第2讲整式的乘法-2025-2026学年北师大版七年级下册寒假预习

第2讲 整式的乘法 一、核心知识点 （一）幂的乘方 1. 定义 概念：一个幂的乘方，即底数是幂的形式（如），再对其进行乘方运算（如），表示“个相乘”。 示例：表示2个相乘，表示5个相乘，表示3个相乘。 2. 运算法则 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 符号表示：对于任意底数（，若，需注意的非负整数次幂性质），以及正整数、，有： · 法则推导（依据乘方的意义和同底数幂乘法法则）： · 以为例，（2个相乘），再根据同底数幂乘法法则“底数不变、指数相加”，得，验证法则成立。 3. 法则延伸 多个幂的乘方叠加：（、、均为正整数）。 · 示例：。 底数为多项式：将多项式看作一个整体，仍适用法则。 · 示例：。 （二）积的乘方 1. 定义 概念：两个或多个因式的积的乘方（如、），表示“个积相乘”。 示例：表示2个相乘，表示4个相乘，表示3个相乘。 2. 运算法则 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 符号表示：对于任意因式、（、），以及正整数，有： · 法则推导（依据乘方的意义和乘法交换律、结合律）： · 以为例，，验证法则成立。 3. 法则延伸 多个因式的积的乘方：（为正整数）。 · 示例：。 与科学记数法结合：当因式含10的幂时，可利用积的乘方简化计算。 · 示例：（结果化为科学记数法）。 4. 法则逆用 逆用公式：（用于简化计算，将两个幂的乘积转化为积的乘方）。 · 示例：计算时，逆用公式得。 （三）三种幂运算的核心区别（对比同底数幂乘法） 运算类型 法则核心 指数运算方式 示例 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 加法 幂的乘方 底数不变，指数相乘 乘法 积的乘方 各因式分别乘方，再相乘 各因式指数乘 二、常见易错知识 1. 幂的乘方与同底数幂乘法法则混淆 错误表现：将幂的乘方的“指数相乘”误记为“指数相加”，或反之。 · 示例1：错将计算为（错误，应为指数相乘：）； · 示例2：错将计算为（错误，应为指数相加：）。 正确分析：关键区分“运算本质”——同底数幂乘法是“多个相同底数的幂相乘”（指数累加），幂的乘方是“一个幂再乘方”（指数叠加），可结合法则推导过程记忆。 · 正确计算：，。 2. 积的乘方漏乘某个因式的乘方 错误表现：只对部分因式乘方，忽略常数项、单独字母等因式的乘方。 · 示例1：错将计算为（错误，漏对常数项3乘方，应为）； · 示例2：错将计算为（错误，漏对常数项乘方，应为）。 正确分析：积的乘方的核心是“每一个因式都要乘方”，包括常数项、负数、单独字母（指数为1）等，需逐个因式落实乘方运算。 · 正确计算：，。 3. 底数含负号时符号判断错误 错误表现：积的乘方中，负数因式的符号判断失误，忽略指数的奇偶性。 · 示例：错将计算为（错误，底数含负号，指数3是奇数，结果应为负）。 正确分析：当因式为负数时，先判断指数的奇偶性——指数为奇数时，结果符号与原负数一致；指数为偶数时，结果符号为正，再对绝对值部分进行乘方。 · 正确计算：，。 4. 法则逆用不熟练或错误 错误表现：不会逆用幂的乘方或积的乘方法则，或逆用时符号、指数处理错误。 · 示例1：已知，求时，无法联想到（幂的乘方逆用）； · 示例2：错将逆用为（错误，应为积的乘方逆用：）。 正确分析：逆用法则的关键是“对应法则本质”——幂的乘方逆用是“指数拆分相乘”（），积的乘方逆用是“指数相同的幂相乘转化为积的乘方”（）。 · 正确计算：，。 5. 混合运算中运算顺序或符号错误 错误表现：在“幂的乘方/积的乘方 + 同底数幂乘法 + 合并同类项”的混合运算中，违背运算顺序，或符号处理混乱。 · 示例：错将计算为（错误，第一步幂的乘方计算错误：，）。 正确分析：混合运算遵循“先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算同底数幂乘法，最后算加减（合并同类项）”，符号处理需分步落实，避免遗漏负号。 · 正确计算：。 6. 忽略指数为1的隐含条件 错误表现：单独字母的指数为1，乘方时易遗漏指数1，导致结果错误。 · 示例：错将计算为（错误，，乘方后应为）。 正确分析：当因式的指数为1时，虽然书写时省略，但乘方运算中需明确指数1，再与乘方的指数相乘。 · 正确计算：，。 【知识点结合练】 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、单项式的乘法，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方、单项式的乘法的运算法则，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项计算不正确，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、，故此选项计算不正确，不符合题意； D、，故此选项计算不正确，不符合题意； 故选：B． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，由单项式乘以单项式法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的混合运算，原式利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘单项式法则计算即可求出值． 【详解】解：， 故选：B． 4．计算的结果是（ ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式混合运算，熟练同底数幂乘法和合并同类项法则是解题的关键．先按同底数幂乘法法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故选：B． 5．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的运算法则分别计算即可判断求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 7．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和单项式乘以单项式，根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，单项式乘单项式的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键．用增加长椅后的面积减去改变前的面积即可． 【详解】解：长方形花坛放置长椅后的长为，宽为， 花坛放置长椅后的面积为， 而花坛原来的面积为 所以长椅的面积为， 故选：C． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．根据单项式的乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】直接去括号、合并同类项，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查单项式乘多项式，合并同类项，求代数式的值．正确将原式变形是解题关键． 11．，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 13．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键． 由题意易得且，然后将原式变形为后两边同乘以即可求得答案． 【详解】解：， 且，， 将两边同乘以得， 故答案为：． 14．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据新定义计算出，再根据新定义计算可得，据此计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故答案为：． 15．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，根据可得，将变形为，再将整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 三、解答题 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题考查的是多项式乘法，根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 19．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，是解题的关键： （1）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解原式． 20．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答． （2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 21．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)22 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以． 所以 ． 22．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，积的乘方，幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方法则，单项式与单项式相乘的乘法，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 23．计算． 【答案】 【详解】本题考查整式的乘法，根据多项式乘多项式的运算法则，单项式乘多项式的运算法则计算，然后再合并同类项即可． 【解答】解： ． 24．阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用换元法、公式法进行因式分解即可； （2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原式， ∴； （2）解：， 设，则原式 ； ∴． 试卷第4页，共14页 试卷第3页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 整式的乘法 一、核心知识点 （一）幂的乘方 1. 定义 概念：一个幂的乘方，即底数是幂的形式（如），再对其进行乘方运算（如），表示“个相乘”。 示例：表示2个相乘，表示5个相乘，表示3个相乘。 2. 运算法则 文字表述：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 符号表示：对于任意底数（，若，需注意的非负整数次幂性质），以及正整数、，有： · 法则推导（依据乘方的意义和同底数幂乘法法则）： · 以为例，（2个相乘），再根据同底数幂乘法法则“底数不变、指数相加”，得，验证法则成立。 3. 法则延伸 多个幂的乘方叠加：（、、均为正整数）。 · 示例：。 底数为多项式：将多项式看作一个整体，仍适用法则。 · 示例：。 （二）积的乘方 1. 定义 概念：两个或多个因式的积的乘方（如、），表示“个积相乘”。 示例：表示2个相乘，表示4个相乘，表示3个相乘。 2. 运算法则 文字表述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 符号表示：对于任意因式、（、），以及正整数，有： · 法则推导（依据乘方的意义和乘法交换律、结合律）： · 以为例，，验证法则成立。 3. 法则延伸 多个因式的积的乘方：（为正整数）。 · 示例：。 与科学记数法结合：当因式含10的幂时，可利用积的乘方简化计算。 · 示例：（结果化为科学记数法）。 4. 法则逆用 逆用公式：（用于简化计算，将两个幂的乘积转化为积的乘方）。 · 示例：计算时，逆用公式得。 （三）三种幂运算的核心区别（对比同底数幂乘法） 运算类型 法则核心 指数运算方式 示例 同底数幂乘法 底数不变，指数相加 加法 幂的乘方 底数不变，指数相乘 乘法 积的乘方 各因式分别乘方，再相乘 各因式指数乘 二、常见易错知识 1. 幂的乘方与同底数幂乘法法则混淆 错误表现：将幂的乘方的“指数相乘”误记为“指数相加”，或反之。 · 示例1：错将计算为（错误，应为指数相乘：）； · 示例2：错将计算为（错误，应为指数相加：）。 正确分析：关键区分“运算本质”——同底数幂乘法是“多个相同底数的幂相乘”（指数累加），幂的乘方是“一个幂再乘方”（指数叠加），可结合法则推导过程记忆。 · 正确计算：，。 2. 积的乘方漏乘某个因式的乘方 错误表现：只对部分因式乘方，忽略常数项、单独字母等因式的乘方。 · 示例1：错将计算为（错误，漏对常数项3乘方，应为）； · 示例2：错将计算为（错误，漏对常数项乘方，应为）。 正确分析：积的乘方的核心是“每一个因式都要乘方”，包括常数项、负数、单独字母（指数为1）等，需逐个因式落实乘方运算。 · 正确计算：，。 3. 底数含负号时符号判断错误 错误表现：积的乘方中，负数因式的符号判断失误，忽略指数的奇偶性。 · 示例：错将计算为（错误，底数含负号，指数3是奇数，结果应为负）。 正确分析：当因式为负数时，先判断指数的奇偶性——指数为奇数时，结果符号与原负数一致；指数为偶数时，结果符号为正，再对绝对值部分进行乘方。 · 正确计算：，。 4. 法则逆用不熟练或错误 错误表现：不会逆用幂的乘方或积的乘方法则，或逆用时符号、指数处理错误。 · 示例1：已知，求时，无法联想到（幂的乘方逆用）； · 示例2：错将逆用为（错误，应为积的乘方逆用：）。 正确分析：逆用法则的关键是“对应法则本质”——幂的乘方逆用是“指数拆分相乘”（），积的乘方逆用是“指数相同的幂相乘转化为积的乘方”（）。 · 正确计算：，。 5. 混合运算中运算顺序或符号错误 错误表现：在“幂的乘方/积的乘方 + 同底数幂乘法 + 合并同类项”的混合运算中，违背运算顺序，或符号处理混乱。 · 示例：错将计算为（错误，第一步幂的乘方计算错误：，）。 正确分析：混合运算遵循“先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算同底数幂乘法，最后算加减（合并同类项）”，符号处理需分步落实，避免遗漏负号。 · 正确计算：。 6. 忽略指数为1的隐含条件 错误表现：单独字母的指数为1，乘方时易遗漏指数1，导致结果错误。 · 示例：错将计算为（错误，，乘方后应为）。 正确分析：当因式的指数为1时，虽然书写时省略，但乘方运算中需明确指数1，再与乘方的指数相乘。 · 正确计算：，。 【知识点结合练】 一、单选题 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果是（ ） A．4 B． C． D． 5．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．公园里有一个长为，宽为的长方形花坛，现要在花坛四周放置长椅，如图所示，已知长椅的宽度为，则长椅的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．计算： ． 10．已知，则代数式的值为 ． 11．，则 ． 12．若，则的值为 ． 14．对定义一种新运算：．如：．计算： ． 15．若，，则 ． 16．若，则 ． 三、解答题 17．计算：． 18．计算： 19．计算： (1) (2) 20．如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 21．阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？试一试！ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 22．计算：． 23．计算． 24．阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $