精品解析：山西省晋中市祁县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中学业水平质量监测 八年级 数学 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 25的平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 2. 下列四组数中能作为直角三角形边长的是（ ） A. 2，2，3 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 5，13，14 3. 法国数学家笛卡尔，最早引入平面直角坐标系，使得平面图形中的点P与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，这体现的数学思想是（ ） A. 数形结合 B. 类比思想 C. 公理化思想 D. 分类讨论 4. 下列四个等式中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. “怡然见晋中，剪艺耀城赵”在2025年山西省第七届文博会上，来自祁县城赵镇的剪纸艺术携千年古艺风华，首次登上省级舞台，以“遗韵千年·匠心传承”为主题，精心绘就了一幅红纸生辉、刀笔传情的文化长卷．如图所示是一幅轴对称的葫芦，葫芦寓意福禄，有添福添寿说法．若图中点A的坐标为其关于y轴对称的点B的坐标为，则的和是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 7. 下列描述一次函数的图像及性质错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 直线与x轴交点坐标是 C. 直线经过一、二、四象限 D. 当时， 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中；若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个能使有意义的x的值：_______． 12. 神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 … 8 火箭速度 100 150 200 … 400 火箭发射后第10秒时火箭的速度是______． 13. 一次函数图象如图所示，那么方程的解是______． 14. 山西被称为“中国古代建筑宝库”．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建筑的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为，则佛光寺的坐标为_______．  15. 如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算题． （1） （2） （3） （4） 17. 如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度． 18. 我们学习一次函数时，通过“列表—描点—连线”的方法绘制出一次函数图像．进而根据一次函数图像研究其性质．这一探究过程，从数据整理到图形呈现，使我们能够直观把握函数的变化趋势与核心特征，进而深入分析其性质． 探究小组运用此方法对未知函数进行探究． 函数的图象和性质，并解决问题． （1）根据表达式，写出表格中m，n的值：______，______； x … 0 1 2 3 … y … m 3 2 1 n 3 4 … （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）观察函数图象并写出一条函数的性质． 19. 中国载人深潜新突破：我国在北极冰区首次实现深潜，科考队携珍贵生物样品凯旋归来，为深入研究北极气候快速变化、北极超慢速扩张背景下加克洋中脊海底地质过程、极区生命演化和适应机制等提供重要科学支撑． 假如你在科学考察船——“未来”号担任一名指挥员，需要利用数学知识精确描述船队位置．我们以青岛港为坐标原点，在网格中建立平面直角坐标系．（每个小方格的边长为1海里）“未来”号的航行路线如下： 首先，从青岛港（原点O）出发，向正东方向行驶了8海里到达点B．考察结束后，转向正北方向行驶了6海里到达点C． （1）请建立平面直角坐标系，并在坐标系中描出点B和点C，并写出点B和点C的坐标． （2）“未来”号在点C处考察结束后，需要直接从点C返回青岛港（原点O），它最短的直线返航距离是多少海里？ （3）若“未来”号的返航速度为每小时20海里，它沿直线返回青岛港（原点O）需要多少小时？ 20. 家门口的“暖心食堂”正成为越来越多社区的风景线．许多长者在此不仅能享用营养餐食，还能参与棋牌、手工等康乐活动，让社区成为兼具膳食与陪伴功能的温暖港湾． 为使老年人就餐更实惠，春风社区食堂针对敬老套餐推出两种优惠方案，具体如下： 方案1：不办理服务卡，每份套餐原价出售； 方案2：办理服务卡，则每份套餐在原价的基础上打七五折； 方案1所需费用（单位：元），方案2所需费用（单位：元）与每月购买敬老套餐数量x（单位：份）之间的函数关系如图所示． （1）办理服务卡的费用为______元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为______元． （2）请直接写出方案1和方案2的函数关系式； （3）若张奶奶每个月在食堂的花费为600元，则选择哪种方案更划算？说明理由． 21. 在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深遂的智慧与美感． 如乘法， ，他们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号或根号中不含分母的运算叫做分母有理化． （1）的有理化因式______；的有理化因式______． （2）分母有理化得______；分母有理化得______． （3）求的值． 22. 项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤： ①取一桶桶装水，打开置于空气中； ②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； ③数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数/天 0 1 2 3 4 … 菌落总数/ 15 20 25 30 35 … 问题解决： （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线； （2）观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式； （3）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 23. 如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标． （2）如图2，若直线与直线交于点A，且过点，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，若在线段上有一动点且D不与A、C重合，连接，试求的面积S关于a的函数解析式． （4）如图3，过点B将顺时针旋转得到直线，直接写出直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中学业水平质量监测 八年级 数学 （满分120分，时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效，考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 25的平方根是（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根，据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴25的平方根是， 故选：A 2. 下列四组数中能作为直角三角形边长的是（ ） A. 2，2，3 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 5，13，14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； B：∵，，， ∴能作为直角三角形边长，符合题意； C：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； D：∵，，， ∴不能作为直角三角形边长，不符合题意； 故选B． 3. 法国数学家笛卡尔，最早引入平面直角坐标系，使得平面图形中的点P与有序数对建立了一一对应关系，从而能把形象的几何图形和运动过程变成代数的形式，这体现的数学思想是（ ） A. 数形结合 B. 类比思想 C. 公理化思想 D. 分类讨论 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了数学思想与方法，弄清楚每种方法思想的定义是解题的关键．根据各种思想的定义即可判断． 【详解】解：由题意得，体现的思想为数形结合， 故选：A． 4. 下列四个等式中，是的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】A、，的最高次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； B、，解出，不是函数关系，故此选项不符合题意； C、，形式为，其中，是一次函数，故此选项符合题意； D、，和未指定为常数且，因此不一定是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：选项A：∵，故A错误； 选项B：∵，故B错误； 选项C：∵，故C错误； 选项D：∵，故D正确． 故选：D 6. “怡然见晋中，剪艺耀城赵”在2025年山西省第七届文博会上，来自祁县城赵镇的剪纸艺术携千年古艺风华，首次登上省级舞台，以“遗韵千年·匠心传承”为主题，精心绘就了一幅红纸生辉、刀笔传情的文化长卷．如图所示是一幅轴对称的葫芦，葫芦寓意福禄，有添福添寿说法．若图中点A的坐标为其关于y轴对称的点B的坐标为，则的和是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 下列描述一次函数的图像及性质错误的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 直线与x轴交点坐标是 C. 直线经过一、二、四象限 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，分析各选项的正确性即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴，， ∴y随x的增大而减小，直线经过一、二、四象限； 令时，则有，解得：，令时，则， ∴直线与x轴交点坐标为，与y轴的交点坐标为， ∴当时，； 故选B． 8. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作．书中记载的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，设为x尺，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设为x尺，则尺，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设为x尺，则尺，依题意得： ， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中；若点，，都在直线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；通过直接计算各点的纵坐标值，比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵点，，都在直线上， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∴； 故选C． 10. 包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意小组的同学将一个的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点A出发，沿书架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短线段问题，把书架的侧面展开，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点，求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图是书架的侧面展开图，连接，则的长即爬行的最短距离，连接，交于点， ，， ∴在中，， ∴蜘蛛爬行的最短距离为， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个能使有意义的x的值：_______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义是条件列出不等式，解不等式求出x的范围，进而得到答案． 【详解】解：要使有意义，必须x﹣2≥0， 则x≥2， ∴使有意义的x的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 神舟二十一号火箭在发射升空过程中，在最初的一段飞行阶段，火箭的速度随时间均匀变化．此阶段火箭的速度v与时间t关系见下表： 发射时间 2 3 4 … 8 火箭速度 100 150 200 … 400 火箭发射后第10秒时火箭的速度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并列出一次函数是解决本题的关键． 根据速度与时间的关系，结合表格数据列出一次函数即可求解． 【详解】解：由表格可知，时间t每增加1秒，速度v增加， ∴v与t成正比例关系，函数表达式为， 当时，代入得：， 故答案为：． 13. 一次函数图象如图所示，那么方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点，根据一次函数图象在坐标轴中与轴，轴的交点即可求解一次函数的解析式，解决本题的关键是理解一次函数图象与轴，轴的交点．根据一次函数图象可知，当时，即一次函数图象与轴的交点，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，当时，一次函数图象与轴的交点是， ∴方程的解是． 故答案是：． 14. 山西被称为“中国古代建筑宝库”．小明作为山西人也想为宣传山西助力，为了便于人们更清晰地了解这些宝贵文化遗产的位置，他用所学知识对部分古建筑的位置进行了表示，如图应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为，则佛光寺的坐标为_______．  【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题中用坐标表示位置；根据题意建立平面直角坐标系，即可求出结果． 【详解】解：∵应县木塔的坐标为，悬空寺的坐标为， ∴建立如图所示平面直角坐标系， ∴佛光寺的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点，则的最大值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了折叠问题：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等，也考查了等腰三角形的性质，勾股定理．过A点作于H点，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理计算出，接着根据折叠的性质得到，所以，从而可判断最短时，最大，根据垂线段最短，此时，然后利用 面积法求出此时的长，从而得到的最大值． 【详解】解：过A点作于H点，如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最短时，最大， 此时， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算题． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）1 （2） （3） （4）9 【解析】 【分析】本题主要考查立方根、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、零次幂及二次根式的运算是解题的关键； （1）根据零次幂及立方根可进行求解； （2）根据二次根式的加减运算可进行求解； （3）根据二次根式的乘法运算可进行求解； （4）根据完全平方公式及二次根式的运算可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式． 17. 如图是吊车安装路灯的示意图，已知为吊车起重臂，长为20米，点B到路灯杆的水平距离为16米，点B到地面的竖直距离为2米，求起重臂顶端A离地面的高度． 【答案】起重臂顶端离地面的高度为14米． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出米，然后计算米求解即可． 【详解】解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴（米）， ∴起重臂顶端离地面的高度为14米． 18. 我们学习一次函数时，通过“列表—描点—连线”的方法绘制出一次函数图像．进而根据一次函数图像研究其性质．这一探究过程，从数据整理到图形呈现，使我们能够直观把握函数的变化趋势与核心特征，进而深入分析其性质． 探究小组运用此方法对未知函数进行探究． 函数的图象和性质，并解决问题． （1）根据表达式，写出表格中m，n的值：______，______； x … 0 1 2 3 … y … m 3 2 1 n 3 4 … （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）观察函数图象并写出一条函数的性质． 【答案】（1）， （2） 函数的图象如图所示， （3）由图象可得：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 【解析】 【分析】本题考查的是求解函数值，画一次函数图象，一次函数的性质. （1）把，代入函数解析式进行计算即可. （2）根据表格信息画图即可. （3）根据函数图象可得其性质. 【小问1详解】 解：当时，， 当时，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 中国载人深潜新突破：我国在北极冰区首次实现深潜，科考队携珍贵生物样品凯旋归来，为深入研究北极气候快速变化、北极超慢速扩张背景下加克洋中脊海底地质过程、极区生命演化和适应机制等提供重要科学支撑． 假如你在科学考察船——“未来”号担任一名指挥员，需要利用数学知识精确描述船队位置．我们以青岛港为坐标原点，在网格中建立平面直角坐标系．（每个小方格的边长为1海里）“未来”号的航行路线如下： 首先，从青岛港（原点O）出发，向正东方向行驶了8海里到达点B．考察结束后，转向正北方向行驶了6海里到达点C． （1）请建立平面直角坐标系，并在坐标系中描出点B和点C，并写出点B和点C的坐标． （2）“未来”号在点C处考察结束后，需要直接从点C返回青岛港（原点O），它最短的直线返航距离是多少海里？ （3）若“未来”号的返航速度为每小时20海里，它沿直线返回青岛港（原点O）需要多少小时？ 【答案】（1） 如图，建立坐标系如下： ∴，. （2）海里 （3）小时 【解析】 【分析】本题考查的是平面直角坐标系，勾股定理的应用. （1）由题意确定原点与坐标轴，再描出即可. （2）根据勾股定理求解即可. （3）利用路程除以速度即可. 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，，， ∴， ∴“未来”号在点C处考察结束后，需要直接从点C返回青岛港（原点O），它最短的直线返航距离是海里. 【小问3详解】 解：“未来”号的返航速度为每小时20海里，它沿直线返回青岛港（原点O）需要（小时）. 20. 家门口的“暖心食堂”正成为越来越多社区的风景线．许多长者在此不仅能享用营养餐食，还能参与棋牌、手工等康乐活动，让社区成为兼具膳食与陪伴功能的温暖港湾． 为使老年人就餐更实惠，春风社区食堂针对敬老套餐推出两种优惠方案，具体如下： 方案1：不办理服务卡，每份套餐原价出售； 方案2：办理服务卡，则每份套餐在原价的基础上打七五折； 方案1所需费用（单位：元），方案2所需费用（单位：元）与每月购买敬老套餐数量x（单位：份）之间的函数关系如图所示． （1）办理服务卡的费用为______元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为______元． （2）请直接写出方案1和方案2的函数关系式； （3）若张奶奶每个月在食堂的花费为600元，则选择哪种方案更划算？说明理由． 【答案】（1）， （2），； （3）选择方案更划算. 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用. （1）直接根据图象可得答案. （2）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可. （3）把代入函数解析式求解的值，再计算即可. 【小问1详解】 解：办理服务卡的费用为元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为（元）. 【小问2详解】 解：设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴， 设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴，解得：， ∴. 【小问3详解】 解：当时， ∴， 解得：， 当， 解得：， ∵， ∴选择方案更划算. 21. 在数学的广袤王国里“和”与“差”宛如一对形影不离的挚友，或是一组平仄相倚的诗行．当无理的分母如迷雾般笼罩，正是它们——这对共轭的“平方差公式”，携手登场．如同光明驱散阴影，它们默契配合，化混沌为有序，将复杂的分母变得清晰简明．这不仅是理性的运算，更是一曲关于依存与转化的和谐乐章，诉说着数学中深遂的智慧与美感． 如乘法， ，他们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 除法， ． 像以上通过分子分母同乘同一个式子使分母中不含根号或根号中不含分母的运算叫做分母有理化． （1）的有理化因式______；的有理化因式______． （2）分母有理化得______；分母有理化得______． （3）求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化及二次根式的运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解； （3）先对二次根式进行分母有理化，然后再进行二次根式的运算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式；的有理化因式； 故答案为；； 【小问2详解】 解：∵，； ∴分母有理化得；分母有理化得； 故答案为；； 【小问3详解】 解： ． 22. 项目化学习 项目主题：探究桶装水在常温下的最佳饮用时间． 项目背景：桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质．某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究桶装水中菌落总数与时间的关系． 研究步骤： ①取一桶桶装水，打开置于空气中； ②逐天测量并记录桶装水中的菌落总数； ③数据分析，形成结论． 试验数据： 试验天数/天 0 1 2 3 4 … 菌落总数/ 15 20 25 30 35 … 问题解决： （1）如图，建立平面直角坐标系，横轴表示试验天数（天），纵轴表示菌落总数（），将整理好的数据在平面直角坐标系中描点、连线； （2）观察上述各点的分布规律，求出菌落总数（）与试验天数（）之间的函数关系式； （3）根据相关部门规定：桶装水菌落总数超过时就要停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后的最佳饮用时间是多少天？ 【答案】（1） 如图所示； （2） （3）7天 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，画一次函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据描点，连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所求可得该函数为一次函数，利用待定系数法求解即可； （3）求出函数值为50时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可知，该函数符合一次函数的特点， 设， 则， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而增大， ∵桶装水菌落总数超过时就要停止饮用， ∴， ∴， ∴， 答：桶装水打开后的最佳饮用时间是7天． 23. 如图1，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A、B两点的坐标． （2）如图2，若直线与直线交于点A，且过点，求直线的解析式． （3）在（2）的条件下，若在线段上有一动点且D不与A、C重合，连接，试求的面积S关于a的函数解析式． （4）如图3，过点B将顺时针旋转得到直线，直接写出直线的解析式． 【答案】（1）， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】 （1）在中，当时，算出的值，即可得到点B的坐标；当时，算出的值，即可得到点A的坐标. （2）设直线的表达式，把和代入，再进一步求解即可. （3）根据列函数关系式即可. （4）如图，过作交于点，过作轴于，证明，可得，设直线的解析式为，把，代入，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：依题意， 当时，则， 所以， 当时，则， 解得， ∴. 【小问2详解】 解：设直线的表达式， 把和代入，得， 解得， ∴直线的表达式为. 【小问3详解】 解：∵在线段上有一动点且D不与A、C重合，， ∴. 【小问4详解】 解：如图，过作交于点，过作轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 故直线的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，列函数关系式，掌握以上基础知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $