精品解析：广西钦州市浦北县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季学期期中学业质量监测九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 0，0，2 B. 0，1，2 C. 1，0，2 D. 1，1，2 4. 点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 5. 方程的解是 A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. -2 C. -3 D. 2 8. 如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A. B. 点B和点E关于点O对称 C. D. 与关于点B成中心对称 9. 已知二次函数，下列叙述正确的是（　　） A. 当，y随x的增大而减小 B. 图象与x轴只有一个交点 C. 图象经过点 D. 当时，y有最大值 10. 毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 12. 如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 D. 在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 若是方程的一个根，则k的值是______． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为______． 16. 如图所示，在 中，，，，将 绕顶点 C 逆时针旋转得到， 与 相交于点 P．则 的最小值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，已知和． （1）若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； （2）在（1）的条件下，若，，，求的周长． 19. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）直接写出函数的顶点坐标、与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标及对称轴； （3）在所给的平面直角坐标系中，画出函数的图象． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根、满足，求a的值； 21. 如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，当四边形是菱形时，求的长． 22. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 23. 【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中学业质量监测九年级数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后与原图形完全重合的图形，据此逐项判断即可． 【详解】解： A：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B：该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； C：该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的识别，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如，其中，a、b、c是常数的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义（形如 ，其中 ），仅选项B符合条件，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的标准形式为 （）， 对于选项A：，最高次数为1，不是二次函数； 对于选项B：，符合二次函数定义； 对于选项C：，是反比例函数，不是二次函数； 对于选项D：，不符合二次函数形式． 故选：B． 3. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A. 0，0，2 B. 0，1，2 C. 1，0，2 D. 1，1，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程系数的识别，需熟悉一般形式 （其中 ）中各系数的含义； 直接根据一元二次方程的一般形式 ，读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：∵方程 是标准一元二次方程， ∴二次项系数为 1， 一次项系数为 1， 常数项为 2， 故选：D． 4. 点关于原点对称的点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标都变为相反数； 关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数. 【详解】解：∵ 点关于原点对称时，横纵坐标均取相反数， ∴ 点 的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 对称点为. 故答案为：B. 5. 方程的解是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】． 故选D． 6. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质求解，解题关键是掌握旋转的性质． 直接利用旋转的性质求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 又， ∴，解得：， 故选：C． 7. 若是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 3 B. -2 C. -3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2-3x-2=0的一次项系数是1，二次项系数-2， ∴由一元二次方程根与系数的关系，得 x1∙x2=-2． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 8. 如图，绕点O旋转得到，下列说法错误的是（　　） A. B. 点B和点E关于点O对称 C. D. 与关于点B成中心对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．绕点旋转得到，图形旋转后对应点关于对称中心对称，对应线段平行且相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：A：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，该选项正确； B：∵绕点旋转得到， ∴点和点关于点对称，该选项正确． C：由旋转性质可知，， ∴， 即，该选项正确． D：与是绕点旋转得到的， ∴是关于点成中心对称，而非点，该选项错误． 故选：D． 9. 已知二次函数，下列叙述正确的是（　　） A. 当，y随x的增大而减小 B. 图象与x轴只有一个交点 C. 图象经过点 D. 当时，y有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算二次函数的对称轴、判别式和特定点的函数值，判断各选项的正误． 【详解】解：A、当 时随增大而减小， 但 时并非始终随增大而减小（例如 时随增大而增大），故A错误； B、判别式 ，与轴无交点，故B错误； C、当 时，，故C错误． D、∵ 二次函数 ，其中 ，，， ∴ 对称轴 ， ∵ ，∴ 函数在 处取得最大值， 当 时，， ∴ 选项D正确； 故选：D． 10. 毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，两个函数图象交于轴上的同一点，排除C； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B； 故选：A． 12. 如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ） A. 小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大 C. 若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为 D. 在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 小球从刚开始接触弹簧速度并未减速，该选项错误，故不符合题意； B. 当弹簧被压缩了时，小球的速度最大，该选项错误，故不符合题意； C.抛物线的对称轴为直线， 所以的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， 所以，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为， 该选项正确，符合题意； D.当弹簧的长度为9cm时，被压缩了，此时，小球速度为0，与刚接触弹簧时的速度不相同，该选项错误，故不符合题意； 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，该函数关于轴对称，所以在处取得最值，即顶点坐标，理解函数的性质是解题的关键． 【详解】解：的对称轴为轴，开口向上， ∴当时，取得最小值为， ∴顶点坐标为：， 故答案为：． 14. 若是方程的一个根，则k的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．将已知根代入方程求解参数． 【详解】解：∵ 是方程 的一个根，所以代入方程得： ， 即 ， 化简得 ． 故答案为：0． 15. 如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图象法求不等式的解集．根据函数图象可知直线在抛物线上方时，取值范围，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，， 即的解集为， 故答案为：． 16. 如图所示，在 中，，，，将 绕顶点 C 逆时针旋转得到， 与 相交于点 P．则 的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了旋转的性质，勾股定理，当与垂直时，有最小值，即为直角三角形斜边上的高，由勾股定理求出长即可． 【详解】解：当与垂直时，有最小值，如图． ， ， ， 由旋转的性质得， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 则，即， 则， ，； 【小问2详解】 解：， ， 则， 解得：，． 18. 如图，已知和． （1）若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； （2）在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】（1） 如图，点O即为所求； （2）的周长为18 【解析】 【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心． （1）连接，，交点即为点O； （2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长为. 19. 已知二次函数． （1）用配方法将其化为的形式； （2）直接写出函数的顶点坐标、与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标及对称轴； （3）在所给的平面直角坐标系中，画出函数的图象． 【答案】（1） （2）函数的顶点坐标为，与x轴的交点为，，与y轴的交点为，对称轴为直线 （3） 描点、连线如图： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便． （1）运用配方法可得； （2）根据顶点式可得顶点坐标，分别令求出y的值，令求出x的值，即可求解； （3）根据列表、描点、连线可得函数图象． 【小问1详解】 解： . ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，函数的顶点坐标为， 对于，令，则， 令，解得或3， 故与x轴的交点为，，与y轴的交点为， 由（1）可得，对称轴为直线， 即函数的顶点坐标为，与x轴的交点为，，与y轴的交点为，对称轴为直线； 【小问3详解】 解：列表： x ⋯⋯ 0 1 2 3 4 ⋯⋯ y ⋯⋯ 3 0 0 3 ⋯⋯ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根、满足，求a的值； 【答案】（1） 证明：∵， 该方程总有两个实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是利用一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系． （1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，，即，从而列出关于的方程，解出即得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ， ∴ 即， 或， ∴或． 21. 如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． （1）求证：； （2）若，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ，，． ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ （）． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证明，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）要求的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合菱形的边求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在中，根据勾股定理： ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识，通过已知条件逐步推导是解题关键． 22. 项目学习实践 项目主题：合理设置智慧洒水车喷头 项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，环保绿化． 如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带．围绕这个问题，该小组开展了“合理设置智慧洒水车喷头”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 利用图1实际测量数据建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷水口离地面竖直高度为米．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米； （1）请你求出上边缘抛物线的函数解析式； 任务二：推理分析 小组成员通过进一步分析发现：当喷头洒水进行调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， （2）请你结合模型探究下边缘抛物线与轴交点的坐标； 任务三：实践探究 如果我们把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的距离为米． （3）当调整与绿化带距离为米，洒水车行驶时喷出的水覆盖区域能否洗灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由： ∵矩形，其水平宽度米，竖直高度米，米， 则（米） ∴点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合为上边缘抛物线的顶点，设，再把代入计算，即可作答． （2）结合二次函数的对称性得出点的对称点为，把代入，求出，因为下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，所以点B的坐标为； （3）因为二次函数的性质以及矩形的性质得点F的坐标为，代入得，即可作答． 【详解】解：（1）由题意得：为上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为． （2）∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的， 当时， 解得，（舍去）， ∴ ∴点B的坐标为； （3）略 23. 【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】 （1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $