精品解析：江苏省镇江市丹徒区宜城中学五校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据“三角形任意两边之和大于第三边”即可逐个判断． 【详解】A：，故2，3，6不能组成三角形； B：，故3，3，6不能组成三角形； C：，故2，5，8不能组成三角形； D：，故4，5，7能组成三角形． 故选：D． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项正确； ，但不是正整数，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选：B． 3. 在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数．根据无理数的定义（无限不循环小数），判断每个数是否为无理数． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； 0是整数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； （相邻两个6之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，是无理数。 ∴ 无理数有、、，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的识别，注意常见无理数如π、开方开不尽的数及有规律但不循环的小数． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 16的平方根是4 B. 8的平方根是±2 C. 的平方根是 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根的定义及性质，掌握平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根的定义和性质对各个选项进行逐项分析即可． 【详解】解：A. 16的平方根是，故本选项错误； B. 8的平方根是，故本选项错误； C. 由平方根的性质得，负数没有平方根，故本选项错误； D.49的算术平方根等于7，即，故本选项正确； 故选D． 5. 下列说法错误的是（ ） A. 近似数与表示的意义不同 B. 近似数精确到 C. 保留两位小数的近似数是 D. 近似数万精确到了千分位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了近似数的相关知识点，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：近似数精确到了十分位，而精确到了百分位，故意义不同，A不符合题意； 近似数精确到，B不符合题意； 保留两位小数的近似数是，C不符合题意； 近似数万精确到了十分位，D符合题意 故选：D 6. 如图，已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等边对等角、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质． 先根据等边对等角得出，再结合三角形外角的性质即可得出、、的大小关系． 【详解】解：以点为圆心，为半径画圆，交于点， ， ， ， ， 是的外角，是的外角， ，， ，，即， 、、选项说法错误，不符合题意；选项说法正确，符合题意． 故选：． 7. 如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A. 在两边高线的交点处 B. 在两边中线的交点处 C. 在两边垂直平分线的交点处 D. 在两内角平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，由题意知，超市在三边的垂直平分线的交点处，由此即可解决． 【详解】解：由于要求超市到三个小区的距离相等，则超市应在三边的垂直平分线的交点处， 故选：Ｃ． 8. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、在数轴上表示无理数、基本尺规作图-作相等线段等知识，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键． 先由勾股定理求出，再由基本尺规作图得到，则，从而得到答案． 【详解】解：如图所示：于， 在中，，，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ， 则， 点表示的数为， 故选：B． 9. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可． 【详解】A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意； D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键． 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 比较大小：______（填“或”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是____________． 【答案】22或26 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据等腰三角形的两边长分别是6和10，进行分类讨论，如果满足三边关系，则计算周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是6和10， ∴当腰长为6时，三边分别是 则， ∴， ∴当腰长为10时，三边分别是 则， ∴， 故答案为：22或26． 13. 若与是同一个正数的平方根，则x的值为________． 【答案】或1##1或 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，与是同一个正数的平方根， 得或， 解得：或， 故答案为：或1． 14. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键．由正方形的性质和勾股定理得，再由，得，则，即可解决问题． 【详解】解：设大正方形的边长为c， ∵大正方形的面积是18， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴小正方形的面积， 故答案为：2． 15. 如图，已知，平分，点P在上，于，点E是射线上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，则，再根据角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短，即可进行解答． 本题主要考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等，以及垂线段最短． 【详解】解：，平分， ， ， ∴， 过点P作于点E'， 平分， ， 的最小值为． 故答案为：． 16. 如图，中，，，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处．在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，的长度为_______． 【答案】或或或． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质．利用勾股定理进行求得边的长，利用折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，求得的长，分，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：直角三角形中，，， ∴； ∵折叠， ∴，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ∴； ∴； 当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时： ①当时： 则：； ②当时： 则：，或． ③当时： 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 综上：的值为或或或． 故答案为：或或或． 三、简答题（本大题共有8小题，共计72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演示步骤） 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）根据平方根的意义求解即可； （2）根据立方根的意义求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴或； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 如图，已知在四边形中，点E在上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定．利用证明，再利用全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】证明：略． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂等知识，解题的关键是： （1）根据算术平方根的定义，立方根的定义，零指数幂的意义等计算即可； （2）根据绝对值的意义，算术平方根的定义，立方根的定义等计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在和中，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：在和中，，是的中点， ，， ； ． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线性质得出，，运用等边对等角可证； （2）根据直角三角形斜边上的中线性质，三角形内角和定理和等边对等角可求，的值，然后根据计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， ，， 在和中，，，是的中点， ，， ，， ， ， ． 21. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． （1）的整数部分为___________，小数部分为___________． （2）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，平方根、算术平方根以及立方根的概念和算法，属于理解题型，对于初学者来说，无理数的估算比较抽象，重点是要掌握表示整数部分和小数部分的方法，易错点为忽略一个正数有两个平方根，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）先判断的区间，进一步估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为4，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间算法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【小问1详解】 ， 即， 的整数部分为4， 的小数部分为． 【小问2详解】 由题意得， ， ，． 的整数部分是3， ， ， 的平方根是． 22. 【综合探究】 “在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是_______； （2）若的边长分别为，，（，且）运用构图法在图2中画出相应的，的面积是_______； （3）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．小明同学发现可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则长分别表示为，．由于，当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题． 请在图3中，求出的长，并说明理由． 所以的最小值是_______． （4）拓展应用：代数式的最小值为_______． 【答案】（1） （2） 构造三角形如图： （3）5 （4）10 【解析】 【分析】（1）分割法求出三角形的面积即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为，的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积； （3）过C作于点F，利用勾股定理求解即可； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：的面积是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：的边长分别为、、（，，且）， 由图可知：的面积是； 【小问3详解】 解：如图，过C作于点F， 则，， 在中，， 所以的最小值是5， 故答案为：5； 【小问4详解】 解：，可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图： 设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴． ∴的最小值为10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称．解题的关键是理解并掌握构图法，将代数问题转化为几何问题，利用数形结合的思想进行求解． 23. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 【答案】（1）3或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2）略 （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中考试 八年级数学试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，6 B. 3，3，6 C. 2，5，8 D. 4，5，7 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，13 C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，24，25 3. 在实数 ，0，，，，，（相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（   ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 下列说法正确的是（ ） A. 16的平方根是4 B. 8的平方根是±2 C. 的平方根是 D. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 近似数与表示的意义不同 B. 近似数精确到 C. 保留两位小数的近似数是 D. 近似数万精确到了千分位 6. 如图，已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，有三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A. 在两边高线的交点处 B. 在两边中线的交点处 C. 在两边垂直平分线的交点处 D. 在两内角平分线的交点处 8. 如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（ ） ①平分；②；③；④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 比较大小：______（填“或”）． 12. 等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是____________． 13. 若与是同一个正数的平方根，则x的值为________． 14. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为，且，那么小正方形的面积为_______． 15. 如图，已知，平分，点P在上，于，点E是射线上的动点，则的最小值为_____． 16. 如图，中，，，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处．在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，的长度为_______． 三、简答题（本大题共有8小题，共计72分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演示步骤） 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 18. 如图，已知在四边形中，点E在上，，，，求证：． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在和中，，是的中点． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 21. 在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为， 的小数部分为． （1）的整数部分为___________，小数部分为___________． （2）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 22. 【综合探究】 “在中，三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． （1）直接写出图1中的面积是_______； （2）若的边长分别为，，（，且）运用构图法在图2中画出相应的，的面积是_______； （3）已知a，b均为正实数，且，求的最小值．小明同学发现可看作两直角边分别为a和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是b和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则长分别表示为，．由于，当C、D、E共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题． 请在图3中，求出的长，并说明理由． 所以的最小值是_______． （4）拓展应用：代数式的最小值为_______． 23. 【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $