专题08 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型（几何模型讲义）数学苏科版2024七年级上册

该初中数学讲义通过框架图与模型提炼表系统梳理了平行线拐点模型的知识体系，涵盖猪蹄模型（M型）与锯齿模型的核心结论及通用解法“见拐点作平行线”，清晰呈现从基础模型到多拐点扩展的内在逻辑与重难点分布。 资料亮点在于真题导向的分层例题设计，如山东青岛期中题的类比探究与综合应用，通过多证法例题（如例3张山与李思同学的不同思路）培养推理意识与几何直观，基础题巩固模型应用，拓展题提升综合分析能力，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主构建模型认知。

专题08 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25上·重庆·九年级校考期中）如图，直线，，，则的度数为 度． 例2（24-25上·北京·八年级校联考开学考试）如图，，P为之间的一点，已知，则＝ ．    例3（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【问题探究】如图①，已知，我们发现，我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 【问题解答】(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 例4（24-25七年级下·广东惠州·阶段练习）如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：；(2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； 模型2.锯齿模型 例1（24-25下·江西赣州·七年级校考期末）（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 例2（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作，（ ） 又 （ ）， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 例3（24-25七年级下·广东潮州·期末）已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____；(2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值；(3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25下·安徽安庆·七年级校考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024七年级上·广东·专题练习）汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25下·浙江宁波·七年级校考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 5．（24-25下·浙江温州·七年级校考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 8．（2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，，，则的度数是 ． 9．（24-25上·河南南阳·八年级校考开学考试）如图所示，、则、、的关系为 ．    10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 11．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，已知，，，若，则的度数为 ． 12.（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 13.（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 14．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）如图，，探索与，之间的关系． 阅读理解：如图1，过点作． ∵，∴．∵，∴， ∵，∴． ∵，∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，则________． （3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________． （4）如图4，已知，，则________． 深化拓展： （5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 17．（24-25下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    18．（24-25江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.猪蹄模型（M型） 4 模型2.锯齿模型 7 10 猪蹄模型与锯齿模型名称均源于生活观察，因图形类似猪蹄的开口形状而得名，是平行线拐点模型中最基础的形态。在猪蹄模型基础上增加多个拐点，形成左右交替的锯齿状结构。锯齿模型是猪蹄模型的扩展，两者均基于“见拐点作平行线”的通用解法。 （24-25七年级下·山东青岛·期中）【提出问题】（1）如图1，将长方形纸片剪两刀，其中，则与、度数之间有何等量关系？请说明你的理由． 【类比探究】（2）如图2，将长方形纸片剪四刀，其中，则、、、、的度数之间的等量关系是________． 【综合应用】（3）如图3，直线，，，，，则____． （4）如图4，直线，点、分别是上两点，点在之间，连接．点是下方一点，平分平分，已知，则______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1），理由如下：如图1中，作， ∵，，∴，∴，， ∴，即． （2）如图2中，作，，，∵，∴， ∴，，，， ∴，即． 故答案为：． （3）如图3中，作，，， ∵，，， ∴，∴， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，则， ∴．故答案为：； （4）如图，过点作 ∴即，∵，即 ∵平分平分，∴∴ ∵，∴∴∴ 由（1）可得∴ 故答案为：． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 模型1.猪蹄模型（M型） 例1（24-25上·重庆·九年级校考期中）如图，直线，，，则的度数为 度． 【答案】 【详解】过点C作，∵，∴， ∴，， ∴，故答案为：78． 例2（24-25上·北京·八年级校联考开学考试）如图，，P为之间的一点，已知，则＝ ．    【答案】/30度 【详解】解：过点P作，如图，    ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴，故答案为：． 例3（24-25七年级下·湖北武汉·期中）【问题探究】如图①，已知，我们发现，我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 【问题解答】(1)请按张山同学的思路，写出证明过程；(2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：如图②，过点E作，，， ，，， ∴，即． （2）证明：如图③，过点B作，交延长线于K， ∵，∴，， ，，， ∴，即． 例4（24-25七年级下·广东惠州·阶段练习）如图1，，在、内有一条折线． (1)求证：；(2)在图2中，画的平分线与的平分线，两条角平分线交于点，请你补全图形，试探索与之间的关系，并证明你的结论； 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）证明：如图1：过点P作， ∵，∴，∴，， 又∵，∴． （2）解：，证明如下： 如图2：平分，平分，交点为Q， 由（1）可得：，； ∵平分，平分，交点为Q， ∴， ∴． 模型2.锯齿模型 例1（24-25下·江西赣州·七年级校考期末）（1）如图1已知：∠B=25°，∠BED=80°，∠D=55°．探究AB与CD有怎样的位置关系.（2）如图2已知AB∥EF，试猜想∠B，∠F，∠BCF之间的关系，写出这种关系，并加以证明.（3）如图3已知AB∥CD，试猜想∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证明. 【答案】（1）详见解析（2）∠BCF=∠B+∠F（3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4 【详解】（1）过点E作EF∥AB     ∵∠B=25°∴∠BEF=∠B=25°∵∠BED=80°∴∠DEF=∠BED－∠BEF=55° ∵∠D=55°∴∠D=∠DEF∴EF∥CD        ∴AB∥CD      （2）过点C作CD∥AB，则CD∥EF， ∵AB∥CD，∴∠BCD=∠B，∵CD∥EF，∴∠DCF=∠F， ∴∠BCD+∠DCF=∠B+∠F，即∠C=∠B+∠F．      （3）∠1+∠3+∠5=∠2+∠4，如图， 作MN∥AB，由（2）的结论得到∠2=∠1+∠6，∠4=∠5+∠7， ∴∠2+∠4=∠1+∠6+∠5+∠7=∠1+∠3+∠5. 例2（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作，（ ） 又 （ ）， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；；（2）；（3） 【详解】解：（1）过点作，（两直线平行，内错角相等）， 又，（平行于同一直线的两直线平行），， ，，，， 故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；； （2）如图2，过点作，，， 又，，， ，，； （3）如图3，过点作， 由（1）可知，，即， ，，， ，即， ，，，， ，故答案为：． 例3（24-25七年级下·广东潮州·期末）已知直线． (1)在图1中，点E在直线上，点F在直线上，点G在直线，之间，若，，则_____；(2)如图2，若点H是与的角平分线的交点，求出的值；(3)如图3，作，与的平分线交于点M，若的余角等于的补角，求的度数． 【答案】(1)(2)2(3) 【详解】（1）解：过点作，，， ，故答案为：； （2）解：如答案图，过点G作，则．∴ ∴．同理可得． ∵平分，平分 ． （3）解：由（1）得 平分，， 又，， 的余角等于的补角，，即， ，，． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线，∴，∴，， 由题意可得，∴，∴，故选：A． 2．（24-25下·安徽安庆·七年级校考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴， ∴，∴， 过点C作，则有，    同理，∵和分别平分和， ∴，∴，， 即，解得：，故选：A． 3．（2024七年级上·广东·专题练习）汽车灯如图是某汽车前照灯纵剖面，从位于点O的灯泡发出的两束光线，经过灯碗反射以后平行射出，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点O作，如图： ，，，， ，， ，即的度数为， 4．（24-25下·浙江宁波·七年级校考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 【答案】A 【详解】解：过C作∥，∥，，，， ，，， ，，故选：A．    5．（24-25下·浙江温州·七年级校考期中）如图，已知，点，分别在，上，点，在两条平行线，之间，与的平分线交于点．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示，过点，，作，，， ．，．， ，，，， ，，， 和是角平分线，， ，， ，，， ，即．故选：D． 6．（24-25·四川泸州·七年级校考期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C． 7．（24-25上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【详解】过点、、分别作， ∵，， 平分，平分 ，， ，， ，， ，故答案为：． 8．（2023·山东菏泽·统考中考真题）如图，，，则的度数是 ． 【答案】 【详解】作，∵，∴， ∴，，， ∴，，∴，故答案为． 9．（24-25上·河南南阳·八年级校考开学考试）如图所示，、则、、的关系为 ．    【答案】 【详解】解：过M作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴．故答案为：． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 【答案】 【详解】解：作，，，，如图： ∵，∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴， ∵，，∴∴，∴， ∵，，∴，即，故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，已知，，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【详解】解：连接， 设，，则，，∴，， ∵，∴， ∴，， ∴，， ∴，，∴， ∵，∴，故答案为：． 12.（24-25七年级下·北京·期中）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，证明． (2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)见解析(2)(3)或或或 【详解】（1）证明：如图，延长交于E，∵，∴， ∵，∴，∴ （2）解：；理由：如图，分别过点P、Q作， ∵，∴，∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵，∴，∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵，∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵，∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵，∴，∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 13.（24-25七年级下·山东临沂·期中）问题情境： 找两根长度差不多的木棒和平行放置在桌面上并固定，用一根橡皮筋将两根木棒的一个端点连接起来，并在橡皮筋上打一个结，如图1，，点在上． 探究一：一组同学是这样进行操作的：将橡皮筋点向外拉，变成如图2，使点在的右侧，同学们称这种模型为“铅笔头模型”，探究，，之间的关系，同学们的思路是：如图3，过点作的平行线，通过平行线性质和判定，可得之和是________，请你在图3中作出图形，并说明理由． 探究二：二组同学的操作正好相反，将橡皮筋向里推，变成如图4，点在的左侧，同学们称这种模型为“猪脚模型”，仿照一组同学们的思路可得，，之间的数量关系是________． 同学们随后结合一、二两个小组的探究结论进行深度探究． 探究三：三组的同学同时进行把橡皮筋向外拉和向里推两种操作，变成如图5所示的图形，通过分析研究，它们提出了如下的问题：已知，，求的大小（用含有，的代数式表示）． 探究四：四组的同学不甘示弱，提出如下问题：如图6，的平分线与的平分线相交于点，且，，探究与之间的数量关系，请你直接写出结果：________． 【答案】探究一：，理由见解析；探究二：；探究三：；探究四：或 【详解】解：探究一：，理由如下，如图所示，过点作， 又∵，， ∴，即，故答案为：； 探究二：，理由如下， 如图所示，过点作， 又∵，， ∴，即； 探究三：，理由如下， 如图所示，过点作，过点作，过点作， 又∵，， ， 即； 探究四：或，理由如下， 如图所示，过点作，过点作， 又∵，， , ， ∵平分，平分，， 又∵，， ， 故或． 14．（24-25七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）课题学习：平行线的“等角转化”功能． （1）如图，，探索与，之间的关系． 阅读理解：如图1，过点作． ∵，∴．∵，∴， ∵，∴． ∵，∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，转化成，，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，则________． （3）如图3，已知，，与之间数量关系是_______________． （4）如图4，已知，，则________． 深化拓展： （5）如图5，已知，点为平面内一点，于．过点作于点，求证：． 【答案】方法运用：（2）360；（3）；（4）20 深化拓展：（5）见详解 【详解】解：方法运用： （2）过点作，如下图，则， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：360； （3）过点作，如下图， 则，∴， ∵，，∴，∴， ∴， ∴．故答案为：； （4）过点作，如下图， ∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为：20； 深化拓展：（5）证明：过点作，如下图， 则，∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴． 15．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】（1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】（2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】（3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴的度数为； （2）证明：由（1）得：，同理：， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴；∵，∴ （3）解：如图3，作的角平分线交于点，∴，    ∵平分，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，即， ∴，由（2）得：，． 16．（24-25七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则 ； （2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ． 【答案】 【详解】解：（1）如图，作， ，，，，， ，故答案为：60； （2）如图，作交于点K，，， ，，， 同（1）可得，， 即，故答案为：． 17．（24-25下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情况：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． 理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5， ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；       （2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7， ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 18．（24-25江苏连云港·七年级统考期中）已知．    知识回顾（1）如图，点在两平行线之间，试说明：． 知识应用（2）如图，、分别平分、，利用中的结论，试说明：； （3）如图，直接写出、、、四个角之间的数量关系． 知识拓展（4）如图，若，，、分别平分、，那么 ______ ；只要直接填上正确结论即可 （5）如图，若、、三个角的和是，、分别平分、，那么 ______ 用含的式子表示 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【详解】解：过点作，，          ，，，，； 由得：，， 、分别平分、，，， ，即； ， 理由：、分别平分、，，， ， 由得：，， 即； 过点作，过点作， ，，，， ，，， ，，，，， 、分别平分、，，， ，故答案为：； 过点作，过点作，过点作， ，，，， ，，， ， 、分别平分、，，， ， 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $