1）若将具有图特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若，为，之间一点，则______． 【问题迁移】（2）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． 如图，当点在点的左侧时，若，，请你结合（）中“平行凸折线”的性质，求的度数；如图，当点在点的右侧时，设，，请写出的度数并说明理由（用含，的式子表示）． 【答案】（）；（），，理由见解析． 【详解】解：（）如图，过点作，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，故答案为：； （）如图， ∵平分，∴，∴，        由平行凸折线的性质可得， ∵，∴，∴， ∵平分，∴； ，理由如下，如图， ∵平分，平分，∴，， ∴，，由平行凸折线性质可得：， ∴，∴． 14．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）问题情境：如图1，，，，求度数. 小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求. (1)按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案) (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系. 【答案】(1)110(2)，理由见解析(3)当P在延长线上时，； 当P在延长线上时， 【详解】（1）解：∵，，∴， ∴， ∵，，∴，∴. （2）解：，理由如下：过点作， ∵，∴，∴， ∴. （3）解：如图所示，当P在延长线上时，过点作， ∵，∴，∴，，   如图所示，当P在延长线上时，同理可得：，，． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行(2)，(3)对，理由见解析 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作，， ，，，， ,，； ，，，， ，； （3）解：对，理由如下：，，， ，，，， ,，． 16．（24-25下·河南安阳·七年级校考期中）图1是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图2的平面示意图，弹弓的两边可看成是平行的，即，活动小组在探索与，之间的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，则此次瞄准是否最准确？    【答案】此次瞄准不是最准确的，见解析 【详解】解：如图，过点P作，∴．    ∵，∴． ∵，∴． ∵，，∴．∴． ∴．∴，∴此次瞄准不是最准确的． 17．（24-25·江西上饶·七年级统考期末）（1）如图1，AM∥CN，求证：      ①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°； （2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析 【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG ∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180° ∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360° ∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360° ②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ， ∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180° ∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°； （2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°． 证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行， ∴结合（1）问得：所有角的和为（n+1）•180°． 18．（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知：直线，O是，间的一点，与直线，分别交于点E，F． (1)如图，，过O点作射线，与互余．求证：； (2)若，，请用含，的式子表示． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）解：∵，∴， ∵与互余，∴， ∴，∴，∵，∴； （2）解：当如图1，过O作，则， ∴，，∴， ∵，∴，又，∴，∴； 如图2，过O作，则，∴，， ∴， ∴，∵，∴，又， ∴，∴， 综上，或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $