西藏2025年九年级数学中考周测试卷

西藏2025年九年级数学中考周测试卷（一） 一．选择题（共10小题，满分18分） 1．（3分）﹣100的绝对值是（　　） A． B． C．100 D．﹣100 2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•2a3＝2a6 B．a+2a＝3a2 C．（ab）3＝a3b3 D．（﹣a2）3＝a6 5．（3分）若一个等腰三角形的顶角为38°，则它的底角为（　　） A．70° B．71° C．72° D．73° 6．（3分）要使代数式有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D．一切实数 7．如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为5，∠ACB＝45°，则弧AB长为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，R1是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻R2绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为0﹣6V，压力表示数U1与R2的函数图象如图2所示，R2（单位：Ω）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120）．则下列说法不正确的是（　　） A．当U1＝4V时，R2的阻值为30Ω B．在一定范围内，U1随R2的增大而减小 C．当托盘上货物的质量为110kg时，U1＝3V D．因为压力表量程为0﹣6V，所以该模型可测量检测物的最大质量是115kg 9．已知，以此类推，则a2024等于（　　） A． B． C． D．3 10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点（点E不与端点C，D重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC点G，连接AG，CF，对角线BD与AG、AE分别交于P、Q两点．以下各结论： ①∠EAG＝45°； ②BG2+DE2＝GE2； ③BP2+DQ2＝PQ2； ④若DE＝2，则G为BC的中点； ⑤线段CF的最小值为．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 二．填空题（共6小题，满分15分） 11．因式分解：x2﹣9y2＝　 　 ． 12．（3分）某校男子足球队的年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众数是 　 　 岁． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0没有实数根（c是常数），则c的取值范围是 　 　 ． 14．（3分）如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB＝6m，CD＝9m，两树底部的距离AC＝6m，点G与树AB，CD的根部点A，点C在一条直线上，AG＝16m，小颖估计自己的眼睛（点E）离地面1.6m，她从点G出发沿GC方向前进到点H时，恰好看不到树顶D，则GH的长为 　 　 m． 15．（3分）如图，AB∥CD，连接AC，点E在AC上，连接ED、已知∠A＝30°，∠D＝70°，EF平分∠AED，以点E为顶点，ED为一边，在∠AED内作∠DEG，使它等于∠D（保留作图痕迹，不写作法）；根据尺规所作出射线EG的痕迹，求∠FEG为 　 　 度． 16．（3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，点E是边AD上一动点，连接PA，PE．若AB＝4，，则PA+PE的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17．（5分）计算﹣20230﹣|1|+2cos30°． 18．（5分）解方程（组）： （1）； （2）． 19．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20．（5分）好学的小明同学通过学习，知道一般情况下，要证明一个几何命题，需要明确命题中的已知和求证：根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证．再写出证明过程，小明准备用上述步骤，证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．他已经画出如图的图形，请你帮他用符号表示已知，求证，并写出证明过程． 21．（8分）2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），七年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了七年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理、数据分为五组： A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100． 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据信息完成下列问题： （1）本次抽样调查的七年级学生人数为　 　 人，并补全频数分布直方图； （2）本次抽样调查的七年级学生竞赛成绩的中位数落在　 　 组内；（填A、B、C、D） （3）学校将从获得满分的4名同学（其中有两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学参加县里的竞赛，则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为　 　 ； （4）该校七年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 22．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，且，求AB的长和△ABC的面积． 23．（8分）P是⊙O的弦CB延长线上的一点，点A在⊙O上，且PA是⊙O的切线，求证：∠PCA＝∠BAP． 24．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC． （1）求证：四边形DBFE是菱形； （2）若AB＝10，BC＝8，求DE的值． 25．（8分）某单位对两种农产品A，B联系超市助销，该超市购买A产品进价为28元/kg；B产品的进货量超过500kg的部分有优惠，且B产品的付款金额y（单位：元）与进货量x（单位：kg）之间都是一次函数关系，下表所示部分付款情况，该超市对A产品的售价定为35元/kg，B产品的售价定为20元/kg． B产品进货量xkg 0 100 300 500 700 900 1000 付款金额y元 0 1500 4500 7500 9900 12300 13500 （1）求出0≤x≤500和x＞500时，y与x之间的函数关系式． （2）若该超市购进A，B两种产品共1200kg，并全部售出，但超市要求B产品的进货量不低于300kg，且不高于1000kg，设销售完A，B两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与B种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的进货方案． （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B产品每千克都提出0.2a元返给农户，全部售出后所获总利润不低于5500元，求a的最大值． 26．（12分）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A（﹣1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P（m，n）． ①用含m的式子表示：PD＝　 　 ，DE＝　 　 ； 直接用①的结论求解②③； ②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标； ③若PE＝2DE，求点P的坐标． 西藏2025年九年级数学中考周测试卷（一） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C B C B C A B 一．选择题（共10小题，满分18分） 1．（3分）﹣100的绝对值是（　　） A． B． C．100 D．﹣100 【分析】利用绝对值的定义计算． 【解答】解：﹣100的绝对值是100． 故选：C． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为（　　） A．384×103 B．38.4×104 C．3.84×105 D．0.384×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：384000＝3.84×105． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a2•2a3＝2a6 B．a+2a＝3a2 C．（ab）3＝a3b3 D．（﹣a2）3＝a6 【分析】根据单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方和幂的乘方的运算法则进行判断即可． 【解答】解：a2•2a3＝2a5，故A选项不符合题意； a+2a＝3a，故B选项不符合题意； （ab）3＝a3b3，故C选项符合题意； （﹣a2）3＝﹣a6，故D选项不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方和幂的乘方，解题的关键是运用运算法则来计算． 5．（3分）若一个等腰三角形的顶角为38°，则它的底角为（　　） A．70° B．71° C．72° D．73° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【解答】解：∵等腰三角形的顶角为38°， ∴它的底角为， 故选：B． 【点评】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用． 6．（3分）要使代数式有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D．一切实数 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解即可． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数为非负数， ∴2a﹣1≥0， 解得a． 故选：C． 【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 7．如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为5，∠ACB＝45°，则弧AB长为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用圆周角定理求出∠AOB，再利用弧长公式求解即可． 【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴的长， 故选：B． 【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理等知识，解题的关键是记住弧长公式l． 8．（3分）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，R1是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻R2绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为0﹣6V，压力表示数U1与R2的函数图象如图2所示，R2（单位：Ω）与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120）．则下列说法不正确的是（　　） A．当U1＝4V时，R2的阻值为30Ω B．在一定范围内，U1随R2的增大而减小 C．当托盘上货物的质量为110kg时，U1＝3V D．因为压力表量程为0﹣6V，所以该模型可测量检测物的最大质量是115kg 【分析】依据题意，如图2，当U1＝4V时，R2＝30Ω，故可判断A；依据题意，结合函数的图象可得，在一定范围内，U1随R2的增大而减小，故可判断B；依据题意，由R2与检测物的质量m的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），则当托盘上货物的质量为110kg时，R2＝﹣2×110+240＝20（Ω），而此时U1的值不能确定多少，故可判断C；依据题意，由R2与检测物的质量m的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120），则R2随m的增大而减小，又U1随R2的增大而减小，且压力表量程为0﹣6V，从而当U1＝6V时，R2为10Ω，此时该模型可测量检测物的最大质量是115kg，故可判断D． 【解答】解：由题意，如图2，∵图象过（30，4）， ∴当R2＝30d时，U1＝4，故A正确，不合题意． 由题意，结合函数的图象可得，在一定范围内，U1随R2的增大而减小，故B正确，不合题意． ∵R2与检测物的质量m的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120）， ∴当托盘上货物的质量为110kg时，R2＝﹣2×110+240＝20（Ω），结合图象当R2＝20Ω时，U1的值不确定多少，故C错误，符合题意． 由题意，∵R2与检测物的质量m的函数关系式为R2＝﹣2m+240（0≤m≤120）， ∴R2随m的增大而减小． 又∵U1随R2的增大而减小，且压力表量程为0﹣6V， ∴当U1＝6V时，R2为10Ω，此时该模型可测量检测物的最大质量是115kg，故D正确，不合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 9．已知，以此类推，则a2024等于（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据找到规律为an每3项循环一次，则a3m+1＝a1＝3，，，代值求解即可得到答案，根据题中式子找到an规律是解决问题的关键． 【解答】解：∵a1＝3， ∴， ， ， ， ⋯， ∴按照上面代数式呈现的规律可知，an每3项循环一次，则a3m+1＝a1＝3，，， ∵2024＝3×674+2， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查找规律，找到规律是关键． 10．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点（点E不与端点C，D重合），将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC点G，连接AG，CF，对角线BD与AG、AE分别交于P、Q两点．以下各结论： ①∠EAG＝45°； ②BG2+DE2＝GE2； ③BP2+DQ2＝PQ2； ④若DE＝2，则G为BC的中点； ⑤线段CF的最小值为．其中正确的结论是（　　） A．①③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．①②③④⑤ 【分析】由正方形的性质得，AB＝AD＝CB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，由翻折得AF＝AD＝AB＝6，FE＝DE，∠EAF＝∠EAD∠DAF，∠AFE＝∠ADE＝90°，可证明Rt△AFG≌Rt△ABG，得FG＝BG，∠GAF＝∠GAB∠BAF，所以∠EAG（∠DAF+∠BAF）＝45°，可判断①正确；因为BG2+DE2＝FG2+FE2，GE2＝（FG+FE）2＝FG2+FE2+2FG•FE，所以BG2+DE2≠GE2，可判断②错误；将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接PH，可证明△APH≌△APQ，得PH＝PQ，因为∠PBH＝∠ABD+∠ABH＝90°，所以BP2+BH2＝PH2，则BP2+DQ2＝PQ2，可判断③正确；由CB＝CD＝6，DE＝2，得FE＝DE＝2，CE＝4，由勾股定理得（6﹣BG）2+42＝（2+BG）2，求得BG＝3，则G为BC的中点，可判断④正确；连接AC，则AC6，由CF+AF≥AC，得CF+6≥6，则CF≥66，所以CF的最小值为66，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形， ∴AB＝AD＝CB＝CD＝6，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC点G， ∴AF＝AD＝AB＝6，FE＝DE，∠EAF＝∠EAD∠DAF，∠AFE＝∠ADE＝90°， ∴∠AFG＝∠ABG＝90°， 在Rt△AFG和Rt△ABG中， ， ∴Rt△AFG≌Rt△ABG（HL）， ∴FG＝BG，∠GAF＝∠GAB∠BAF， ∴∠EAG＝∠EAF+∠GAF（∠DAF+∠BAF）∠BAD＝45°， 故①正确； ∵BG2+DE2＝FG2+FE2，GE2＝（FG+FE）2＝FG2+FE2+2FG•FE， ∴BG2+DE2≠GE2， 故②错误； 将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，连接PH，则AH＝AQ，BH＝DQ，∠BAH＝∠DAQ， ∴∠HAP＝∠BAH+∠BAP＝∠DAQ+∠BAP＝90°﹣∠EAG＝45°， ∴∠HAP＝∠QAP＝45°， 在△APH和△APQ中， ， ∴△APH≌△APQ（SAS）， ∴PH＝PQ， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠ABH＝∠ADQ＝45°， ∴∠PBH＝∠ABD+∠ABH＝90°， ∴BP2+BH2＝PH2， ∴BP2+DQ2＝PQ2， 故③正确； ∵CB＝CD＝6，DE＝2， ∴FE＝DE＝2，CE＝CD﹣DE＝6﹣2＝4， ∵CG2+CE2＝EG2，且CG＝6﹣BG，EG＝FE+FG＝2+BG， ∴（6﹣BG）2+42＝（2+BG）2， 解得BG＝3， ∴CG＝BG＝3， ∴G为BC的中点， 故④正确； 连接AC，则AC6， ∵CF+AF≥AC， ∴CF+6≥6， ∴CF≥66， ∴CF的最小值为66， 故⑤正确， 故选：B． 【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、乘法公式、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分15分） 11．因式分解：x2﹣9y2＝　（x+3y）（x﹣3y）　 ． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x+3y）（x﹣3y）． 故答案为：（x+3y）（x﹣3y）． 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 12．（3分）某校男子足球队的年龄分布如图所示，则这些队员年龄的众数是 　15　 岁． 【分析】根据众数的定义：众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据，找出统计图中最高的条形图所表示的年龄数即为众数． 【解答】解：由统计图可知，15岁人数最多，有8人， 即众数为15岁， 故答案为：15． 【点评】本题考查了众数的定义，条形统计图的知识，熟练掌握众数的定义是解题关键． 13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+c＝0没有实数根（c是常数），则c的取值范围是 c　 ． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣1）2﹣4c＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4c＜0， 解得c． 故答案为：c． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14．（3分）如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB＝6m，CD＝9m，两树底部的距离AC＝6m，点G与树AB，CD的根部点A，点C在一条直线上，AG＝16m，小颖估计自己的眼睛（点E）离地面1.6m，她从点G出发沿GC方向前进到点H时，恰好看不到树顶D，则GH的长为 　7.2　 m． 【分析】他看不见树顶D，则点F、B、D共线，作EP⊥CD于Q，交AB于P，如图，易得EG＝AF＝AQ＝CP＝1.6m，QP＝AC＝6m，计算出BQ＝AB﹣AQ＝4.4m，PD＝CD﹣CP＝7.4m，再证明△FQB∽△FPD，然后利用相似比计算出FQ即可求出答案． 【解答】解：作EP⊥CD于Q，交AB于P， ∴BQ＝AB﹣AQ＝4.4m，PD＝CD﹣CP＝7.4m， ∵BQ∥PD， ∴△FQB∽△FPD， ∴， 即． ∴FQ＝8.8， ∴AH＝FQ＝8.8， ∴GH＝AG﹣AH＝7.2m． 故答案为：7.2． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 15．（3分）如图，AB∥CD，连接AC，点E在AC上，连接ED、已知∠A＝30°，∠D＝70°，EF平分∠AED，以点E为顶点，ED为一边，在∠AED内作∠DEG，使它等于∠D（保留作图痕迹，不写作法）；根据尺规所作出射线EG的痕迹，求∠FEG为 　20　 度． 【分析】根据题意画出几何图形，根据平行线的性质得到∠C＝∠A＝30°，再利用三角形外角性质计算出∠AED＝100°，接着利用角平分线的定义得到∠DEF＝50°，然后利用∠DEG＝∠D＝70°，最后计算∠DEG﹣∠DEF即可． 【解答】解：如图，EG为所作． ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠A＝30°， ∴∠AED＝∠C+∠D＝30°+70°＝100°， ∵EF平分∠AED， ∴∠AEF＝∠DEF∠AED＝50°， ∵∠DEG＝∠D＝70°， ∴∠FEG＝∠DEG﹣∠DEF＝70°﹣50°＝20°． 故答案为：20． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质． 16．（3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线BD上一动点，点E是边AD上一动点，连接PA，PE．若AB＝4，，则PA+PE的最小值为 　2　 ． 【分析】连接AC，PC，记AC与BD交于点O，当C，P，E三点共线且CE⊥AD时，PA+PE的值最小，最小值为CE的长． 【解答】解：如图，连接AC，CP． 由菱形的性质，可知AC与BD互相垂直平分， ∴PA＝PC，OA＝OC，OB＝OD＝2， ∴OA＝OC2， ∴AC＝4， ∵PA+PE＝PC+PE， ∴当C，P，E三点共线且CE⊥AD时，PA+PE的值最小，最小值为CE的长， ∵S菱形ABCD＝AD•CE8， ∴CE2， ∴PA+PE的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查菱形的性质，垂线段最短、等面积法，掌握这些是本题关键． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17．（5分）计算﹣20230﹣|1|+2cos30°． 【分析】先计算零次幂，再化简绝对值，代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减． 【解答】解：原式＝﹣1﹣（1）+2 ＝﹣11 ＝0． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键． 18．（5分）解方程（组）： （1）； （2）． 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可； 【解答】解：（1）， ②×3，得3x+9y＝6③， ①﹣③，得﹣22y＝﹣22， 解得：y＝1， 把y＝1代入①，得x＝﹣1， ∴方程组的解为； （2）方程两边同时乘（x﹣1）2，得x﹣2（x﹣1）＝0， 去括号，得x﹣2x+2＝0， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入（x﹣1）2≠0， ∴分式方程的解为x＝2． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和分式方程，掌握解题步骤是解题的关键． 19．（5分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组组的解集． 【解答】解：， 解①得x＜﹣2， 解②得x， 则不等式组的解集是x＜﹣2． 【点评】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 20．（5分）好学的小明同学通过学习，知道一般情况下，要证明一个几何命题，需要明确命题中的已知和求证：根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证．再写出证明过程，小明准备用上述步骤，证明命题：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等．他已经画出如图的图形，请你帮他用符号表示已知，求证，并写出证明过程． 【分析】可设AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD＝A′D′，易得BD＝B′D′，利用SSS可求得△ABD≌△A′B′D′，那么∠B＝∠B′，进而根据SAS可得△ABC≌△A′B′C′． 【解答】解：已知，如图：△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD＝A′D′， 求证：△ABC≌△A′B′C′． 证明：∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线， ∴BDBC，B′D′B′C′， ∵BC＝B′C′， ∴BD＝B′D′， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（SSS）， ∴∠B＝∠B′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）． 【点评】本题考查全等三角形的判定．掌握三角形全等的判定定理并能灵活应用是解决本题的关键． 21．（8分）2025年3月31日是第30个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），七年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了七年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理、数据分为五组： A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100． 不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下： 请根据信息完成下列问题： （1）本次抽样调查的七年级学生人数为　60　 人，并补全频数分布直方图； （2）本次抽样调查的七年级学生竞赛成绩的中位数落在C 组内；（填A、B、C、D） （3）学校将从获得满分的4名同学（其中有两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学参加县里的竞赛，则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为　　 ； （4）该校七年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数． 【分析】（1）A组人数除以所占的比例求出七年级学生人数，然后求出D组的人数并补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）先列表求出所有等可能情况数和抽取同学中恰有一名男生和一名女生的情况数，然后运用概率公式求解即可； （4）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【解答】解：（1）本次抽样调查的七年级学生人数为：3÷5%＝60（人）， D组人数为：60﹣3﹣15﹣16﹣6＝20（人）； 补全频数分布直方图，如图即为所求； 故答案为：60； （2）由本次抽样调查的七年级学生人数为60（人），则中位数为数据从小到大排列后的第30位和31位数据的平均数， ∵2+15＝17，2+15+16＝33， ∴本次抽样调查的七年级学生竞赛成绩的中位数落在C组内， 故答案为：C； （3）从获得满分的4名同学（其中有两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学参加县里的竞赛，列表如下： 男 男 女 女 男 ﹣ 男、男 女、男 女、男 男 男，男 ﹣ 女、男 女、男 女 男、女 男、女 ﹣ 女、女 女 男、女 男、女 女、女 ﹣ 由列表可知共有12种等可能结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的情况数为8，则抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为， 故答案为：； （4）（人）， 答：估计该校七年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的有390人． 【点评】本题主要考查了列表法与树状图法，用样本估计总体，频数（率）分布直方图，扇形统计图，中位数，概率公式，灵活运算所学知识成为解题的关键． 22．（8分）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，且，求AB的长和△ABC的面积． 【分析】过点A作BC的垂线，再结合特殊角的三角函数值及正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 在Rt△ACM中， sinC， ∴AM， ∴CM． 在Rt△ABM中， tanB， ∴BM， ∴AB，BC， ∴S△ABC． 【点评】本题主要考查了三角形的面积、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形及勾股定理，熟知勾股定理及特殊角的三角函数值是解题的关键． 23．（8分）P是⊙O的弦CB延长线上的一点，点A在⊙O上，且PA是⊙O的切线，求证：∠PCA＝∠BAP． 【分析】连接并且延长AO交⊙O于点E，连接BE，由AE是⊙O的直径，得∠ABE＝90°，则∠E+∠BAE＝90°，由切线的性质得∠PAE＝90°，则∠BAP+∠BAE＝90°，所以∠E＝∠BAP，根据圆周角定理得∠E＝∠PCA，即可证明∠PCA＝∠BAP． 【解答】证明：连接并且延长AO交⊙O于点E，连接BE， ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， ∵PA是⊙O的切线， ∴PA⊥AE， ∴∠PAE＝90°， ∴∠BAP+∠BAE＝90°， ∴∠E＝∠BAP， ∵∠E＝∠PCA， ∴∠PCA＝∠BAP． 【点评】此题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、切线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 24．（8分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，BE平分∠ABC． （1）求证：四边形DBFE是菱形； （2）若AB＝10，BC＝8，求DE的值． 【分析】（1）先证明四边形DBFE是平行四边形，∠DEB＝∠EBC，再证明∠ABE＝∠DEB，则BD＝ED，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得BD＝DE，设BD＝DE＝x，则AD＝AB﹣BD＝10﹣x，再证明△ADE∽△ABC，得，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DBFE是平行四边形，∠DEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠ABE＝∠DEB， ∴BD＝ED， ∴平行四边形DBFE是菱形； （2）解：（1）由（1）可知，四边形DBFE是菱形， ∴BD＝DE， 设BD＝DE＝x，则AD＝AB﹣BD＝10﹣x， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， 解得：x， 即DE的值为． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质解题的关键． 25．（8分）某单位对两种农产品A，B联系超市助销，该超市购买A产品进价为28元/kg；B产品的进货量超过500kg的部分有优惠，且B产品的付款金额y（单位：元）与进货量x（单位：kg）之间都是一次函数关系，下表所示部分付款情况，该超市对A产品的售价定为35元/kg，B产品的售价定为20元/kg． B产品进货量xkg 0 100 300 500 700 900 1000 付款金额y元 0 1500 4500 7500 9900 12300 13500 （1）求出0≤x≤500和x＞500时，y与x之间的函数关系式． （2）若该超市购进A，B两种产品共1200kg，并全部售出，但超市要求B产品的进货量不低于300kg，且不高于1000kg，设销售完A，B两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与B种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的进货方案． （3）在（2）中获得最大利润的进货方案下，售出A或B产品每千克都提出0.2a元返给农户，全部售出后所获总利润不低于5500元，求a的最大值． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分当300≤x≤500时，当500＜x≤1000时，两种情况根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出w关于x的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可； （3）根据（2）所求，根据利润＝（售价﹣进价﹣0.2a）×销售量，结合总利润不低于5500元列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）由表中可知，当0≤x≤500时，y是x的正比例函数， 设y＝k1x， 根据题意可知，100k1＝1500， 解得k1＝15， ∴y＝15x； 当x＞500时，设y＝k2x+b， 根据题意列二元一次方程组可得，， 解得， ∴y＝12x+1500； （2）当300≤x≤500时， 由题意得一次函数：w＝（35﹣28）（1200﹣x）+（20﹣15）x＝﹣2x+8400． ∵﹣2＜0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x取最小值300时，w有最大值为7800元； 当500＜x≤1000时， 由题意得一次函数：w＝（35﹣28）（1200﹣x）+20x﹣（12x+1500）＝x+6900， ∵1＞0， ∴w随x的增大而增大． ∴当x取最大值1000时，w有最大值为7900元； ∵7800＜7900， ∴当x＝1000时，1200﹣x＝1200﹣1000＝200； ∴当A产品进货量为200kg，B产品进货量为1000kg时，可获得最大利润． （3）根据题意列一元一次不等式得， 200（35﹣28﹣0.2a）+500（20﹣15﹣0.2a）+500（20﹣12﹣0.2a）≥5500， 解得a≤10， ∴a的最大值为10． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求出对应的函数关系式是解题的关键． 26．（12分）综合与探究 如图，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A（﹣1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P（m，n）． ①用含m的式子表示：PD＝　﹣m2+2m+3　 ，DE＝　﹣m+3　 ； 直接用①的结论求解②③； ②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标； ③若PE＝2DE，求点P的坐标． 【分析】（1）直接用待定系数法求解即可； （2）①由抛物线解析式可求出点B的坐标，则可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3；设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），从而得PD，DE的解析式； ②由①可得PE；由PE＝DE，得关于m的方程，即可求得点P的坐标； ③由PE＝2DE建立方程，可求点P的坐标． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴负半轴相交于点A（﹣1，0）．将点A，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）①抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴正半轴相交于点B， 当y＝0时，得：﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）； 设直线BC的表达式为y＝kx+b（k≠0），将点B、点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3， 设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3）， 则PD＝﹣m2+2m+3，DE＝﹣m+3； 故答案为：﹣m2+2m+3，﹣m+3； ②点P的坐标为（1，4）；理由如下： 由①知，PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， 若PE＝DE，则﹣m2+3m＝﹣m+3， 解得：m＝3（不合题意，舍去）或m＝1， ∴点P（1，4）； ③若PE＝2DE，则﹣m2+3m＝﹣2m+6， 解得：m＝3（不合题意，舍去）或m＝2， ∴点P（2，3）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识，掌握这些知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/1 9:37:52；用户：张思雨；邮箱：18366661343；学号：24445058 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $