云南省昆明市第一中学2026届高三第四次联考数学试题

A.(0,1) @3 n. 7.将函数y=s(x+四回<习图象上所有点的横坐标变为原来的)再将所得图象向左平移石个单位得 2 6 到函数y=f(x)的图象，若函数f(x)为奇函数，则p的值为 A月 B._ C. 6 D.π 6 3 2026 8.若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f)=1,则∑f(k)= =1 A.-3 B.-2 C.0 D.1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校进行数学竞赛，将100名参赛学生的成绩整理如下： 成绩（分） [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90100] 频数 5 25 30 20 10 10 根据表中数据，下列结论正确的是 A.这100名学生成绩的极差为60分 B.这100名学生成绩的平均数大于60分 C.这100名学生成绩的中位数不小于60分 D.这100名学生成绩大于60分的人数所占比例不超过70% 10.设函数f(x)=2x3-3ar2+1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a使得点1，fI)为曲线y=f(x)的对称中心 11.己知△ABC的顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上，且△ABC的重心为抛物线C的焦点F,若 4++C,则下列说法正确的是 A.p=6 B.△ABC的三个项点到x轴的距离之和为18 C.△ABC的周长小于36 D.B上一动点P到直线2x-3y-5=0的距离的最小值为 13 数学试卷·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12。已知双由线若若-1a>0b~0的新近线方程是=，则双面线的高心车为 13.已知函数f)=血x-m,若曲线y=f(x)在亿，f)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= 14.某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“中国数学史”、“古今数学思想”、“世界数学通 史”、“几何原本”四门选修课程.要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必 须将这四门选修课程选修完，则每位同学的不同选修方式共有 种， 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2 bsinA=ctanC. 求+6的值； c2 (2)求角C的最大值. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD,DE⊥PC,EF⊥PB. (I)证明：平面PBC⊥平面EFD; P (2)若DA=2PD=2DC,求平面EFD与平面DEB的夹角的余弦值. B 数学试卷·第3页（共4页） 17.(15分) 己知曲线E:x2+4ay+4y2+a(x+2y)-b=0. (1)当a=0,b>0时，曲线E的四个顶点围城平行四边形的面积为4，求曲线E的方程： (2)当a=1,b=2时，正方形ABCD的四个顶点在曲线E上，求正方形ABCD的面积. 18.(17分) 函数f(x)=+1(a∈R,e=2.71828…为自然对数的底数). (1)若f(x)≤1恒成立， ()求a的值： (的若x20,证明：f()≤f≤ f(x) (2)若x≥0时，f(x)≥(a-1)x+1恒成立，求a的取值范围. 19.(17分) 己知数列{a},{bn},其前n项和分别为Sn,Tn· (1)若a=1，a+1=2a.+n-1,求证{a.+心是等比数列并求Sn: (2)若数列b}满足b=1,b,=1,b=b1+bn-2≥3，n∈N),则b}称为斐波那契数列， 0求今+么+么++是数列}中的第几项： (i)证明：Tn=b+2-1. 数学试卷·第4页（共4页）昆明市第一中学2026届高三年级第四次联考 数学参考答案 命题、审题组教师 杨昆华刘皖明莫利琴毛孝宗凹婷波王佳文顾先成丁茵张远雄蔺书琴 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B D A 1.解析：由2≤1，解得x≤0，则N=(-n,0],而M=[-1,2],所以M∩N=[-1,0],选B. 包.解桥：由+m0=2可1+m子20t1*i,放m=1,选C 3.解析：设a与6的夹角为0，由题意得(3a-2b)=7,所以9d+46-12a.b=7,又=bl=1,所以 a6-号所以cos6-号，即-号又0e0,可，所以a与6的夹角为弩选c 4.解析： sin 2a+1_sin'a+2sin acosa+cos2a (cosa+sina) cos a+sin a cos 2a cos2 a-sin2 a (cosa+sin acos a-sin a)cos a-sin a =1+tan=-3,选D. 1-tana 5.解析：由题意可得：AM=AB,+B,M=AB+BC=DC- 2D4-6-1 a+c)=-1a 2 4+b、1 , 选B 3a-2<0 6.解析：由题意得： 3a-2+4a20解得： 0<a<1 7.解析：由题意，()=sin2x++孕，因为f()为奇函数，则0=号(（keZ), 又网<分所以细=-子选A 3 8.解析：因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2, 令x=0可得，f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数， 令y=1得，f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即有f(x+2)+f(x)=f(x+1), 从而可知f(x+2)=-∫(x-1),f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函 数f(x)的一个周期为6. 1 因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1, f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一个周期内的f(1)+f(2)+…+(6)=0. 由于2026除以6余4，所以觉f)=f)+fB+f3)+f④=1-1-2-1=-3.选A. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD AD ACD 9.解析：对于A,因为100-40=60,90-50=40，所以这100名学生成绩的极差介于40分至60分之间， 故A错误；对于B,由频数分布表可得平均数约为68.5，故B正确；对于C,由题中频数分布表可知， 5+25<50,5+25+30>50,所以中位数位于[60,70)内，故C正确：对于D,这100名学生成绩大于60分的 频数不超过30+20叶10叶10=70，所以这100名学生中成绩大于60分的人数所占比例不超过70%，D正确.选 BCD. 10解折：A选现，自)0：可得如=2+京对于亚数y2+是=2-子-仁 x3 且x≠0，所以f(x)在(-m,0),(1,+o)为增函数，(0,1)为减函数.当a>1时，3a>3,由图象可知直线y=3a 与y-2x+是有三个交点，即了)有三个零点，A正确：B选顶，了)=6r-6ax=6-0,当a<0 时，若f"(x)<0,则a<x<0,若∫'(x)>0,则x<a或x>0,则x=0是f(x)的极小值点，B错误：C选 项，对于aeR,当x→-n时，f(x)<0,x→+m时，(x)<0,故f(x)的图象不可能是轴对称图形， C错误；D选项，若点1，f)为曲线y=f(x)的对称中心，则有f(1+x)+f1-x)=2f),化简得 6x2(2-a=0,即a=2,所以当a=2时，对于VaeR等式成立，D正确，选AD. 山，解折：由抛物线E:-2n0>0)可知，其焦点F@孕，准线方程为y=号，设 4以C(6),由抛物线定义知A=男+号到=+号PC=y+号 +团+C,所以头+头+男-，根据三角形重心@标公式+》-号 3 ,可得 y+y+y=D,代入可得卫=6，所以抛物线方程为x=12y,对于A,D=6,A正确：对于B,△ABC 3 3 的三个顶点到x轴的距离之和为y+片+y=2P=9,B错误；对于C,根据三角不等式与，，>≥0， AB+BC+CA<2(FA+FB+FC=p2=36,C正确：对于D,设与直线2x-3y-5=0平行且与抛物 x2=12y 线相切的直线方程为2x-3y+m=0,联立 2x-3y+m=0'得r-8x-4m=0,由△=64+16m=0得 2 -5-（4)13 =-4,两平行线间的距离为 2+-3)=13,D正确，选ACD. 三、填空题 12.解析：双曲线的焦点在y轴上， 么3，所以离心率为 3 13.解析：由题意得：f')-1-血x-2x,所以f'0=1-h1-2a=1-2a=2,所以a=-号 x2 12 2 14.解析：（方法一）分步分析：①将四门选修课程分为三组，若分为211三组，有C=6(种)：若分为 22,0三组，有C:C=3(种)，若分为31,0三组，有C=4(种)，则共有6+3+4=13（种）分组方法.② A 将分好的三组安排到三年内选修，有A=6(种)，则一共有13×6=78（种）不同的选修方式.（方法二） 排除法：四门课程任意选，再排除四门课程安排在同一学年的情况，共有3-C=78(种) 四、解答题 15.解：(1)由2 bsin A=ctanc得2 bsin A=c sinC ,即2 bsin AcosC=csinC, cosC 由正弦定理得：2 bacosC=c2, 由余弦定理得：2ba4+b-c -=c2,即a2+b2=2c2, 2ab 所以心+b2 C2 =2 …6分 (2)由余弦定理得：cosC=+b2-cc3 c2 2ab 2ab-a+b2c=2 =C二=，当且仅当a=b时取等号，因为C∈(0，， 所以C∈(0引，即角c的最大值为号 …13分 3 16.解：(1)因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥BC 由己知ABCD是矩形，所以BC⊥CD,而PD∩CD=D, 所以BC⊥平面PCD.因为DEC平面PCD,所以BC⊥DE 又因为DE⊥PC,BC∩PC=C,所以DE⊥平面PBC,所以DE⊥PB 又因为EF⊥PB,EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD, 所以平面PBC⊥平面EFD. …7分 (2)分别以DA,DC,DP为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xy2z,不妨设PD=DC=1, 则DA=2,因为PD=DC,DE⊥PC,所以E是PC的中点，由题意可得D(0,0,O),B(2,1,0),C(0,1,0), ro0.,a022 Z 所以Bn=(2-1W.D5=210.D5=@岁 E 由(1)知：BP=(-2,-1,1)是平面EFD的一个法向量. 设平面DEB的一个法向量为n=(x,y,z), 3 B n.DB=2x+y=0, 则 m-0s-+号=0 取：=1，得y=-1,X支所以1-兮，11)是平面DB的一个法向量 设平面EFD与平面DEB的夹角为O, BP.n -2×5+(-1D×(-1)+1×1 所以cos8= ®网 6×4 9 所以平面BD与平面DBB的夹角的余弦值为 …15分 9 解：(1）由题意知，当a三0.b≥0时，x+4y-b=0,即芳+片 4 所以曲线五的四个顶点围成平行四边形的面积为2万√万=4，即b=4, 所以曲线日的方程为等+y1. ……7分 (2)当a=1,b=2时，x2+4xy+4y2+(x+2y)-2=(x+2y)2+(x+2y)-2=0 即(x+2y+2)(x+2y-1)=0,由题意知，正方形ABCD的四个顶点在曲线E上， 所以正方形ABCD的边长为d=2-（-_3 V12+22√51 所以正方形4ABCD的面积为店”=9 5 …15分 &.解：(1)①因为f①)二1恒成立，即ax+1≤e恒成立 令8(x)=e,h(x)=ar+1,8(w)与h()均过定点A(0,1),8(x)在点A处的切线方程为y=x+1, 结合g(x)与h(x)的图象可知g(x)≥h(x)恒成立时a=1. …4分 i先证：)≤：即x+0se产GK20),即+1se6x≥0，即e-x-12020 令t(x)=e-x-1,t'()=e-1≥0，所以t(x)在[0，+o)上单调递增， 所以w2t0=0,即e2x+1,所以f6)≤70 …7分 再证：f(-x)≤f(x),即(-x+1)e≤(x+1)e,即(x+1)e+(x-1)e≥0， 令T(x)=(x+1)e+(x-1)e(x≥0)，T'(x)=x(e-e)≥0，所以T(x)在[0，+o)上单调递增， 所以T(x)≥T(0)=0,所以f(-x)≤f(x) 4 综上，作动@之0 …10分 2）2a+x≥0恒流立，即a-+c≥0恒成立 即[(a-1)x+1]e--1≤0(x≥0)恒成立，令F(x)=[(a-1)x+1]e*--1,则F(O)=0, 所以F'(x)=[(a-1)x+a]e-a,所以F'(0)=0,F"(x)=[(a-1)x+2a-1]e, 所以F0=2a-1s0为必要条作，即a≤分下证充分性， 当a≤号时，F'()≤0，所以F)在[0，+)上单调递减， F'(x)≤F'(O)=0,所以F(x)在[0，+∞)上单调递减，所以F(x)≤F(O)=0, 即f)≥a-1x+10x≥0)成立，综上，a的取值范围为-：2 。17 …17分 19.解：(1)因为a1=2a,+n-1,所以a1+n+1=2a,+21=2(a.+), 则{a,+乃是以a+1=2为首项，2为公比的等比数列，得a+n=2”,所以a=2”-n, 得3=(2+2+…+2)-0+2++0=20-22）_00+D-21-2-0+0. …7分 1-22 2 (2)(i)由于b=b,=1,则 b2+b,2+b,2+…+b2=bb,+b26-b)+b,b4-b2)+…+b(b1-bn-1) =bB,+bB:-bB +bb-Bb++bb-bB=bb 那么+b+++么-g=4, b, b 即今+b+么+…+么为数列}的第8项 …11分 b。 (ii)证明：由题意，b2=1, T=b+b,+b,+…+b =(b+b2)+b,+b+…+b-b, =(b,+b2)+b,+…+b.-1 =(b,+b)+…+bn-1 … =(b+1+b)-1=b+2-1. …17分