四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期第四次教学质量检测数学试题

绵阳南山中学高2023级高三第四次教学质量检测 数学 南山中学高三数学备课组 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知命题p:a=b,命题q:a2=b,则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知集合A={1,2,3,4,5,6,7},B={xlx=2m-1,n∈Z},则A∩B的真子集个数为 A.4 B.14 C.15 D.16 3.已知函数f(x)=x3+x-1,g(x)=3r+x-1,h(x)=log3x十x-1的零点分别为a,b,c,则a, b,c的大小顺序为 A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 4.已知双曲线mx2+ny2=1的离心率为e且渐近线互相垂直，则e+m十n= A号 B.1 C.√2 D.2 5.已知等差数列{an}共有2n+1项，奇数项之和为220，偶数项之和为200，则n= A.10 B.11 C.20 D.21 6已知椭圆后+芳=1a>6>0)的右顶点为A,M,N为椭圆上关于y销对称的两点（不同于点 A),直线AM,AN的斜率之积为元，则椭圆的离心率为 A. /3 3 B C. D 数学第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.已知函数f(z)=Asin(ux+p)(其中A>0,w>0,一吾<p<受)的导函数f(x)的部分图象如 图所示，若函数f(x)在区间（一a,a)上是增函数，则实数a的取值范围是 A(o,剖 B(0,割 c(,劉 D(o,] 8.我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为2.若函数簇2中的每一个函数都存在 极小值点xo,且当参数k变化时，由所有的点(xo,f(xo)构成一条曲线y=g(x),则称函数 簇n存在包络函数g(x).已知函数簇卫={f(xlf()=c-号x,其中为参数，若 “k∈M”是“2存在包络函数g(x)”的充要条件，则M= A.(-∞，0)U(e,+∞) B.(-∞，0) C.(e,+∞) n很+】 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9.记等差数列{an}的公差为d,且a3十a4=7,3a2十a=5;记等比数列{bn}的公比为q,Sn为其前 n项和，且S4=一3，S6=21S2,则下列选项正确的是 A.a1=-4 B.d=3 C.9=2 D.S8=-51 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x2+x,则 下列说法中正确的有 A.函数f(x)关于直线x=1对称 B.f(2024)+f(2025)=-2 C.x∈[1,2]时，f(x)=x2-5x+6 D.若关于x的方程f(x)=logx(a>1)至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围 是(1,5] 数学第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 1L.已知直线l:x=1交抛物线E:y2=2px(p>0)于P,Q两点，且OP⊥OQ,A,B,C是抛物线E 上三点，直线AB,AC与圆M:(x一2)2+y2=1相切于D,G两点，则下列说法正确的是 A.抛物线E的方程为y2=x B.直线BC与圆M相切 C.M市.M心的最大值为1 D.过点A的直线与圆M交于T,H两点，则AT,AH的最小值为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,2),b=(3,5),若a∥b,则x=▲ 13.已知sin(年+x=号，且0<x<晋，则tan2x=▲_ 14.已知函数fx)=子r+2a2+bx+c(a>0,b>0),若，x是函数f(x)的导函数∫(x)的 两个不同零点，且x,x2,4这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 则a+b=▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数f(.x)=2cosx(W3sinx+cosx)+m在区间[0，]上的最小值为6： (1)求实数m的值； (2)求曲线y=f(x)的对称中心坐标和对称轴方程. ， 16.(15分)已知直线1：x-my+1=0与圆C.(z-1)2+产=4交手A,B两点，点M(不同手点 A,B)在圆C上 (1)若m=2时，求△ABC的面积； 己围 (2)若tan∠AMB=2,求直线l的方程. =\. 阳.分，罗 流五中女， 以1 17.(15分)设数列{a}的前n项和为S,已知a1=1,2S,=na+1-3(m+1)(n+2),n∈N. (1)求a2,a3的值和数列{an}的通项公式； (2)数列 2m+1 的前n项和为Tm,求证：Tm≤l 数学第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分)已知函数f代)fmsin(m∈R).:怎8中 (1)当m=2时，求函数f(x)在(0，∫(0)处的切线方程： (2)若fx)在[-不，]上恰有2个零点，求m的取值花围， (3)若m>0,n<0,g(x)=f(x)+nx十V2m,o是g(x)的极值点，求证：g(x)+nln2≥ nln (-n). 汉的 19.(17分)已知椭圆后+芳-1(a>b>0)的左右焦点为，R,且离心率为号，P为椭圆上- 点，|PF|·|PF2的最大值为2. (1)求椭圆的方程； (2)若直线l:x=my一2与椭圆交于不同的两点A,B,点C与点A关于x轴对称，证明：直线 BC过定点； (3)若曲线)y=e>0)与稀圆交于M,N两点，直线MN的斜率为k,证明：0<k<号 (参考公式：M五，西∈（西≠，都有e中<曾二晋<“士成立） x1-x2 数学第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 绵阳南山中学高2023级高三第四次教学质量检测 数学答案详解 绵阳南山中学高2023级高三第四次教学质量检测数学试题双向细目表 题号 题型 分值 所属版块 主要数学知识 难度 单选 5 常用逻辑用语 充分条件，必要条件 2 单选 集合 集合的关系，集合的运算 单选 5 函数与导数 函数的零点 单选 5 平面解析几何 双曲线的性质 5 单选 5 数列 等差数列的通项及前n项和 6 单选 5 平面解析几何 椭圆的性质 单选 5 三角函数与三角恒等变换 三角函数的图象与性质 ▲▲ P 单选 5 函数与导数 函数的概念与性质 A△A 9 多选 6 数列 数列的通项及前n项和 10 多选 6 函数与导数 函数的图象与性质 △△ 11 多选 6 平面解析几何： 直线、圆、抛物线的性质 ▲▲A 12 填空 5 平面向量及其应用 两个向量平行 13 填空 5 三角函数与三角恒等变换 三角恒等变换 ▲公 14 填空 5 数列 数列的项 AAA 15 解答 13 三角函数与三角恒等变换“ 三角函数的图象与性质 16 解答 15 平面解析几何 直线与圆的位置关系 ▲A 17 解答 15 数列 数列的通项及前n项和 AA 18 解答 17 函数与导数 函数的零点、极值点 AA▲ 19 解答 17 平面解析几何 直线与椭圆的位置关系 题号 1 2 3 5 6个 7 10 11 答案 A C D C A B B A ABD AC ABD 1.【答案】A 【解析】因为命题g:a2=,即al,所以a=±b,故pq,p,即p是g的充分不必要 条件.故选A 2.【答案】C 【解析】因为A∩B={1,3,5,7},所以A个B的真子集个数为2-1=15（个）.故选C. 第1页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 3.【答案】D 【解析】因为g(0)=0,h(1)=0,所以.b=0,c=1.因为函数f(x)在R上是增函数f(0)<0, f(1)>0,所以f(x)的零点a∈(0,1)，所以c>a>b.故选D. 》 4.【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线互相垂直，所以双曲线是等轴双曲线，所以离心率e=√2，m+ n=0,所以e+m十n=√2.故选C. 5.【答案】A 【解析】等差数列{an}共2n十1项，其中奇数项有n十1项，偶数项有n项，奇数项和为a1十 a+…+a2n1=n+1)(g+at=2200,偶数项和为a2十a4十…十an=naa2- 2 2 20o②.因为a+a1-a+a,所以0+@，得"中-品则m=10故选A 6.【答案】B 【解析】设NM(一oAa,0,则=-—治-aN云a所以NkN于 ”。‘产a话=即坊=a一.曲醇9-1，得-1-到- 答(a-,所以培-是，所以e-后-√-停故选 =.) 7.【答案】B u+=0, ω=1 【解析】f(x）=Awcos(wx+p),由 解得 又因为Aa=2,所以A-2, (3wtp= 2π pπ 2 6 所以f(x)=2sin(z-君》.因为函数f(x)在区间(-a,a)上是增函数，所以当-a≤x<a 时，-a-<x-<a-吾又因为a>0,所以 解得0<a<胥故选B 0 8.【答案】A 【解析】由(x)=e-x求导，得f()=e-k红，当<0时，函数)y=e与y=hx的图 象有一个交点，横坐标可设为xo,如图1.当x<xo时，f(x)=e-x<0,则f(x)=e一 合xr在（一∞，z)上单调递减；当x>a时，z)=e5一kx20则f(x)=e-2在 (x,十∞)上单调递增，此时函数f(x)=e一号k2在x0处取极小值.因为过原点的直线 y=ex与曲线y=e相切，且切点为1，e),所以当k=e时，疗(x)=。-ex≥0，此时 第2页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP fi()=。一x2单调递增，无极小值点.当k>e时，函数y=e与y=x的图象有两个交 点，横坐标可设为，zo,且x<xo,如图2.当x<x1时，f(x)=e-kx>0,则f(x)= e-kr在(-0，)上单调递增；当<x<n时，()=e-x<0,则f(x)=e 合r在(，)上单调递减：当x>时，()-e-kx>0,则(x)=e-吉kr在 (,+∞上单调递增，此时函数f.(x)=e一kx在x处取极小值，且m>1.综上所述， k∈（一∞，0）U(e,十∞)时，函数簇2中的每一个函数都存在极小值点xo,且为充要条件. 故选A 】 :1 图2 y·.4.1): 9.【答案】ABD 【解析】等差数列{an的公差为d,由题意可得， a+2d+a+3d=7, 解得一4 故A, 3(a1+d)+a+4d=5 d=3, B正确； 等比数列{bn}的公比为q,若q=一1，则S4.=0≠一3，与题意不符，所以q≠-1；若q=1,则 S6=6b1=3×2b1=3S2≠21S2,与题意不符，所以g≠1；由S4=-3,S6=21S2,得 (1-q2--3,12-216120,由①可得，1+d十g=21,解得g=4,故C 1-q 1-q 1-0 错误； .尽3-4 因为S8-S4=gS4,所以S8=(1+16)×(-3)=-51,故D正确 故选ABD, …·Mg 10.【答案】AC 【解析】因为g(x)=f(x+1)是偶函数，所以g(-x)=g(x),即f(1-x)=f(1+x),所以 f(x)关于直线x=1对称，故A正确； 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)关于x1对称，所以函数f(x)的周期 T=4,f(2024)=f(0)=0,f(2025)=f(1)=2,所以f(2024)+f(2025)=2≠-2，故B 错误； 当x∈[1,2]时，2-x∈[0,1]，由A选项分析可知，f(x)=f(2-x)=(2-x)+2一x=(2 第3页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 一x)(3一x)=x2-5.x十6，故C正确； 因为x∈[0,1]，f(x)=x2+x,且∫(x)关于直线x=1对称，所以根据对称性可以作出x∈ [1,2]上的图象.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)的周期T=4,所以作出y= f(x)的图象如图，所以f(5)=2.要使y=f(x)的图象与y=logx(a>1)的图象至少有2 个交点，则1og5≤2，所以a2≥5，所以a≥√5，故D错误. 故选AC 2 11.【答案】ABD 【解析】在y2=2x中，当x=1时，P(1,√2p),Q(1,一√2).因为OP⊥OQ,所以√2p· （-√p)=-1,所以力=，所以y=x,故A正确； 设A(0b),B(1,),C(2,),则k=为二头=为二兰=，1 西垢一开功十，所以直线AB: x-(%+y)y+oy1=0.同理可得，直线AC:x-(0十y2)y+%2=0,直线BC:x-(y+ 2)y+h=0.因为直线AB,AC与圆M相切，所以圆心M与AB,AC的距离d= 12+yoy1 12+yoy2 (y6-1)y+2y1+3-y6=0, =1,所以 所以y,y为 √1+(y0+y1)2√1+(y0+y2)2 (y6-1)y3+2y0y2+3-y6=0, 方程(36-1)y2+2y0y+3-=0的两根，所以少十2= -多所心M V十2鸡1，所以直线BC与圆M相切，故B正确： 与BC的距离d'=|2+L =y6+1 设∠AMG=0∈(0，》，则Mi·Md=1×1×cos20=2cos20-1.又因为cos0=AM,所 2 以M·G=M-1.又因为1AM1=√-2+%=Vm-2+五= V后-+-么+7≥经当且仅当-多时取等号，所以M硒.G≤行故 C错误； 由切割线定理，得1AT·AH川=AD12=(n-2)+6-1=-3+3=(西-+ 是>号，当且仅当=多时取等号，故D正确 故选ABD. 第4页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 12.【答案】log6 道3 【解析因为a∥b,所以1×5=2×3，所以x=log6. 。·g 18.【答案号 【廉标血经+-将m(+碧即货 -1+2红-3所以 2 sin2x=名又0<2x<受，所以an2x-7 14.【答案】26 【解析】因为f(x)=x2十ax十b,所以x1十x2=-a<0,x1x2=b>0,所以x1,x2为两个不等 的负数，不妨设<x2<0,则必有，x2,4(或4，x2,)成等差数列，，4，x2(或x2,4,x1) 成等比数列，所以2x2=x1+4,x1x2=16,解得x1=-8,x2=-2,所以a=10,b=16,所以 a+b=26. 15.【解折】(1Df）=3sin2z+cos2z+1+m=2sin(2x+)+1+m,3分 由0<x≤受，得晋<2xt语≤5，所以f血=2sin2+1+m=6,所以m=6.…6分 (2)由(1)可知，fx)=2sin(2x+).+7. 由2x+骨=k得x-经-登∈Z, 东3 由2x+语=kx+受，得x-经+晋∈Z, 所以曲线y=心x)的对称中心坐标为修吾，7)，k∈乙， …10分 对称轴方程为工-+语，k∈乙 2 …13分 16.【解析】(1)当m=2时，直线l:x-2y+1=0, 所以圆心C到直线1的距离d=2 =2 写，… 2分 √1+22 4复：答是 所以AB1=2√P-正=8 5 ……5分 所以S医=号×25×8-是 ……小…7分 (2)由于∠ACB=2∠AMB,过点C作CH LAB于点H,则∠HCB=∠AMB.) 又因为tan∠AMB=2, 厅以tan∠HCB=2,所以cos∠HCB=活=9 5 第5页 共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 所以S9-5所以CH=2 2 5 5 …10分 又因为CH=d= 2 2W5 √1+m2 12分 5 所以m=土2， 14分 所以直线l的方程为x+2y+1=0或x-2y+1=0. 15分 1 17.【解析1(1)数列(a)中，2S.=na1-号nm+1)(m+2),n∈N, 当n=1时，2a1=Q2-2,而a1=1,则a2=4;…2分 当n=2时，S2=a3-4,所以a3=S2+4=a1十a2十4=9. 4分 2S.=at1-n+1）n+2,n∈N, 3、 当n≥2时，2S.-1=(n-1)a,-n-1)n(n+1 3 1 两式相减，得2an=na+1一(n一1)an一n(n+1), 即01=(n+10a.十nn十1)，整理，得号片-%=1，…6分 又因为受-=1，… 8分 所以数列一是首项为号=1，公差为1的等差数列， 所以g%=1+1×(n-1)=,即a=n2.… …9分 (2因为2m+1=,2m+1=1 1 aa+1n2(n+1)2n2(n+12y …12分 所以T,=1-安+安-京+…+a十1十D1 1 、1 …15分 18.【解析】(1)当m=2时，f(x)=e-2sinx,f(x)=e-2cosx, 所以f(0)=1-2=-1. 2分 又因为f(0)=1,所以f(x)在(0，f(0)处的切线方程为x+y-1=0. …4分 2因为f)在[-票]上恰有2个零点. 所以e-msin=0在[-，]上恰有2个解。 1显京】 当m=0时，f(x)=e在R上单调递增，不符合题意，故m0,0命】 所以品-他在[，]上恰有2个解。 上结，清 所以需满足y与y=血兰，z[一票，引的图象有2个不同的交点。5分 第6页共9页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP