6.3 反比例函数的应用 题型突破 2025-2026学年北师大版九年级数学上册(七大题型)

6.3反比例函数的应用题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册(七大题型) 题型一：反比例函数的应用——行程问题 1.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 2.一辆汽车准备从甲地开往乙地．若平均速度为80km/h，则需要5h到达． （1）写出汽车从甲地到乙地所用时间t与平均速度v之间的关系式； （2）如果需要8h到达，那么平均速度是多少？ 3.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 4.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 5.如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 题型二：反比例函数的应用——工程问题 1.某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 2.某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是 ． （2）当时，放水的平均速度为 ． 3.周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 4.某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 5.某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)该蓄水池的蓄水量为_________； (2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？ 题型三：反比例函数的应用——商品销售问题 1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 2.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 3.某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）． (1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； ①求出当4≤x≤8时的函数关系式； ②求出当8＜x≤28时的函数关系式． (2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式； (3)求出年利润的最大值． 4.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 5.某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成， 其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据： x（场） 4 8 15 p（万元） 5 6 7 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式； （3）当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？ （4）在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？（结果保留整数） 题型四：反比例函数的应用——几何图形问题 1.面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 2．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ． 3.某中学要在校园内划出一块面积为100m2的三角形土地做花圃，设这个三角形的一边长为xm，这条边上的高为ym，那么y关于x的函数解析式是 ，它是一个 函数． 4.如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记 点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 5.某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h． (1)求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (2)若底面S为，则水池高度为多少m？ (3)楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？ 题型五：反比例函数的应用——物理问题 1.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流Ⅰ（A）与电阻R（）是反比例函数关系，如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数解析式为 B．蓄电池组的电压是 C．当A时， D．当时，A 3.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于 4.某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 5.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力F一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）存在函数关系：（如图所示）若木板面积为0.2m2，则压强为 　 Pa． 6.某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； (2)如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 题型六：反比例函数的应用——表格问题 1.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 2.全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系 ． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 3.小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 4.如表是近视眼镜的度数D（单位：度）与镜片焦距f（单位：米）之间的关系表： f/米 0.5 0.4 0.25 0.2 …… D/度 200 250 400 500 …… (1)观察表中的数据，眼镜度数D（单位：度）和镜片焦距f（单位：米）之间成反比例函数关系，求眼镜度数D（单位：度）关于焦距f（单位：米）的函数表达式． (2)若小明佩戴的是一副125度的近视眼镜（两个镜片度数相同），则佩戴的镜片焦距f为多少米？ 题型七：反比例函数与一次函数的实际应用 1. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 2.为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）． （1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式； （2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长． 3.如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数图象于两点． （1）求m，n的值； （2）求直线AB的解析式； （3）请你根据图象直接写出不等式． 4.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集； （3）求． 【答案】 6.3反比例函数的应用题型突破2025-2026学年 北师大版九年级上册(七大题型) 题型一：反比例函数的应用——行程问题 1.列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________． 【答案】240 2.一辆汽车准备从甲地开往乙地．若平均速度为80km/h，则需要5h到达． （1）写出汽车从甲地到乙地所用时间t与平均速度v之间的关系式； （2）如果需要8h到达，那么平均速度是多少？ 【答案】解：（1）∵平均速度为80km/h，则需要5h到达， ∴甲地到乙地的距离为80×5＝400（km）， ∴vt＝400， ∴汽车从甲地到乙地所用时间t与平均速度v之间的关系式t＝； （2）当t＝8时，v＝＝50， ∴平均速度是50km/h． 3.一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(m，0.5)． (1)求k和m的值； (2)若行驶速度不得超过50km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？ 【答案】 (1) 由题意得，函数经过点（40，1）， ，得k=40， ∴函数关系式为： 把（m，0．5）代入，得m=80； (2) 把v=50代入，得， ∵t随v的增大而减小， ∴汽车通过该路段最少需要小时． 4.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以千米/小时的平均速度从甲地出发，经过小时可达乙地． (1)甲、乙两地相距多远？ (2)如果汽车的速度（千米/小时）提高，那么从甲地到乙地所需的时间将怎样变化？ (3)由于某种原因，这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地，则此地时汽车平均速度应至少为多少？ 【答案】(1)300千米 (2)从甲地到乙地所需的时间将减小 (3)60千米/小时 【详解】（1）解：千米， 答：甲、乙两地相距300千米； （2）解：∵汽车的速度与从甲地到乙地所需的时间的乘积等于甲、乙两地的距离， ∴当汽车的速度提高时，到达的时间将减小； （3）解：设（v为汽车的速度，t为到达时间）， 当时，， ∵， ∴v随t增大而减小， ∴当这辆汽车需要在小时内从甲地到乙地时，汽车平均速度应大于等于60千米/小时， ∴汽车平均速度应至少为60千米/小时． 5.如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．小颖发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v与t的函数表达式； (2)已知在限速区间上行驶的小型载客汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得，， ； 答：与的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 小颖的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间范围为． 题型二：反比例函数的应用——工程问题 1.某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 【答案】5小时 2.某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需． （1）v与t之间的函数表达式是 ． （2）当时，放水的平均速度为 ． 【答案】 400 【详解】解：某游泳池有水，设放水的平均速度为，将池内的水放完需， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：①，②． 3.周末，学校组织全体团员进行社会实践活动，活动结束后，李杰要把一份1600字的社会调查报告录入电脑.设他录入文字的速度为字/分，完成录入所需的时间为分钟. (1)求与之间的函数关系式； (2)当李杰录入文字的速度为100字/分，完成录入的时间为多少？ 【答案】(1) (2)完成录入所需的时间为16分钟 【详解】（1）由题意，得与之间的函数关系式为； （2）将字/分代入上式，得（分）， 答：完成录入所需的时间为16分钟． 4.某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 5.某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)该蓄水池的蓄水量为_________； (2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？ 【答案】(1)18000(2)(3)1800 【详解】（1）解：设， ∵点（6，3000）在此函数图象上， ∴蓄水量为6×3000＝18000m3． 故答案为：18000． （2）蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系式为：， ∵每小时排水量不超过， ∴根据反比例函数的增减性可知，时，每小时排水量不超过． 故答案为：． （3）设原计划每小时的排水量是，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：原计划每小时的排水量是． 题型三：反比例函数的应用——商品销售问题 1.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C． 2.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y个之间有如下关系： x （元） 3 4 5 6 y （个） 20 15 12 10 (1)请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、反比例函数和其它函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出W（元）与x（元）之间的函数关系式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)； (2)当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润 【详解】（1）解：反比例函数能表示其变化规律．因为表中每对x、y的值的乘积均为60，是一个定值．其解析式为； （2）∵， 又∵， ∴当，W最大， 故当日销售单价x定为10元时，才能获得最大日销售利润． 3.某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）． (1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式； ①求出当4≤x≤8时的函数关系式； ②求出当8＜x≤28时的函数关系式． (2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式； (3)求出年利润的最大值． 【答案】(1)①y＝；②y＝－x+28 (2) (3)年利润最大为114元 【详解】（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）. 将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160， ∴y＝ ②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）. 分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得 ∴y＝－x +28 （2）当4≤x≤8时，w＝ 当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112 ＝－(x－16)2+114 综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为 （3）当4≤x≤8时， ∵－640＜0， ∴w随x增大而增大， ∴当x＝8时，w有最大值，为 当8＜x≤28时， ∵－1＜0 ∴当x＝16时，w有最大值，为114 ∵80＜114 ∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元 4.某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 (1)求y关于x的关系式； (2)某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】(1)y关于x的关系式为； (2)每台空调的定价为2750元． 【详解】（1）解：∵， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴y关于x的关系式为； （2）解：设销售单价降低x元，则每台的销售利润为元，平均每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为(元)． 答：每台空调的定价为2750元． 5.某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y（台），在销售过程中获得以下信息： 信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台； 信息2：产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分组成， 其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据： x（场） 4 8 15 p（万元） 5 6 7 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式； （3）当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？ （4）在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？（结果保留整数） 【答案】 解：（1）由题意可得，y与x的函数关系式为y＝38﹣2（x﹣1）＝﹣2x+40； （2）设基本价为b， ①∵第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比， ∴设p与x的函数关系式为p＝ax+b， 依题意得，解得， ∴p＝x+4（1≤x≤10）； ②∵第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，由①知b＝4， ∴设p与x的函数关系式为p＝+4， 依题意得7＝+4，解得m＝45， ∴p＝+4（11≤x≤18）； 综上所述，销售单价p与销售场次x之间的函数关系式为 p＝； （3）当p＝6.5时，6.5＝x+4或6.5＝+4，解得x＝10或x＝18． ∴当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场； （4）设每场获得的利润为w（万元）． ①当1≤x≤10时，w＝（x+4﹣4）（﹣2x+40）＝﹣（x﹣10）2+50， ∵﹣＜0， ∴当x＝10时，w最大，最大利润为50万元； ②当11≤x≤18时，w＝（+4﹣4）（﹣2x+40）＝﹣90， ∵1800＞0， ∴w随x的增大而减小， ∴当x＝11时，w最大，最大利润w＝﹣90≈74（万元）， ∵50＜74， ∴在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元． 题型四：反比例函数的应用——几何图形问题 1.面积为4的矩形一边为x，另一边为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ． 【答案】 3.某中学要在校园内划出一块面积为100m2的三角形土地做花圃，设这个三角形的一边长为xm，这条边上的高为ym，那么y关于x的函数解析式是 ，它是一个 函数． 【答案】 y＝ 反比例 4.如图，在矩形中，是边上与点不重合的任意点．记 点到的距离为（即），则与之间的函数关系式为 （写出自变量的取值范围）． 【答案】（） 5.某商住楼需要在楼顶平台建一个长方体储水池以便进行二次供水，水池的底面为正方形．由设计单位核算知，水池的总储水量为．若水池底面为S，高为h． (1)求出S与h的函数关系，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (2)若底面S为，则水池高度为多少m？ (3)楼顶平台长为30m，宽为15m，规定水池底面边长不超过楼顶平台宽的40%，同时考虑到楼顶平台承受能力，水池底面不能小于，则水池高度h在什么范围？ 【答案】(1)与的函数关系式为，函数大致图象如图所示． (2)底面积为时，水池高度为 (3)水池高度的取值范围为 【详解】（1）解：水池的总储水量为， ， ， 所以与的函数关系式为， 函数大致图象如图所示： （2）解：当时， ， 故底面积为时，水池高度为． （3）解：规定水池地面边长不超过楼顶平面宽的， 水池边长， 由题意得， 又， ， ， 故水池高度的取值范围为． 题型五：反比例函数的应用——物理问题 1.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 2．已知一块蓄电池组的电压为定值，使用蓄电池组时，电流Ⅰ（A）与电阻R（）是反比例函数关系，如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．函数解析式为 B．蓄电池组的电压是 C．当A时， D．当时，A 【答案】D 3.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（　　） A．不小于 B．不小于 C．小于 D．小于 【答案】B． 4.某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为 ． 【答案】4 5.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，这是因为人和木板对湿地的压力F一定时，人和木板对地面的压强p（Pa）与木板面积S（m2）存在函数关系：（如图所示）若木板面积为0.2m2，则压强为 　 Pa． 【答案】3000． 6.某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道．每块木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图象如图所示． (1)请根据图象直接写出这反比例函数表达式和自变量取值范围； (2)如果要求压强不超过，选用的木板的面积至少要多大？ 【答案】(1) (2)选用的木板的面积至少要 【详解】（1）解：由图象得：双曲线过点，在第一象限， ∴， ∴反比例函数表达式为：； （2）解：当时：，即：； 由图象可知，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴选用的木板的面积至少要． 题型六：反比例函数的应用——表格问题 1.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到表格如下． 供水时间（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数（厘米） 6 18 30 42 54 那么箭尺读数和供水时间最可能满足的函数关系是（　　）    A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．二次函数关系 D．反比例函数关系 【答案】B 2.全学科阅读工程开展以来，各学校充实了图书角，七年级同学们积极阅读了名著《西游记》，每天阅读的页数和读完全书需要的天数y之间的关系如下表：用式子表示与的关系 ． 每天看的页数 12 15 20 30 ．．． 需要的天数 75 60 45 30 ．．． 【答案】 3.小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【答案】(1)(2)不够用 【详解】（1）解：由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，所以y与x之间的函数表达式为 （2）当保持的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为    因为，所以油箱中的油不够用． 4.如表是近视眼镜的度数D（单位：度）与镜片焦距f（单位：米）之间的关系表： f/米 0.5 0.4 0.25 0.2 …… D/度 200 250 400 500 …… (1)观察表中的数据，眼镜度数D（单位：度）和镜片焦距f（单位：米）之间成反比例函数关系，求眼镜度数D（单位：度）关于焦距f（单位：米）的函数表达式． (2)若小明佩戴的是一副125度的近视眼镜（两个镜片度数相同），则佩戴的镜片焦距f为多少米？ 【答案】(1)(2)0.8米 【详解】（1）解：设眼镜度数D关于焦距f的函数表达式是， 根据题意，把代入可得：， ∴， ∴眼镜度数D关于焦距f的函数表达式是； （2）解：当时，， 解得：， 答：佩戴的镜片焦距f为0.8米． 题型七：反比例函数与一次函数的实际应用 2. 某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； (2)从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设正比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由可得，当时，， 由可得，当时，， 由函数图象可得，当时，， ∵， ∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 2.为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）． （1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式； （2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长． 【答案】解：（1）当x＞5时，设y关于x的函数解析式为y＝， 把（5，8）代入解析式得：8＝， 解得k＝40， ∴当x＞5时，y关于x的函数解析式为y＝； （2）根据题意得，当0＜x≤5时，y关于x的函数解析式为y＝x， 把y＝4代入y＝x得：x＝； 把y＝4代入y＝得：x＝10． ∵10﹣＝＝7.5（min）， ∴本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长为7.5min． 3.如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数图象于两点． （1）求m，n的值； （2）求直线AB的解析式； （3）请你根据图象直接写出不等式． 【答案】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图像交反比例函数图像于A（，4），B（3，m）， ∴， ∴， 将B（3，m）代入， 得， ∴B（3，2）； （2）将A（，4），B（3，2）代入y＝kx+b得，， 解得， ∴直线AB的解析式为； （3）∵A（，4），B（3，2）， 结合函数图象可知：当x＜0或时，， 即不等式的解集为：x＜0或． 4.如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式的解集； （3）求． 【答案】解：（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于， ∴ ∴， ∴反比例函数的表达式为 把，代入得 ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为为 （2）根据图象得，不等式的解集为或； （3）如图， 设一次函数交x轴于D，则， ∴ ∴ = =4 学科网（北京）股份有限公司 $