精品解析：辽宁省丹东市凤城市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度上学期期中测试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 2. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A. B. C. D. 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A. ①有一个角是直角 B. ③有一组邻边相等 C. ②对角线互相垂直 D. ④对角线互相平分 4. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 5. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 的三边长分别为1，，，的三边长分别为5，，，则和（ ） A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 无法判断是否相似 7. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D. 用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 8. 如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则_______． 12. 某射击运动员在同工艺条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上的次数 15 33 78 158 321 801 射中9环以上的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则“射中9环以上”的概率（结果保留0.1）_______； 13. 如果关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______． 14. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 15. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，则的长为_______． 三、解答题（本题8小题，共75分，应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米），他的影长米，已知小明的身高米，点E 在上，且，，求信号发射塔的高度． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，． （1）画出将 向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点 的对应点 的坐标（用含 a、b 的代数式表示） 19. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 20. 如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点． （1）若，求 的值； （2）求证：． 21. 根据以下销售情况，解决销售任务 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元 每天可售出32件，每件盈利30元 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元 任务解决 任务1 甲店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 乙店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元 22. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期中测试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使方程是关于x的一元二次方程，则（ ） A. B. C. 且 D. 且且 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出答案，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：由题意知：， 解得， 故选：B． 2. 两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为， 而相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴其面积比为：． 故选：B． 3. 在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（　　） A. ①有一个角是直角 B. ③有一组邻边相等 C. ②对角线互相垂直 D. ④对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形，矩形和正方形的判定定理，根据菱形，矩形和正方形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故此选项正确，不符合题意； D、对角线互相平分的菱形不一定是正方形，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（ ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 5. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 6. 的三边长分别为1，，，的三边长分别为5，，，则和（ ） A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 无法判断是否相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证明三边比例相等可得两个三角形相似．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴两个三角形相似，   故选： A． 7. 某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（ ） A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，高明辉随机出的是“剪刀” B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上 D. 用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识点，解题的关键在于从折线图读取稳定频率，观察折线在大次数试验后稳定在哪个数值附近；图中最后频率大约在到之间，即约，再去比对选项即可． 【详解】选项A、“石头、剪刀、布”，出“剪刀”的概率，与题意不符； 选项B 、掷骰子点数为6的概率，与题意相符； 选项C 、两枚硬币都正面朝上的概率，与题意不符； 选项D 、用2、3、4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数，末位为或时是偶数，可能情况：末位时前两位排列有种，末位时也有种，总共4种；所有三位数有种，概率，与题意不符． 故选：B． 8. 如图，张老汉想用长为70米的棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为640平方米的矩形羊圈，并在边上留一个2米宽的门（建在处，门用其他材料）．设的长为米，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：矩形在边上留一个2米宽的门，设的长为米，共用长为70米的棚栏围成矩形， ∴（米）， ∵围成一个面积为640平方米的矩形羊圈， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A. B. C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 12. 某射击运动员在同工艺条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上的次数 15 33 78 158 321 801 射中9环以上的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则“射中9环以上”的概率（结果保留0.1）_______； 【答案】## 【解析】 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵由题意可知，射击1000次时，运动员射击一次时“射中9环以上”的频率为0.801， ∴用频率估计概率为0.801，结果保留0.1后，可知概率值为0.8， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.8． 故答案为：0.8 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 13. 如果关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据且列式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故答案为：且． 14. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中对角线的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定及勾股定理，得出是等边三角形是解题关键．根据正方形的性质，利用勾股定理可求出，根据菱形的性质，结合得出是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在菱形中，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为： 15. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据题中“完美分割线”的定义得到，得到，先求出，再次利用比例关系可求出的长． 【详解】解：根据“完美分割线”的定义得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本题8小题，共75分，应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法． 用分解因式法解一元二次方程； 用配方法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 分解因式得：， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时除以得：， 移项得：， 配方得：， 分解因式得：， 两边同时开方得：， 解得：，． 17. 如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米（米），他的影长米，已知小明的身高米，点E 在上，且，，求信号发射塔的高度． 【答案】19.8米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，根据对应边成比例即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， ，即， ， 即信号发射塔的高度为19.8米． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，． （1）画出将 向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）若内部任意一点的坐标为，直接写出经过（2）的变化后点 的对应点 的坐标（用含 a、b 的代数式表示） 【答案】（1） 解：如图所示，为所求三角形． （2） 解：如图所示，为所求角形． （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，画位似图形，数形结合是解题的关键． （1）利用平移的性质得出对应点坐标位置进而得出答案； （2）画出一个以点O为位似中心的，使得与的相似比为即可； （3）根据相似比即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可知，且相似比为， ∴当点的坐标为时，对应点的坐标为：． 19. 消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． （1）若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及被选到的2位老师是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 20. 如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点． （1）若，求 的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知，则， 在平行四边形中，， ． 【解析】 【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形性质，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案； （2）由平行线性质得到、，结合平行线性质得到，利用相似三角形的判定定理即可得证． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，， ， ； 【小问2详解】 略 21. 根据以下销售情况，解决销售任务 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元 每天可售出32件，每件盈利30元 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件 情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元 任务解决 任务1 甲店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 乙店每天的销售量___________件（用含的代数式表示） 任务2 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元 【答案】任务1：，；任务2：两家分店下降的价格为元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式、有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1：由每件衬衫每降价元，甲、乙两家店一天都可多售出件，即可得出结论； 任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利和为元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：件， 乙店每天的销售量为件， 任务2：设两家分店下降的价格为元，列方程得： ， 解得：， 答：两家分店下降的价格为元，两家分店一天的盈利和为2244元． 22. 综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2） ①四边形为菱形；理由如下： 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②；理由如下： ∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）或5 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点M作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴此时点M在上， 根据解析（1）可知，此时四边形为正方形， ∴； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在； 综上分析可知：或5． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $