3.1勾股定理的探究 同步练习2025-2026学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级上册数学第三章 课时提优 3.1勾股定理的探究（解析版） 一、单选题（本大题共8小题，共32分） 1．[2025辽宁本溪·期中，4分]如图，在中，，，则边上的高的长为（　　）    A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】C 【分析】过作于点，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据勾股定理可解得，然后根据三角形面积公式计算求解即可． 【详解】解：过作于点，如下图，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴的面积为， ∴，即， 解得． 故选C． 2．[2025江苏苏州·期中，4分]中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，直接由勾股定理列式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得：弦长= ， 故选C． 3．[2025黑龙江绥化·月考，4分]如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴． 先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点C表示的数． 【详解】解：， ∴点C表示的数为， 故选B． 4．[2025黑龙江哈尔滨·月考，4分]直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用勾股定理即可求出斜边长． 【详解】由勾股定理得：斜边长为：=5． 故选B． 5．[2025山东青岛·开学摸底，4分]如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理计算出大正方形边长的平方，即大正方形的面积，再根据勾股定理可得两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方，即两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案． 【详解】由勾股定理得，大正方形边长的平方==25，即大正方形面积为25， ∵两个小正方形的边长的平方和等于斜边的平方， ∴两个小正方形的面积和为25， ∴阴影部分的面积为：25+25=50． 故选A． 6．[八年级·课时练习，4分]下面各图中,不能验证勾股定理的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【详解】观察图形可知选项C不能验证勾股定理． 7．[2024广东深圳·月考，4分]《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【分析】根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即，故C选项错误，符合题意． 故此题答案为C． 8．[2024山西太原·模拟，4分]赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 【答案】B 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想．根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：题中根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，它体现的数学思想是数形结合思想， 故此题答案为B． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 9．[2025山东烟台·期中，4分]如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，过点A作于点H，先根据，，，利用勾股定理求出，再根据，得到是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到，再利用勾股定理求出，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．[2025四川成都·期中，4分]如图，在数轴上，点所对应的实数为0，点对应的实数为2，过作数轴的垂线段，使得，再以为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据数轴上点的位置求出的长，然后利用勾股定理求出的长即可得到的长，从而可以得到答案． 【详解】解：∵数轴上A、C表示的数分别是0、2， ∴， ∵，， ∴， 由作图方式可知，， ∴点D表示的实数为. 11．[2025山东青岛·期中，4分]如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且， ∴，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 12．[2025山东淄博·期中，4分]如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理，线段作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据作图可知，因此，同样根据作图可得，再根据勾股定理可求得，即可进一步得到答案． 【详解】以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D， ， ， 以点A为圆心，为半径画弧，交于点E， ， ， ， ． 13．[2023浙江杭州·期中，4分]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1所示）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 .    【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质；根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，，求出的值即可． 【详解】八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ，， ， ， ， ， 故此题答案为：． 14．[八年级·课时练习，4分]4个全等的直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试． 【答案】见解析 【解析】图形的总面积可以表示为c2＋2×ab＝c2＋ab，也可以表示为a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab，所以c2＋ab＝a2＋b2＋ab，所以a2＋b2＝c2. 【刷有所得】勾股定理的验证实质上就是各种几何图形用两种方法求面积得到的等式的整理变形. 三、解答题（本大题共4小题，共44分） 15．[2025山东青岛·期中，10分]“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）见详解；模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． 16．[2025重庆渝北·开学摸底，10分]图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 【答案】（1）①；②边上的高为 （2） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①由勾股定理求出AB的长即可； ②根据等面积法求解； （2）设，则在与中根据勾股定理得出方程求解即可推出结果． 【详解】（1）①根据勾股定理可得，. ②设边上的高为 ， ， ， 边上的高为； （2）设，则 是边上的高， 在中， 在中， ， 解得， ∴， 17．[2024四川宜宾·月考，12分]著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】(1)见解析， (2)， (3)，过程见解析． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，根据两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； （2）解：设， ∴， 在中，， 即， 解得， 即， （千米）， 答：新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得． ． 18．[2025山东德州·月考，12分]【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． 【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证明见解析；（3）3；（4） 【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答案； （2）结合图2，根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案； （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c；根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （4）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面积，再根据阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）勾股定理为：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方； （2）如图2 大正方形面积为： 小正方形面积为： 四个直角三角形面积之和为： ∵大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积之和 ∴ ∴，满足直角三角形勾股定理； （3）设面积为的正方形边长为a，面积为的正方形边长为b，面积为的正方形边长为c； 根据题意得： 如图4： ，， ∴； 如图5： ，， ∵ ∴； 如图6： ，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （4）以a为直径的半圆面积为： 以b为直径的半圆面积为： 非阴影部分去除三角形后的面积为： ∵阴影部分面积（+）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角形后的面积 ∴ 结合（1）的结论： ∴ ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版八年级上册数学第三章 课时提优 3.1勾股定理的探究（原卷版） 一、单选题（本大题共8小题，共32分） 1．[2025辽宁本溪·期中，4分]如图，在中，，，则边上的高的长为（　　）    A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 2．[2025江苏苏州·期中，4分]中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．小立发现勾是9，股是40，弦长为（    ） A．7 B．31 C．41 D．49 3．[2025黑龙江绥化·月考，4分]如图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（    ） A． B． C． D． 4．[2025黑龙江哈尔滨·月考，4分]直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 5．[2025山东青岛·开学摸底，4分]如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（  ）    A． B． C． D． 6．[八年级·课时练习，4分]下面各图中,不能验证勾股定理的是 (　　) A． B． C． D． 7．[2024广东深圳·月考，4分]《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 8．[2024山西太原·模拟，4分]赵爽是我国东汉末至三国时代的一位数学家，其在为《周髀算经》作注时，解释了《周髀算经》中的勾股定理，并给出了证明（参照如图）：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这种证明方法所体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．数形结合思想 C．方程思想 D．函数思想 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 9．[2025山东烟台·期中，4分]如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为 ． 10．[2025四川成都·期中，4分]如图，在数轴上，点所对应的实数为0，点对应的实数为2，过作数轴的垂线段，使得，再以为圆心，长为半径画弧，交数轴的正半轴于点，则点对应的实数为 11．[2025山东青岛·期中，4分]如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 12．[2025山东淄博·期中，4分]如图，在中，，，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，再以点A为圆心，为半径画弧，交于点E，则的长为 ． 13．[2023浙江杭州·期中，4分]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1所示）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 .    14．[八年级·课时练习，4分]4个全等的直角三角形的直角边长分别为a，b，斜边长为c.现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试． 三、解答题（本大题共4小题，共44分） 15．[2025山东青岛·期中，10分]“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 16．[2025重庆渝北·开学摸底，10分]图1是著名的赵爽弦图，图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：，这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．请利用“双求法”解决问题： （1）如图2，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到． ①的长为______； ②求边上的高． （2）如图3，在中，，，，是边上的高，求的长． 17．[2024四川宜宾·月考，12分]著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 18．[2025山东德州·月考，12分]【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【实践操作】（1）请叙述勾股定理； （2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件） 【探索发现】（3）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有 个； （4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系并说明理由． 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $