精品解析：山东省淄博市桓台县2025-2026学年上学期七年级期中考试数学试题（五四学制）

桓台县初二数学练习题 一、选择题（请把正确选项填在表格中） 1. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 7. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ） A. 50° B. 70° C. 75° D. 80° 8. 如图，，点在的平分线上，，垂足为点，点在上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 18 9. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 10. 如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 一个三角形的两边长为12和9，第三边长为整数．则第三边长的最小值为_____． 12. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则_______． 13. 如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 14. 如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 15. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 三、解答题 16. 如图，，其中和，与是对应边，点E在边上，与交于点F． （1）试说明：； （2），求的度数． 17. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 18. 如图，四边形和四边形都是边长为3的正方形．以点为圆心、的长为半径的圆与正方形交于F，C两点，连接．求图中阴影部分的面积． 19. 如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 20. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 21. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，以秒的速度沿方向向点C运动，设点P运动的时间为t秒． （1）点P在运动过程中会存在某个位置，使得点P到边的距离与到点C的距离相等，请利用直尺和圆规确定出点P的位置；（保留画图痕迹，不写画法） （2）在（1）的条件下，求t的值． 22. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得，再往楼的方向前进60米至处，测得，点、在同一直线上．求这栋楼的高度（人的身高忽略不计）． 23. 如图，已知，平分，P为上一点，． （1）画图：在射线和上分别确定点M，N，使得的周长最小； （2）求的周长的最小值的近似值．（） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桓台县初二数学练习题 一、选择题（请把正确选项填在表格中） 1. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，解题的关键是理解“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形”． 根据轴对称图形的定义，逐一分析四个选项的图形是否存在这样的对称轴，进而确定正确选项． 【详解】解：轴对称图形的核心是存在一条对直线，使图形沿该直线折叠后两侧完全重合． A、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形； B、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形； C、图形沿任意直线折叠，两侧均无法完全重合，不是轴对称图形； D、存在一条直线，沿该直线折叠后，图形两侧能够完全重合，是轴对称图形． 故选：D． 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ） A. ， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求． B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求． C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求． D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求． 4. 将一副三角板如图摆放，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为．根据直角三角板的度数，再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图： ， ， 故选：． 5. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 7cm B. 9cm C. 12cm或者9cm D. 12cm 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，分别从若2cm为腰长，5cm为底边长与若2cm为底边长，5cm为腰长去分析求解即可求得答案． 【详解】若2cm为腰长，5cm为底边长， ∵2+2=4＜5，不能组成三角形， ∴不合题意，舍去； 若2cm为底边长，5cm为腰长， 则此三角形的周长为：2+5+5=12cm． 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用． 6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（ ） A. 0.7米 B. 1.5米 C. 2.2米 D. 2.4米 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 7. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（ ） A. 50° B. 70° C. 75° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可． 【详解】∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°， 故选B． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8. 如图，，点在的平分线上，，垂足为点，点在上．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查角平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等．解题核心是通过构造辅助线，将分散的条件关联起来．过点E作，交于点D，根据角平分线性质得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的判定得出． 【详解】解：过点E作，交于点D，如图所示： 点E在的平分线上，且， ， ， ， 在中，，（即）， ， ，点E在的平分线上， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵立柱垂直平分横梁，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 二、填空题 11. 一个三角形的两边长为12和9，第三边长为整数．则第三边长的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，第三边必须大于两边之差且小于两边之和，求出第三边的取值范围，然后根据第三边长为整数，求出最小值即可． 【详解】解：设第三边长为，则， 即， ∵为整数， ∴的最小值为4． 故答案为：4． 12. 如图，在中，，，是的角平分线，点在上，且，则_______． 【答案】22° 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB，由角平分线的定义得出∠DCB，根据两直线平行，内错角相等求出∠EDC． 【详解】∵∠A＝62°，∠B＝74°， ∴∠ACB＝， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB＝22°， ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠DCB＝22°， 故答案为：22°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为180°与平行线的性质是解题的关键． 13. 如图，点是内的一点，点分别是点关于，，的对称点．则_____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了考查了轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，连接，由对称性可得，利用可证明，可得，即可求解 ． 【详解】解：连接， ∵点E，F，G分别是点D关于的对称点， ∴， 在与中， ∴， ∴； 同理得：， ∴； ∴， 故答案为：． 14. 如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义及全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键．延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：3． 15. 如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为______． 【答案】20米## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 三、解答题 16. 如图，，其中和，与是对应边，点E在边上，与交于点F． （1）试说明：； （2），求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，即． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解； （1）根据全等三角形的性质，得，从而完成求解； （2）根据全等三角形的性质，得，再结合对顶角相等、三角形内角和的性质分析，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． 17. 如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【解析】 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 18. 如图，四边形和四边形都是边长为3的正方形．以点为圆心、的长为半径的圆与正方形交于F，C两点，连接．求图中阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，三角形面积计算，正方形的面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形的面积．根据正方形性质得出，，，根据扇形面积计算公式，三角形面积计算公式，正方形面积的计算，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ． 19. 如图，，．试判断与的关系，并说明理由． 【答案】 ，；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等，是解题的关键．根据全等三角形的性质，得出，，证明，即可得出答案． 【详解】略 20. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 【答案】够用 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 21. 如图，在中，，，，动点P从点B出发，以秒的速度沿方向向点C运动，设点P运动的时间为t秒． （1）点P在运动过程中会存在某个位置，使得点P到边的距离与到点C的距离相等，请利用直尺和圆规确定出点P的位置；（保留画图痕迹，不写画法） （2）在（1）的条件下，求t的值． 【答案】（1）如图，点P即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质等知识． （1）以为圆心，长为半径画弧交于，再分别以，为圆心大于为半径弧交于点，连接交即为点，此时平分线，点P到边的距离与到点C的距离相等； （2）由勾股定理求出的长，连接，过点P作于E，则，证，得，则，再在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得：， 如图，点P恰好运动到平分线上，点P到直线的距离与点P到点C的距离相等， 由已知可得：，， 连接，过点P作于E，如图所示： 则， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即当t的值为时，点P到边的距离与点P到点C的距离相等． 22. 在数学课外实践活动中，某小组测量一栋竖直楼房的高度（如图），他们在处仰望楼顶，测得，再往楼的方向前进60米至处，测得，点、在同一直线上．求这栋楼的高度（人的身高忽略不计）． 【答案】这栋楼的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，30度角的性质，勾股定理． 先由等角对等边得到米，由30度角的性质得到米，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ， 米， ， ， 米， 在中， （米）． 答：这栋楼的高度为米． 23. 如图，已知，平分，P为上一点，． （1）画图：在射线和上分别确定点M，N，使得的周长最小； （2）求的周长的最小值的近似值．（） 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的性质，以及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质进行求三角形周长的最小值． （1）分别作点P关于的对称点，连接，交于点M，交于点N，则此时周长的最小值等于线段，根据等腰三角形的性质和勾股定理，即可求解； （2）根据结合二次根式的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：分别作点P关于的对称点，连接，交于点M，交于点N； ∵，平分， ∴， 根据轴对称的性质，则： ， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即， ∴此时的周长的最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即周长的最小值为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即的周长的最小值的近似值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $