专题03 分数除法（7大考点86道题）（期末真题汇编）六年级数学上学期（重庆专用）

专题03 分数除法 考点一、倒数的认识 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）强调：“互为倒数”是指两个数之间的相互关系，不能单独说某个数是倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数的倒数：交换分子、分母的位置。（例如：的倒数是） （2）整数的倒数：把整数看作分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。（例如：5的倒数是） （3）1的倒数是1，0没有倒数。（因为0与任何数相乘都得0，不可能得1） 3.特殊数的倒数： （1）真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1。 （2）带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）因为0.5×2＝1，所以（    ）。 A．0.5是倒数 B．2是倒数 C．0.5和2都是倒数 D．0.5和2互为倒数 2．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）的倒数是（    ）。 A． B． C．1 D． 3．（22-23六年级上·重庆黔江·期末）已知a≠0，且a是自然数，那么（    ）。 A．是倒数 B．a和互为倒数 C．a和都是倒数 D．a是倒数 4．（21-22六年级上·重庆·期末）下列四组数中，互为倒数的是（    ）。 A．0.25和0.4 B．0.4和 C．8和0.8 D．0.7和 5．（22-23六年级上·重庆巴南·期末）的倒数是( )，( )和0.75互为倒数。 6．（24-25六年级上·重庆永川·期末）与( )互为倒数。如果A的倒数还是A，那么A是( )。 7．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）的倒数是( )，最小的合数的倒数是( )。 8．（22-23六年级上·重庆潼南·期末）的倒数是( )，( )的倒数是它本身。 9．（24-25六年级上·重庆巫山·期末）如果数a与数b互为倒数，则×b＝( )。 10．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）的倒数是( )，( )与0.45互为倒数，( )的倒数是1；如果a和b互为倒数，那么ab÷＝( )。 11．（23-24六年级上·重庆·期末）两个连续自然数的倒数和是，这两个自然数分别是( )和( )。 12．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）a和b互为倒数，先在括号里填一个合适的数表示算式的结果，再写出你思考的过程。( )，我是这样想的： 。 13．（24-25六年级上·重庆江北·期末）有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 考点二、分数与整数的除法 1.意义： 与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。也可以理解为：把一个数平均分成几份，求每份是多少。 2.计算法则： 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （1）字母表示： () （2）特殊情况：如果分子是除数的倍数，也可以用分子直接除以整数，分母不变。 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆渝北·期末），表示( )个( )平均分成( )份，每份是( )个( )，也就是( )。 2．（21-22六年级上·重庆丰都·期末）÷2表示把( )平均分成( )份，每份是多少。 3．（24-25六年级上·重庆永川·期末）一根长6米的绳子，每段截成米，则可以截成（    ）段，如果把它平均截成12段，每段长（    ）米，每段是6米的。 4．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，12小时行了全程的，平均每小时行全程的( )，照这样的速度，行完全程共要( )小时。 5．（21-22六年级上·重庆忠县·期末）把吨煤平均分成5堆，每堆煤重( )吨，每堆煤占全部煤的( )。 6．（20-21六年级上·重庆长寿·期末）把米的彩带对折2次，每段长( )米，每段长度是全长的( )。 7．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）36的是( )，( )的是6。 8．（22-23六年级上·重庆江津·期末）90千米的是( )千米；( )吨的是10吨。 9．（22-23六年级上·重庆江津·期末）张叔叔分装20千克糖果，如果每袋装，可以装( )袋；如果每袋装千克，可以装( )袋。 10．（22-23六年级上·重庆巴南·期末）据公安部数据显示，2021年上半年中国新能源汽车销售了150万台，是全年销售量的。2021年全年中国销售了多少万台新能源汽车？ 考点三、分数与分数的除法 1.意义： 与整数除法的意义相同。 2.计算法则： 一个数除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （1）字母表示： () （2）可以概括为：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 3.整数除以分数、分数除以分数的统一法则： 均适用上述“除以一个不为0的 数，等于乘这个数的倒数”的法则。 真题练习 1．（22-23六年级上·重庆渝中·期末）学习《分数除法》时，欢欢想到“运用分数的基本性质先把两个分数的分数单位统一，再用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果。”下面是四位同学计算“÷”的过程，运用了欢欢想法的是（    ）。 A．红红：÷＝×＝ B．华华：÷＝÷＝10÷7＝ C．明明：÷＝××12＝ D．亮亮：÷＝÷＝÷＝＝ 2．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）一个数的是，这个数是( )；12的倒数是( )。 3．（24-25六年级上·重庆万州·期末）鸿丰小学六年级二班在研究如何计算。的过程中，出现下列三种方法： ① ② ③ ①和③是把分数除法转化成了( )除法；②是把分数除法转化成了( )。 4．（24-25六年级上·重庆万州·期末）如果x、y互为倒数，那么( )。 5．（22-23六年级上·重庆綦江·期末）10kg的是( )kg，( )m的是。 6．（24-25六年级上·重庆万州·期末）水果店运来水果，如果每天卖出，( )天可以卖完；如果每天卖出，( )天可以卖完。 7．（21-22六年级上·重庆忠县·期末）一台碾米机小时碾米吨，1小时可碾米( )吨，碾2吨米要( )小时。 8．（23-24六年级上·湖北十堰·期中）俗语说“五谷杂粮壮身体”，小麦就是五谷之一，用吨小麦可以磨出吨面粉，照这样计算，1吨小麦可以磨出( )吨面粉，磨1吨面粉需要( )吨小麦。 9．（23-24六年级下·重庆九龙坡·期末）根据，，可以得出( )÷( )。 10．（22-23六年级上·重庆江津·期末）直接写出得数。 ×＝          ÷＝         21×＝          ＋＝       ×＝       －＝            36÷＝         ÷＝ 11．（22-23六年级上·重庆江北·期末）直接写出得数。 ×＝          ÷7＝            ×12＝           ÷＝ ÷＝          ×＝            0×＝           45÷＝ 12．（22-23六年级上·重庆忠县·期末）直接写出下面各题的结果。                                                                       13．（22-23六年级上·重庆渝中·期末）直接写出得数。 ×15＝         1÷＝         ×＝         ＋＝           21÷＝ 8÷＝           2.4×＝        ÷＝        ×＝          ÷10＝ 14．（21-22六年级上·重庆酉阳·期末）直接写出得数。                                                                   考点四、被除数与商的大小关系（分数除法） 1.规律核心：商与被除数的大小关系，取决于除数的大小（除数不为0）。 2.设被除数为 （），除数为 （），则： 除数与1的关系 商与被除数的关系 字母表达式 示例 除数 商 被除数 除数 商 被除数 除数 （真分数） 商 被除数 注意：若被除数 ，则商永远等于0（）。 3.分情况详解： （1）除数是整数（大于1）：如 （，且为整数），相当于把 平均分成 份，每份比 小，因此商 被除数。例：。 （2）除数是真分数（小于1）：真分数的倒数大于1，相当于 乘一个大于1的数，结果比 大，因此商 被除数。例：。 （3）除数是带分数（大于1）：带分数可化为假分数（分子 > 分母），其倒数小于1，相当于 乘一个小于1的数，结果比 小，因此商 被除数。例：。 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )（均不为0） 2．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )      ( ) 3．（22-23六年级上·重庆巫溪·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )         ( ) 4．（21-22六年级上·重庆云阳·期末）在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )6          ( ) 5．（24-25六年级上·重庆万州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )24     ( )      ( ) 6．（22-23六年级上·重庆綦江·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( ) ( )    ( ) 7．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )                  ( )   ( )         ( ) 8．（21-22六年级上·重庆忠县·期末）如果a÷＝b÷＝c÷（a、b、c都不为0），( )最大。 考点五、分数的四则混合运算及简算 1.运算顺序： 与整数四则混合运算的顺序相同。 （1）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （2）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （3）有括号的运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2.运算定律与性质的应用： 整数乘法的交换律、结合律、分配律在分数乘法中同样适用，能使计算简便。除法没有运算律，但可以转化为乘法后运用运算律。 真题练习 1．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）直接写得数。                                                                 2．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）直接写得数。                                                                                                                3．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）简便运算，写出必要的过程。                       4．（24-25六年级上·重庆·期末）下面各题怎样简便就怎样算。                               5．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。                                                                               6．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                                   7．（24-25六年级上·重庆江北·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                     8．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）脱式计算，能简算的要简算。                  34－34×               ×＋÷13             48×（＋）÷             （156×－26）× 9．（22-23六年级上·重庆黔江·期末）计算下列各题，怎样简便怎样算。                                                   10．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                               11．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                     12．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）计算。 （1）         （2） （3）     （4） （5）     （6） （7）    （8） 13．（24-25六年级上·重庆永川·期末）下面各题怎样简便怎样计算。                                    14．（22-23六年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。                                                                                                    15．（22-23六年级上·重庆江津·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                                        16．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）求未知数的值。 ①      ② 17．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）解方程。                           18．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）解方程。 x×＝        x－x＝        2x－＝ 19．（24-25六年级上·重庆·期末）解方程。                  20．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）解方程。 x－＝              x＋x＝             （＋1.2）÷x＝3.2 考点六、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1.问题特征： 已知一个数比单位“1”的量多（或少）几分之几，且这个数的具体值，求单位“1”的量。 2.解题关键： （1）确定单位“1”的量。 （2）分析“多（或少）几分之几”是相对于单位“1”的量而言的。 （3）写出等量关系式： ①单位“1”的量 × (1 + 几分之几) = 已知的比较量（比单位“1”多） ②单位“1”的量 × (1 - 几分之几) = 已知的比较量（比单位“1”少） 3.解题方法： （1）算术法： 已知的比较量 ÷ (1 ± 几分之几) = 单位“1”的量。 （2）方程法： 设单位“1”的量为，根据上述等量关系式列方程解答。 真题练习 1．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）花店里有玫瑰花60朵，______，花店里有月季花多少朵？列式为，则横线上的条件是（    ）。 A．玫瑰花比月季花多 B．月季花比玫瑰花多 C．玫瑰花比月季花少 D．月季花比玫瑰花少 2．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）一桶油倒出8千克，重量比原来减少了，求原油重多少千克的算式是（    ）。 A．8÷（1－） B．8÷（1＋） C．8×（1－） D．8÷ 3．（22-23六年级上·重庆忠县·期末）一件衣服按原价的出售，卖了180元，这件衣服比原价少卖（    ）元。 A．20 B．200 C．18 4．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）请合理补充信息，使此题能用解答。 学校修缮学生阅览室，实际用了20天完成，( )，计划多少天完成？ 5．（22-23六年级上·重庆江津·期末）张大爷家苹果树的棵数比梨树多，这里是把( )看作单位“1”，苹果树的棵数相当于梨树的( )。若苹果树有154棵，梨树有( )棵。 6．（22-23六年级上·重庆江北·期末）小青妈妈上个月的手机费是70元，比爸爸的少10元。爸爸上月手机费是( )元。 7．（23-24六年级上·重庆·期末）冰融化成水后体积缩小，这里是把( )看作“单位1”；照这样计算，36L水结成冰后体积是( )。 8．（24-25六年级上·重庆江北·期末）看下面的线段图列算式。（只列综合算式或方程，不计算。） 9．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）看线段图列式计算。 10．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）看图列式并计算。 11．（24-25六年级上·重庆永川·期末）爷爷分别买了一套《三国演义》和一套《西游记》精装本。一套《三国演义》的价格是121元，比一套《西游记》的价格便宜，一套《西游记》的价格是多少元？ 12．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）C919大型客机是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机，具有安全、经济、舒适、环保等特点。C919大型客机机身的长度约39米，比翼展长，C919大型客机的翼展约长多少米？ 13．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）木雕至今已有7000多年的历史，是我国非物质文化遗产之一。振兴木雕厂接受一批雕刻任务，该任务由赵师傅和王师傅共同完成。赵师傅分到的雕刻任务是45个，王师傅的任务占总数的，那么这批雕刻任务数一共是多少个？ 14．（22-23六年级上·重庆潼南·期末）“直播带货”成为促进经济增长的有效途径。张阿姨将山里的核桃通过直播的方式销售，直播销售量比线下销售量有了很大的提高，销售量增加了。今年张阿姨直播销售量是6200千克，你能算出张阿姨之前线下的核桃销售量是多少千克？ 15．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）小丽陪妈妈去逛街，在一家服装店看上了一件衣服，售货员说：“我们这儿的服装都是增加成本的一半作标价，看你喜欢这件衣服，我按标价的卖给你，你只付180元，我才赚到你10元钱。”如果你是小丽，你觉得售货员是不是只赚了10元钱？计算后回答。 考点七、工程问题 1.基本概念： （1）工作总量： 一项工程的全部工作量，通常用“1”来表示（不具体指明数量时）。 （2）工作效率： 单位时间内完成的工作量。通常用“几分之一”表示（如：甲单独做5天完成，甲的工作效率就是）。 （3）工作时间： 完成工作总量所需的时间。 2.基本数量关系式： （1）工作效率 × 工作时间 = 工作总量 （2）工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 （3）工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 3.合作问题： （1）合作工作效率 = 各个单独工作效率之和。 （2）合作工作时间 = 工作总量“1” ÷ 合作工作效率。 （3）常用等量关系：甲的工作量 + 乙的工作量 = 工作总量“1” 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆江北·期末）有300棵树，如果甲队单独种需要8天，乙队单独种需要10天，现在两队合种，多少天能种完？解决这个问题正确的列式是（    ）。 A．300÷（8＋10） B． C．1÷（8＋10） D． 2．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天，这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 3．（22-23六年级上·重庆江北·期末）一项工程，甲队单独做需要12小时，乙队单独做需要10小时，两队合做，中间甲队休息了2小时，这项工程完工时，乙队共做了多少小时？ 4．（24-25六年级上·重庆江北·期末）两个车间组装一批华为智能手机，甲车间单独做要20天完成任务，乙车间单独做每天能完成任务的。 （1）如果两车间同时组装，多少天能完成任务？ （2）如果乙车间先组装5天后，甲乙两个车间再同时组装，还要做多少天完成任务？ 5．（23-24六年级上·重庆·期末）2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两队还需要合作几天？ 6．（22-23六年级上·重庆丰都·期末）为了响应国家的乡村振兴计划，大池村计划修一条振兴路，聘请了两个工程队来修。甲队每天修它的，乙队每天修它的。甲队单独修了10天后，乙队接着也单独修了10天。 （1）甲乙两队单独修了后，这条路还剩下多少？ （2）剩下的由两队一起合修。还要几天才能修完这条路？ 试卷第1页，共3页 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分数除法 考点一、倒数的认识 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。 （1）强调：“互为倒数”是指两个数之间的相互关系，不能单独说某个数是倒数。 2.求一个数的倒数的方法： （1）分数的倒数：交换分子、分母的位置。（例如：的倒数是） （2）整数的倒数：把整数看作分母是1的分数，再交换分子、分母的位置。（例如：5的倒数是） （3）1的倒数是1，0没有倒数。（因为0与任何数相乘都得0，不可能得1） 3.特殊数的倒数： （1）真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1。 （2）带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）因为0.5×2＝1，所以（    ）。 A．0.5是倒数 B．2是倒数 C．0.5和2都是倒数 D．0.5和2互为倒数 【答案】D 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，不能称某个数是倒数，据此解答。 【详解】因为0.5×2＝1，所以0.5和2互为倒数。 故答案为：D 2．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）的倒数是（    ）。 A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】分析题目，乘积为1的两个数互为倒数，分数的倒数就是把这个分数的分子分母互换位置，据此解答。 【详解】的倒数是。 故答案为：D 3．（22-23六年级上·重庆黔江·期末）已知a≠0，且a是自然数，那么（    ）。 A．是倒数 B．a和互为倒数 C．a和都是倒数 D．a是倒数 【答案】B 【分析】倒数是两数之间的关系，不能说一个数是倒数，据此解答即可。 【详解】已知a≠0，且a是自然数，那么a和互为倒数； 故答案为：B。 4．（21-22六年级上·重庆·期末）下列四组数中，互为倒数的是（    ）。 A．0.25和0.4 B．0.4和 C．8和0.8 D．0.7和 【答案】D 【分析】逐项判断两个数的乘积是否为1，乘积为1的两个数互为倒数，据此判断。 【详解】A．0.25和0.4的积不是1，所以0.25和0.4不互为倒数； B．0.4和的积不是1，所以0.4和不互为倒数； C．8和0.8的积不是1，所以8和0.8不互为倒数； D．0.7和的积是1，所以0.7和互为倒数。 故答案为：D 5．（22-23六年级上·重庆巴南·期末）的倒数是( )，( )和0.75互为倒数。 【答案】 / / 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。 求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 求整数（0除外）的倒数时，先把整数看作分母是1的假分数再交换分子、分母的位置。 小数求倒数时，先把小数化成最简真分数或假分数，再按分数求倒数的方法求解。 【详解】的倒数是； 0.75＝ 的倒数是，所以和0.75互为倒数。 6．（24-25六年级上·重庆永川·期末）与( )互为倒数。如果A的倒数还是A，那么A是( )。 【答案】 1 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。0没有倒数，1的倒数是1。 求一个真分数或假分数的倒数，只需要将分子、分母交换位置即可。 【详解】与（）互为倒数。如果A的倒数还是A，那么A是（1）。 7．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）的倒数是( )，最小的合数的倒数是( )。 【答案】 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；求一个分数的倒数，可以把这个数的分子和分母互换位置即可；合数：除了1和它本身，没有其它因数的数是合数，最小的合数是4；求一个整数的倒数，这个整数作分母，分子是1，据此即可填空。 【详解】根据求分数、整数倒数的方法可得： 的倒数是，最小的合数的倒数是。 8．（22-23六年级上·重庆潼南·期末）的倒数是( )，( )的倒数是它本身。 【答案】 1 【分析】交换假分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数；只有1的倒数是它本身，据此填空。 【详解】的倒数是，1的倒数是它本身。 9．（24-25六年级上·重庆巫山·期末）如果数a与数b互为倒数，则×b＝( )。 【答案】 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，数a与数b互为倒数，则a×b＝1；化简×b，即可解答。 【详解】a×b＝1 ×b ＝ ＝ 如果数a与数b互为倒数，则×b＝。 10．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）的倒数是( )，( )与0.45互为倒数，( )的倒数是1；如果a和b互为倒数，那么ab÷＝( )。 【答案】 1 【分析】（1）找真分数、假分数的倒数的方法：交换分子、分母的位置； （2）求小数的倒数的方法：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （3）乘积是1的两个数互为倒数，根据倒数的意义可知：1的倒数还是1。 （4）根据倒数的意义可知：如果a和b互为倒数，则ab＝1。把ab＝1整体代入ab÷计算即可。 【详解】把的分子、分母交换位置是，所以的倒数是； 0.45＝＝，把的分子、分母交换位置是，所以与0.45互为倒数； 因为1×1＝1，所以1的倒数是1。 因为a和b互为倒数，所以ab＝1。ab÷＝1÷＝1×＝。 11．（23-24六年级上·重庆·期末）两个连续自然数的倒数和是，这两个自然数分别是( )和( )。 【答案】 3 4 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，整数的倒数是这个整数分之一，假设这两个连续自然数分别是x和y，那么它们的倒数分别是和，异分母分数相加减，先通分再计算，因此，＋＝，写出通分过程，通过x和y之间的关系，即可求出这两个自然数。 【详解】假设这两个连续自然数分别是x和y。 ＋＝＋＝＋＝ 可得x＋y＝7、x×y＝12 因为3＋4＝7、3×4＝12 所以x和y分别是3和4，这两个自然数分别是3和4 12．（24-25六年级上·重庆南岸·期末）a和b互为倒数，先在括号里填一个合适的数表示算式的结果，再写出你思考的过程。( )，我是这样想的： 。 【答案】 因为a和b互为倒数，所以，原式可化简为 ，所以结果为 【分析】两个数的积为1时，我们就说这两个数互为倒数。根据分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。，两个数的积为1时，我们就说这两个数互为倒数。把的积代入分子，即可得解。 【详解】a和b互为倒数，先在括号里填一个合适的数表示算式的结果，再写出你思考的过程。，我是这样想的：因为a和b互为倒数，所以，原式可化简为 ，所以结果为。 13．（24-25六年级上·重庆江北·期末）有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝( )；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝( )。 【答案】 2025 2020 【分析】a的倒数是它本身，那么a是1，b没有倒数，b是0，代入数据计算；若a、b互为倒数，那么ab＝1，据此计算解答。 【详解】2025－5ab＝2025－5×1×0＝2025－0＝2025 2025－5ab＝2025－5×1＝2025－5＝2020 有两个数a和b，如果a的倒数是它本身，b没有倒数，则2025－5ab＝2025；如果a、b互为倒数，则2025－5ab＝2020。 考点二、分数与整数的除法 1.意义： 与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。也可以理解为：把一个数平均分成几份，求每份是多少。 2.计算法则： 分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 （1）字母表示： () （2）特殊情况：如果分子是除数的倍数，也可以用分子直接除以整数，分母不变。 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆渝北·期末），表示( )个( )平均分成( )份，每份是( )个( )，也就是( )。 【答案】 8 4 2 【分析】根据分数的意义可知，表示的是8个，再根据除法的意义可知，除以4就是把平均分成4份，即可得到2个，就是。据此解答。 【详解】，表示8个平均分成4份，每份是2个，也就是。 2．（21-22六年级上·重庆丰都·期末）÷2表示把( )平均分成( )份，每份是多少。 【答案】 2 【分析】一个分数除以整数表示把这个分数平均分成整数份，求每份是多少，据此解答。 【详解】÷2 ＝× ＝ ÷2表示把平均分成2份，每份是。 3．（24-25六年级上·重庆永川·期末）一根长6米的绳子，每段截成米，则可以截成（    ）段，如果把它平均截成12段，每段长（    ）米，每段是6米的。 【答案】18；； 【分析】求6米里有多少个米，用6÷即可；将6米平均截成12段，用6÷12即可；将这根长6米的绳子看作单位“1”，平均分成12段，用1÷12即可求出每段占单位“1”的分率。 【详解】6÷ ＝6×3 ＝18（段） 6÷12＝（米） 1÷12＝ 一根长6米的绳子，每段截成米，则可以截成18段，如果把它平均截成12段，每段长米，每段是6米的。 4．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，12小时行了全程的，平均每小时行全程的( )，照这样的速度，行完全程共要( )小时。 【答案】 16 【分析】根据公式：速度＝路程÷时间，即用÷12即可求出平均每小时行全程的几分之几，也就是速度，把全程看作单位“1”，用1除以速度即可求出行完全程需要几小时。 【详解】÷12＝×＝ 1÷＝1×16＝16（小时） 平均每小时行全程的，照这样的速度，行完全程共要16小时。 5．（21-22六年级上·重庆忠县·期末）把吨煤平均分成5堆，每堆煤重( )吨，每堆煤占全部煤的( )。 【答案】 【分析】要求得每堆煤重多少吨，可用煤的总重量除以分成的堆数，列式为：÷5； 因为是平均分成了5份，则要求得每堆煤占全部煤的几分之几，就把这堆煤看作单位“1”，用“1”除以堆数，列式为：1÷5。 【详解】÷5＝×＝（吨） 1÷5＝1×＝ 每堆煤重吨，每堆煤占全部煤的。 6．（20-21六年级上·重庆长寿·期末）把米的彩带对折2次，每段长( )米，每段长度是全长的( )。 【答案】 /0.15625 /0.25 【分析】把米长的彩带对折2次后，根据分数的意义可知，把彩带当作单位“1”平均分成4段，求平均每段长多少米，用总长度除以总份数；求每段占全长的几分之几用1÷4即可。 【详解】 （米） 把米的彩带对折2次，每段长米，每段长度是全长的。 7．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）36的是( )，( )的是6。 【答案】 27 9 【分析】求一个数的几分之几是多少用分数乘法计算，36的列式为36×；已知一个数的几分之几是多少，求这个数用分数除法计算，列式为6÷，据此解答。 【详解】36×＝27 6÷ ＝6× ＝9 所以，36的是27，9的是6。 8．（22-23六年级上·重庆江津·期末）90千米的是( )千米；( )吨的是10吨。 【答案】 54 【分析】要求90千米的是多少千米，用90乘进行计算；要求多少吨的是10吨，用10除以进行计算，据此解答。 【详解】（千米） （吨） 因此90千米的是54千米；吨的是10吨。 9．（22-23六年级上·重庆江津·期末）张叔叔分装20千克糖果，如果每袋装，可以装( )袋；如果每袋装千克，可以装( )袋。 【答案】 5 100 【分析】把糖果的重量看作单位“1”，如果每袋装，则可以装1÷＝5袋；根据除法的意义，用糖果的重量除以每袋装的具体的重量即可求出可以装多少袋。 【详解】1÷＝1×5＝5（袋） 20÷＝20×5＝100（袋） 则张叔叔分装20千克糖果，如果每袋装，可以装5袋；如果每袋装千克，可以装100袋。 10．（22-23六年级上·重庆巴南·期末）据公安部数据显示，2021年上半年中国新能源汽车销售了150万台，是全年销售量的。2021年全年中国销售了多少万台新能源汽车？ 【答案】330万台 【分析】把2021年全年中国销售的新能源汽车数量看作单位“1”，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法，用2021年上半年中国新能源汽车销售数量除以，即可求出2021年全年中国销售了多少万台新能源汽车。 【详解】150÷ ＝150× ＝330（万台） 答：2021年全年中国销售了330万台新能源汽车。 考点三、分数与分数的除法 1.意义： 与整数除法的意义相同。 2.计算法则： 一个数除以一个不为0的分数，等于乘这个分数的倒数。 （1）字母表示： () （2）可以概括为：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。 3.整数除以分数、分数除以分数的统一法则： 均适用上述“除以一个不为0的 数，等于乘这个数的倒数”的法则。 真题练习 1．（22-23六年级上·重庆渝中·期末）学习《分数除法》时，欢欢想到“运用分数的基本性质先把两个分数的分数单位统一，再用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果。”下面是四位同学计算“÷”的过程，运用了欢欢想法的是（    ）。 A．红红：÷＝×＝ B．华华：÷＝÷＝10÷7＝ C．明明：÷＝××12＝ D．亮亮：÷＝÷＝÷＝＝ 【答案】B 【分析】的分数单位是，的分数单位是，把两个分数的分数单位统一，即把根据分数的基本性质化为。再用两个分数的分数单位的个数相除，即两个分数的分子相除（10÷7）。据此进行选择。 【详解】A．红红：÷＝×＝，运用了一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数的方法。 B．华华：÷＝÷＝10÷7＝，运用了先把被除数和除数统一分数单位，再把分子相除的方法。即运用了欢欢的想法。 C．明明：÷＝××12＝，把平均分成7份，1份是÷7＝×；表示把单位“1”平均分成12份，12个（×）是××12。 D．亮亮：÷＝÷＝÷＝＝，根据分数的基本性质先化成同分子的分数，然后根据商不变的性质被除数和除数同时除以35。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）一个数的是，这个数是( )；12的倒数是( )。 【答案】 【分析】已知一个数的是，求这个数是多少，把这个数看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求解； 乘积是1的两个数互为倒数。求整数（0除外）的倒数时，先把整数看作分母是1的假分数再交换分子、分母的位置。 【详解】÷ ＝× ＝ 一个数的是，这个数是（）；12的倒数是（）。 3．（24-25六年级上·重庆万州·期末）鸿丰小学六年级二班在研究如何计算。的过程中，出现下列三种方法： ① ② ③ ①和③是把分数除法转化成了( )除法；②是把分数除法转化成了( )。 【答案】 整数 分数乘法 【分析】①是运用商不变规律，把被除数和除数同时乘9，然后把被除数和除数都变成了整数，再计算； ②是运用商不变规律，把被除数和除数同时乘，然后把分数除法变成了乘法，再计算； ③是把被除数的分子和分母同时乘3，根据分数的基本性质把被除数和除数变成分母相同的分数，也就是分数单位相同的分数，然后根据商不变规律再同时除以分数单位，变成两个整数相除，再计算。据此解答。 【详解】据分析可知，①和③是把分数除法转化成了整数除法；②是把分数除法转化成了分数乘法。 4．（24-25六年级上·重庆万州·期末）如果x、y互为倒数，那么( )。 【答案】 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，x和y互为倒数，则xy＝1，化简算式，即可解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 如果x、y互为倒数，那么。 5．（22-23六年级上·重庆綦江·期末）10kg的是( )kg，( )m的是。 【答案】 25 【分析】把10kg看作单位“1”，求它的是多少，用10×解答； 把要求的数看作单位“1”，它的对应的是m，求单位“1”，用÷解答。 【详解】10×＝25（kg） ÷ ＝× ＝（m） 10kg的是25kg，m的是m。 6．（24-25六年级上·重庆万州·期末）水果店运来水果，如果每天卖出，( )天可以卖完；如果每天卖出，( )天可以卖完。 【答案】 8 3 【分析】根据题意，如果每天卖出，是把水果的总质量看作单位“1”，即求1里面有几个，用1除以，即可求出多少天可以卖完；如果每天卖出吨，即求里面有几个，用水果的总质量除以，即可求出多少天可以卖完。 【详解】 水果店运来水果，如果每天卖出，8天可以卖完；如果每天卖出，3天可以卖完。 7．（21-22六年级上·重庆忠县·期末）一台碾米机小时碾米吨，1小时可碾米( )吨，碾2吨米要( )小时。 【答案】 【分析】用工作总量吨除以工作时间小时，即可得工作效率，即1小时可碾米多少吨。用工作总量2吨除以工作效率，即可求得工作时间。据此解答。 【详解】÷＝＝（吨） （小时） 1小时可碾米吨，碾2吨米要小时。 8．（23-24六年级上·湖北十堰·期中）俗语说“五谷杂粮壮身体”，小麦就是五谷之一，用吨小麦可以磨出吨面粉，照这样计算，1吨小麦可以磨出( )吨面粉，磨1吨面粉需要( )吨小麦。 【答案】 /0.75 / 【分析】面粉质量÷小麦质量＝每吨小麦磨出的面粉质量；小麦质量÷面粉质量＝磨一吨面粉需要的小麦质量，据此列式计算。 【详解】÷ ＝× ＝（吨） ÷ ＝× ＝（吨） 1吨小麦可以磨出吨面粉，磨1吨面粉需要吨小麦。 9．（23-24六年级下·重庆九龙坡·期末）根据，，可以得出( )÷( )。 【答案】 13 10 【分析】观察算式：，，发现同分母分数相除等于它们的分子相除，所以，将所求算式的被除数和除数通分，即可求解。 【详解】由分析可知： 因为，， 所以，＝13÷10 10．（22-23六年级上·重庆江津·期末）直接写出得数。 ×＝          ÷＝         21×＝          ＋＝       ×＝       －＝            36÷＝         ÷＝ 【答案】；；6； ；；21； 11．（22-23六年级上·重庆江北·期末）直接写出得数。 ×＝          ÷7＝            ×12＝           ÷＝ ÷＝          ×＝            0×＝           45÷＝ 【答案】；；；； ；；0；81 12．（22-23六年级上·重庆忠县·期末）直接写出下面各题的结果。                                                                       【答案】6；；；； ；；；；0 13．（22-23六年级上·重庆渝中·期末）直接写出得数。 ×15＝         1÷＝         ×＝         ＋＝           21÷＝ 8÷＝           2.4×＝        ÷＝        ×＝          ÷10＝ 【答案】10；；；；49； 10；1.6；10；； 14．（21-22六年级上·重庆酉阳·期末）直接写出得数。                                                                   【答案】；；；；； 0；；；1；4 考点四、被除数与商的大小关系（分数除法） 1.规律核心：商与被除数的大小关系，取决于除数的大小（除数不为0）。 2.设被除数为 （），除数为 （），则： 除数与1的关系 商与被除数的关系 字母表达式 示例 除数 商 被除数 除数 商 被除数 除数 （真分数） 商 被除数 注意：若被除数 ，则商永远等于0（）。 3.分情况详解： （1）除数是整数（大于1）：如 （，且为整数），相当于把 平均分成 份，每份比 小，因此商 被除数。例：。 （2）除数是真分数（小于1）：真分数的倒数大于1，相当于 乘一个大于1的数，结果比 大，因此商 被除数。例：。 （3）除数是带分数（大于1）：带分数可化为假分数（分子 > 分母），其倒数小于1，相当于 乘一个小于1的数，结果比 小，因此商 被除数。例：。 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )（均不为0） 【答案】 ＜ ＞ 【分析】（1）一个大于0的数乘小于1的数，积比原来的数小； （2）被除数大于0时，被除数除以大于1的数，所得结果一定小于原来这个数，据此解答。 【详解】（1）因为＜1，所以＜； （2）因为＞1，所以＜，即＞。 2．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )      ( )      ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； （2）分别计算出两个算式的得数，再比较大小； （3）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 【详解】（1），所以； （2） ，所以； （3） 3．（22-23六年级上·重庆巫溪·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )         ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小；一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大；据此解答即可。 【详解】因为＜1，则＜ 因为＜1，则＞ 因为＞8，＜8 所以＞ 4．（21-22六年级上·重庆云阳·期末）在（    ）里填“＞”“＜”或“＝”。 ( )        ( )6          ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；除以一个数（0除外）相当于乘这个数的倒数，据此解答。 【详解】＜         ＞6           ＝ 5．（24-25六年级上·重庆万州·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( )24     ( )      ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＞ ＝ 【分析】一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；乘小于1的数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大；除以一个数等于乘这个数的倒数，据此填空。 【详解】＜1，＞1＞，所以＞； ＜1，所以＞24； ＞1，所以＞； ＝。 6．（22-23六年级上·重庆綦江·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( ) ( )    ( ) 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＝ 【分析】第一个：当一个不为0的数乘大于1的数，结果大于它本身； 第二个：当一个不为0的数除以小于1的数，结果大于它本身； 第三个：当一个不为0的数乘小于1的数，结果小于它本身； 第四个：根据分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，据此即可比较。 【详解】9＞1，所以＞ ＜1，所以＞ ＜1，所以＜ ＝，所以＝ 7．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )                  ( )   ( )         ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＜ 【分析】（1）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； （2）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； （3）除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数； （4）先把转化成，然后与作比较，一个因数相同，另一个因数大的，积就大。 【详解】（1），所以； （2），所以； （3） （4） ，即，所以。 8．（21-22六年级上·重庆忠县·期末）如果a÷＝b÷＝c÷（a、b、c都不为0），( )最大。 【答案】b 【分析】用设数法解决此题。可设a÷＝b÷＝c÷＝1，再根据商×除数＝被除数分别求出a、b、c的值，最后比较a、b、c的大小。 【详解】假设a÷＝b÷＝c÷＝1。 a＝1×＝ b＝1×＝ c＝1×＝1×1＝1 因为＞1＞，所以b＞c＞a，即b最大。 考点五、分数的四则混合运算及简算 1.运算顺序： 与整数四则混合运算的顺序相同。 （1）同级运算（只有乘除或只有加减）：从左往右依次计算。 （2）不同级运算（既有乘除又有加减）：先算乘除，后算加减。 （3）有括号的运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 2.运算定律与性质的应用： 整数乘法的交换律、结合律、分配律在分数乘法中同样适用，能使计算简便。除法没有运算律，但可以转化为乘法后运用运算律。 真题练习 1．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）直接写得数。                                                                 【答案】；；； ；；； 2．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）直接写得数。                                                                                                                【答案】；8；2； 15；；10；； 0；3；；31 3．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）简便运算，写出必要的过程。                       【答案】；； ； 【分析】（1）先计算乘法，再计算加法。 （2）先计算括号里面的减法，再计算括号外面的除法。 （3）先计算括号里面的减法，再把除以转化为乘，能约分的先约分，再计算。 （4）先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的减法，最后计算括号外面的除法。 【详解】 4．（24-25六年级上·重庆·期末）下面各题怎样简便就怎样算。                               【答案】43； ；16 【分析】（1）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （2）根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （3）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算； （4）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法。 【详解】（1） （2） （3） （4） 5．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。                                                                               【答案】；2 13；1 13；10 【分析】第一个：根据运算顺序，先算括号里的除法，再算括号里的减法，最后算括号外的乘法； 第二个：根据运算顺序，先算除法，再根据减法的性质变为：3－（＋），即可简便运算； 第三个：根据乘法分配律的逆运算，原式变为：×（48－1）即可简便运算； 第四个：先算小括号里的加法；再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法； 第五个：除以一个数相当于乘它的倒数，把除法转换成乘法，最后运用乘法分配律变为：，即可简便运算； 第六个：根据分数化小数的方法，用分子除以分母，据此把分数化成小数，即原式变为：0.125×54＋27×0.125－0.125，再根据乘法分配律的逆运算变为：0.125×（54＋27－1），即可简便运算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3－－ ＝3－－ ＝3－－ ＝3－（＋） ＝3－1 ＝2 ×48－ ＝×（48－1） ＝×47 ＝13 ÷[（）×] ＝÷[（）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝1 ＝ ＝ ＝30＋10－27 ＝13 ×54＋27×0.125－1÷8 ＝0.125×54＋27×0.125－0.125 ＝0.125×（54＋27－1） ＝0.125×80 ＝10 6．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                                   【答案】16；； ；17； 【分析】（1）将看成×1，再利用乘法分配律计算。 （2）将分数除法转化成分数乘法：除以一个分数等于乘这个数的倒数。再利用乘法的分配律进行简便计算。 （3）将分数除法转化成分数乘法：除以一个分数等于乘这个数的倒数。 （4）将分数除法转化成分数乘法，再利用加法的交换律和结合律将同分母的分数先相加来简便计算。 （5）利用乘法的分配律，用36分别乘括号里面的数。因为发现36正好是括号里面分数分母的倍数，可约分成整数进行简便计算。 （6）按照四则混合运算的顺序，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，将除法变成乘法，再将中括号去掉变成分数连乘，能约分的要约分。异分母分数的减法通分转化成同分母的减法计算。 【详解】 7．（24-25六年级上·重庆江北·期末）下面各题，怎样算简便就怎样算。                                     【答案】；；55 ；； 【分析】（1）先把除法转化成乘法，再运用乘法交换律a×b＝b×a把变成，再按顺序计算； （2）按从左往右的顺序计算； （3）先把除法转化成乘法，再运用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c计算把变成，再按顺序计算； （4）先把除法转化成乘法，再运用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （5）先计算括号里面的加法、减法，再算括号外面的除法。 （6）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的乘法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝34－6＋27 ＝55 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 8．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）脱式计算，能简算的要简算。                  34－34×               ×＋÷13             48×（＋）÷             （156×－26）× 【答案】；；17； ；51；16 【分析】（1）先把分数除法转化为分数乘法，再约分计算； （2）（3）利用乘法分配律简便计算； （4）先把分数除法转化为分数乘法，再利用乘法分配律简便计算； （5）先利用乘法分配律计算括号里面的，再计算括号外面的分数除法； （6）按照四则混合运算的顺序，先计算括号里面的分数乘法，再计算括号里面的减法，最后计算括号外面的分数乘法。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ （2）34－34× ＝34×（1－） ＝34× ＝ （3） ＝ ＝ ＝17 （4）×＋÷13 ＝×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ （5）48×（＋）÷ ＝（48×＋48×）÷ ＝（28＋6）÷ ＝34÷ ＝34× ＝51 （6）（156×－26）× ＝（48－26）× ＝22× ＝16 9．（22-23六年级上·重庆黔江·期末）计算下列各题，怎样简便怎样算。                                                   【答案】；；； ；4； 【分析】（1）运用乘法分配律进行计算即可； （2）运用减法的性质先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法即可； （3）化除法为乘法，然后运用乘法分配律进行计算即可； （4）化除法为乘法，然后运用乘法交换律和乘法结合律进行计算即可； （5）先运用乘法分配律，再运用加法结合律进行计算即可； （6）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算括号外面的除法即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 10．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                               【答案】；；； 31；；0 【分析】（1）按照先算括号里的加法，再算括号外的除法，最后算乘法的顺序计算； （2）先把分数除法转化成分数乘法，再根据逆用乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把算式写成（＋）×，再进一步计算； （3）先把2024写成2023＋1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成2023×＋1×，再进一步计算； （4）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式写成×12＋×12，再进一步计算； （5）按照先算小括号里的乘法，再算中括号里的除法，最后算括号外的乘法的运算顺序计算； （6）按照运算顺序先算出除法，得到算式：1－－，再根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把算式写成1－（＋） ，再进一步计算。 【详解】÷（＋）×   ＝÷（＋） × ＝÷× ＝×× ＝× ＝     ×＋÷ ＝×＋× ＝（＋）× ＝1× ＝       2024× ＝（2023＋1）× ＝2023×＋1× ＝2022＋ ＝ （＋）×12 ＝×12＋×12 ＝9＋22 ＝31          ×[÷（×）]   ＝×[÷] ＝×[×] ＝× ＝       1－÷－ ＝1－×－ ＝1－－ ＝1－（＋） ＝1－1 ＝0 11．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                     【答案】26；； ；； ； 【分析】（1）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算； （2）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （3）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算； （4）先把77拆成78－1，然后根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算； （5）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的减法，最后算中括号外面的除法； （6）先算小括号里面的乘法，然后算中括号里面的除法，再算中括号外面的除法，最后算中括号外面的加法。 【详解】（1） ＝36－10 ＝26 （2） （3） （4） （5） （6） 12．（24-25六年级上·重庆渝中·期末）计算。 （1）         （2） （3）     （4） （5）     （6） （7）    （8） 【答案】（1）；（2） （3）；（4）36 （5）；（6） （7）；（8） 【分析】（1），先算乘法，再算减法； （2），先算除法，再算乘法，除以一个数等于乘这个数的倒数； （3），先算除法，再算加法； （4），将除法改写成乘法，逆用乘法分配律，先算（45＋55），再与相乘； （5），运用乘法分配律，小括号里的数分别与36相乘，算完乘法，再相减，再从左往右算； （6），先算加法，再算除法，最后算乘法； （7），同时算出两边小括号里的加法和减法，最后算乘法； （8），先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算括号外的除法。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 13．（24-25六年级上·重庆永川·期末）下面各题怎样简便怎样计算。                                    【答案】13；5 ； ； 【分析】（1）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，简便计算； （2）根据乘法交换律a×b＝b×a和乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c），简便计算； （3）先算括号里加法，再算括号外的加法； （4）先算乘、除法，再算减法； （5）先算小括号里的加、减法，再算括号外的乘法； （6）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【详解】 ＝ ＝13×1 ＝13 ＝ ＝5×1 ＝5 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 14．（22-23六年级上·重庆潼南·期末）怎样简便就怎样算。                                                                                                    【答案】； 47； ；50 【分析】（1）先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，最后算括号外面的除法即可； （2）先算小括号里面的除法，再算小括号里面的加法，最后算括号外面的减法即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）化除法为乘法，然后运用乘法分配律进行计算即可； （5）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算括号外面的乘法即可； （6）化除法为乘法，然后运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝39＋11 15．（22-23六年级上·重庆江津·期末）计算下面各题，能简算的要简算。                                                        【答案】；； ；11；2 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （2）先把除法转化成乘法，然后根据乘法分配律逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算； （3）先算括号里面的乘法，再算括号里面的加法，最后算括号外面的除法； （4）先把除法转化成乘法，然后根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算，最后算减法； （5）根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算； （6）根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 16．（24-25六年级上·重庆巴南·期末）求未知数的值。 ①      ② 【答案】①；② 【分析】①根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减。再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解； ②根据等式的基本性质1：等式的左右两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立，等式两边同时减。再根据等式的基本性质2：等式的左右两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立，等式两边同时除以，计算即可得解。 【详解】① 解： ② 解： 17．（24-25六年级上·重庆忠县·期末）解方程。                           【答案】；； 【分析】，根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可； ，根据减法各部分的关系，可得，然后计算出右边的结果，再根据等式的性质2，将方程左右两边同时除以即可； ，根据等式的性质1和2，将方程左右两边同时减去，再同时除以8即可。 【详解】 解： 解： 解： 18．（24-25六年级上·重庆渝北·期末）解方程。 x×＝        x－x＝        2x－＝ 【答案】x＝；x＝；x＝ 【分析】x×＝，根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 x－x＝，先化简方程左边含有x的算式，即求出－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－的差即可。 2x－＝，根据等式的性质1，方程两边同时加上，再根据等式的性质2，方程两边同时除以2即可。 【详解】x×＝ 解：x×÷＝÷ x＝× x＝ x－x＝ 解：x－x＝ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ 2x－＝ 解：2x－＋＝＋ 2x＝＋ 2x＝ 2x÷2＝÷2 x＝× x＝ 19．（24-25六年级上·重庆·期末）解方程。                  【答案】；； 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时乘，再同时除以4，求出方程的解； （2）先把方程化简成，然后方程两边同时除以，求出方程的解； （3）方程两边先同时加上，再同时除以，求出方程的解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 20．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）解方程。 x－＝              x＋x＝             （＋1.2）÷x＝3.2 【答案】x＝；x＝；x＝0.5 【分析】x－＝，根据等式的性质1，方程两边同时加上，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。 x＋x＝，先化简方程左边含有x的算式，即求出＋的和，再根据等式的性质2，方程两边同时除以＋的和即可。 （＋1.2）÷x＝3.2，先计算出括号了的加法；根据等式的性质2，方程两边同时乘x，再同时除以3.2即可。 【详解】x－＝ 解：x－＋＝＋ x＝＋ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ x＋x＝ 解：x＋x＝ x＝ x÷＝÷ x＝× x＝ （＋1.2）÷x＝3.2 解：（0.4＋1.2）÷x＝3.2 1.6÷x×x＝3.2×x 3.2x＝1.6 3.2x÷3.2＝1.6÷3.2 x＝0.5 考点六、已知比一个数多/少几分之几是多少，求这个数 1.问题特征： 已知一个数比单位“1”的量多（或少）几分之几，且这个数的具体值，求单位“1”的量。 2.解题关键： （1）确定单位“1”的量。 （2）分析“多（或少）几分之几”是相对于单位“1”的量而言的。 （3）写出等量关系式： ①单位“1”的量 × (1 + 几分之几) = 已知的比较量（比单位“1”多） ②单位“1”的量 × (1 - 几分之几) = 已知的比较量（比单位“1”少） 3.解题方法： （1）算术法： 已知的比较量 ÷ (1 ± 几分之几) = 单位“1”的量。 （2）方程法： 设单位“1”的量为，根据上述等量关系式列方程解答。 真题练习 1．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）花店里有玫瑰花60朵，______，花店里有月季花多少朵？列式为，则横线上的条件是（    ）。 A．玫瑰花比月季花多 B．月季花比玫瑰花多 C．玫瑰花比月季花少 D．月季花比玫瑰花少 【答案】A 【分析】根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算。可以分析出：当玫瑰花的数量已知，把月季花的数量看作单位“1”，玫瑰花的数量是月季花的（1＋），求月季花是数量是多少，可列式为：。据此解答。 【详解】由分析可知：把月季花的数量看作单位“1”，玫瑰花的数量是月季花的（1＋），也就是说，玫瑰花比月季花多。 花店里有玫瑰花60朵，______，花店里有月季花多少朵？列式为，则横线上的条件是玫瑰花比月季花多。 故答案为：A 2．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）一桶油倒出8千克，重量比原来减少了，求原油重多少千克的算式是（    ）。 A．8÷（1－） B．8÷（1＋） C．8×（1－） D．8÷ 【答案】D 【分析】由题意可知：这桶油原来的质量是单位“1”，求这桶油原来的质量，求单位“1”用除法计算，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。如下图，8千克所对应的分率是，用8÷可求出原油重多少千克。 【详解】A．8千克是倒出的油的质量，1－是剩下的油所对应的分率，8千克与1－不对应，所以算式8÷（1－）是错误的。 B．8千克是倒出的油的质量，1＋是比单位“1”多，8千克与1＋不对应，所以算式8÷（1＋）是错误的。 C．8千克不是单位“1”，不能用乘法计算，所以算式8×（1－）是错误的。 D．8千克所对应的分率是，所以求原油重列式为8÷。 故答案为：D 3．（22-23六年级上·重庆忠县·期末）一件衣服按原价的出售，卖了180元，这件衣服比原价少卖（    ）元。 A．20 B．200 C．18 【答案】A 【分析】把这件衣服的原价看作单位“1”，售价180元是原价的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出这件衣服的原价；再用原价减去售价，就是这件衣服比原价少卖的钱数。 【详解】180÷ ＝180× ＝200（元） 200－180＝20（元） 这件衣服比原价少卖20元。 故答案为：A 4．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）请合理补充信息，使此题能用解答。 学校修缮学生阅览室，实际用了20天完成，( )，计划多少天完成？ 【答案】比计划时间提前了 【分析】补充的信息要能用解答，已知实际用了20天完成，比计划时间提前了，把计划的天数看作单位“1”，则实际用的天数是计划的，单位“1”未知，用实际用的天数除以，求出计划用的天数。 【详解】补充的信息： 学校修缮学生阅览室，实际用了20天完成，（比计划时间提前了），计划多少天完成？ （天） 计划32天完成。 5．（22-23六年级上·重庆江津·期末）张大爷家苹果树的棵数比梨树多，这里是把( )看作单位“1”，苹果树的棵数相当于梨树的( )。若苹果树有154棵，梨树有( )棵。 【答案】 梨树的棵数 98 【分析】根据题意，苹果树的棵数比梨树多，是把梨树的棵数看作单位“1”，则苹果树的棵数相当于梨树的（1＋）；若苹果树有154棵，根据分数除法的意义解答，即可求出梨树的棵数。 【详解】1＋＝ 张大爷家苹果树的棵数比梨树多，这里是把梨树的棵数看作单位“1”，苹果树的棵数相当于梨树的。 154÷ ＝154× ＝98（棵） 若苹果树有154棵，梨树有98棵。 6．（22-23六年级上·重庆江北·期末）小青妈妈上个月的手机费是70元，比爸爸的少10元。爸爸上月手机费是( )元。 【答案】120 【分析】根据题意知：以爸爸上个月的手机费为单位“1”，妈妈的手机费70元再加上10元，也就是80元，相当于爸爸手机费的，用80除以对应的分率，即可得总量，也就是爸爸的手机费。据此解答。 【详解】 ＝ ＝120（元） 爷爷上月手机费是120元。 7．（23-24六年级上·重庆·期末）冰融化成水后体积缩小，这里是把( )看作“单位1”；照这样计算，36L水结成冰后体积是( )。 【答案】 冰的体积 40 【分析】确定单位“1”，关键是看以谁为标准，谁为标准谁就是单位“1”；冰融化成水后体积缩小，是以冰的体积为单位“1”，化成水后，体积缩小了冰的，水的体积是冰的（1－），水的体积÷对应分率＝冰的体积，据此分析。 【详解】36L＝36 36÷（1－） ＝36÷ ＝36× ＝40（） 冰融化成水后体积缩小，这里是把冰的体积看作“单位1”；照这样计算，36L水结成冰后体积是40。 8．（24-25六年级上·重庆江北·期末）看下面的线段图列算式。（只列综合算式或方程，不计算。） 【答案】120÷（1＋） x×（1＋）＝120 【分析】把白兔的只数看作单位“1”，黑兔的只数是白兔的（1＋），对应的是黑兔的120只，求单位“1”，用黑兔的只数÷（1＋），即120÷（1＋），据此解答。 设白兔有x只，黑兔的只数比白兔多，即黑兔的只数是白兔的（1＋），用白兔的只数×（1＋）＝黑兔的只数，列方程：x×（1＋）＝120，据此解答。 【详解】120÷（1＋） ＝120÷ ＝120× ＝90（只） 解：设白兔有x只。 x×（1＋）＝120 x×＝120 x＝120÷ x＝120× x＝90 白兔有90只。 9．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）看线段图列式计算。 【答案】600÷（1＋）；480元 【分析】把甲的钱数看作单位“1”，乙的钱数是甲的（1＋），对应的是乙的钱数600元，求单位“1”，用600÷（1＋），即可解答。 【详解】600÷（1＋） ＝600÷ ＝600× ＝480（元） 甲是480元。 10．（23-24六年级上·重庆黔江·期末）看图列式并计算。 【答案】350千米 【分析】从线段图中可知，300千米比要求的长度少，把要求的长度看作单位“1”，则300千米是它的（1－），单位“1”未知，用除法计算，即可求解。 【详解】300÷（1－） ＝300÷ ＝300× ＝350（千米） 11．（24-25六年级上·重庆永川·期末）爷爷分别买了一套《三国演义》和一套《西游记》精装本。一套《三国演义》的价格是121元，比一套《西游记》的价格便宜，一套《西游记》的价格是多少元？ 【答案】220元 【分析】一套《三国演义》比一套《西游记》的价格便宜，以一套《西游记》的价格为单位“1”，是未知量，则一套《三国演义》是一套《西游记》的价格的（1－），已知一个数的几分之几求这个数，用除法。计算时，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数即可。 【详解】121÷（1－） ＝121÷ ＝121× ＝220（元） 答：一套《西游记》的价格是220元。 12．（24-25六年级上·重庆潼南·期末）C919大型客机是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机，具有安全、经济、舒适、环保等特点。C919大型客机机身的长度约39米，比翼展长，C919大型客机的翼展约长多少米？ 【答案】36米 【分析】把翼展长看作单位“1”，C919大型客机机身的长度是翼展的（1＋），对应的是C919大型客机机身的长度，求单位“1”，用C919大型客机机身的长度÷（1＋），即可解答。 【详解】39÷（1＋） ＝39÷ ＝39× ＝36（米） 答：C919大型客机的翼展约长36米。 13．（24-25六年级上·重庆黔江·期末）木雕至今已有7000多年的历史，是我国非物质文化遗产之一。振兴木雕厂接受一批雕刻任务，该任务由赵师傅和王师傅共同完成。赵师傅分到的雕刻任务是45个，王师傅的任务占总数的，那么这批雕刻任务数一共是多少个？ 【答案】120个 【分析】把任务的总数看作单位“1”，王师傅的任务占总数的，那么赵师傅分到的45个任务占任务总数的（1－），单位“1”未知，用赵师傅分到的雕刻任务数量除以（1－），求出这批雕刻任务总数。 【详解】45÷（1－） ＝45÷ ＝45× ＝120（个） 答：这批雕刻任务数一共是120个。 14．（22-23六年级上·重庆潼南·期末）“直播带货”成为促进经济增长的有效途径。张阿姨将山里的核桃通过直播的方式销售，直播销售量比线下销售量有了很大的提高，销售量增加了。今年张阿姨直播销售量是6200千克，你能算出张阿姨之前线下的核桃销售量是多少千克？ 【答案】1000千克 【分析】根据题意，销售量增加了，意思是直播销售量比线下销售量增加了，把线下销售量看作单位“1”，则直播销售量是线下销售量的（1＋），单位“1”未知，用直播销售量除以（1＋），即可求出线下销售量。 【详解】6200÷（1＋） ＝6200÷ ＝6200× ＝1000（千克） 答：张阿姨之前线下的核桃销售量是1000千克。 15．（22-23六年级上·重庆梁平·期末）小丽陪妈妈去逛街，在一家服装店看上了一件衣服，售货员说：“我们这儿的服装都是增加成本的一半作标价，看你喜欢这件衣服，我按标价的卖给你，你只付180元，我才赚到你10元钱。”如果你是小丽，你觉得售货员是不是只赚了10元钱？计算后回答。 【答案】不是；赚了30元 【分析】将标价看作单位“1”，付的钱数÷对应分率＝标价；再将成本价看作单位“1”，标价是成本价的（1＋），标价÷对应分率＝成本价，付的钱数－成本价＝赚的钱数，与售货员说的对照即可。 【详解】180÷ ＝180× ＝225（元） 225÷（1＋） ＝225÷ ＝225× ＝150（元） 180－150＝30（元） 答：不是只赚了10元钱，而是赚了30元钱。 考点七、工程问题 1.基本概念： （1）工作总量： 一项工程的全部工作量，通常用“1”来表示（不具体指明数量时）。 （2）工作效率： 单位时间内完成的工作量。通常用“几分之一”表示（如：甲单独做5天完成，甲的工作效率就是）。 （3）工作时间： 完成工作总量所需的时间。 2.基本数量关系式： （1）工作效率 × 工作时间 = 工作总量 （2）工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 （3）工作总量 ÷ 工作时间 = 工作效率 3.合作问题： （1）合作工作效率 = 各个单独工作效率之和。 （2）合作工作时间 = 工作总量“1” ÷ 合作工作效率。 （3）常用等量关系：甲的工作量 + 乙的工作量 = 工作总量“1” 真题练习 1．（24-25六年级上·重庆江北·期末）有300棵树，如果甲队单独种需要8天，乙队单独种需要10天，现在两队合种，多少天能种完？解决这个问题正确的列式是（    ）。 A．300÷（8＋10） B． C．1÷（8＋10） D． 【答案】B 【分析】根据题意，将种树300棵树（工作总量）看作单位“1”，如果甲队单独种需要8天，甲的工作效率是；乙队单独种需要10天，乙的工作效率是，根据合作时间＝工作总量÷工作效率和，代入数据计算，即可求出合作时间。 【详解】 ＝ ＝ ＝（天） 现在两队合种，天能种完。 故答案为：B 2．（24-25六年级上·重庆长寿·期末）一项工程，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成。现两人合做途中乙因病休息了几天，这样用了6天才完成任务。乙实际工作了多少天？ 【答案】3天 【分析】由题意可知，把这项工程看作单位“1”，完成这项工程用了6天，甲全程参与，则甲完成了全部工程的（6×），那么乙完成了全部工程的（1－6×），再根据工作时间＝工作总量÷工作时间求出乙实际工作的天数，据此解答即可。 【详解】 ＝（1－）×12 ＝×12 ＝3（天） 答：乙实际工作了3天。 3．（22-23六年级上·重庆江北·期末）一项工程，甲队单独做需要12小时，乙队单独做需要10小时，两队合做，中间甲队休息了2小时，这项工程完工时，乙队共做了多少小时？ 【答案】小时 【分析】根据题意，把这项工程看作单位“1”，可知甲乙两队的工作效率分别是 和，两队合做，中间甲队休息了2小时，则乙队在这2小时的时间内自己完成了工作总量的，即，则两队共完成工作总量的＝，再用除以两队的工作效率之和得两队共同完成工作总量的所用的时间，然后加上甲队休息时，乙队没有休息，多做的2小时，即是工程完工时，乙队共做的时间。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝（小时） 答： 乙队共做了小时。 4．（24-25六年级上·重庆江北·期末）两个车间组装一批华为智能手机，甲车间单独做要20天完成任务，乙车间单独做每天能完成任务的。 （1）如果两车间同时组装，多少天能完成任务？ （2）如果乙车间先组装5天后，甲乙两个车间再同时组装，还要做多少天完成任务？ 【答案】（1）12天； （2）10天 【分析】（1）把工作总量看作单位“1”，则甲车间的工作效率是，根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，即可计算出如果两车间同时组装，多少天能完成任务。 （2）把工作总量看作单位“1”，用乙车间的工作效率乘5，即可计算出乙车间先组装5天完成的工作量，再用减法计算出剩余的工作量，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和，即可计算出还要做多少天完成任务。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝12（天） 答：如果两车间同时组装，12天能完成任务。 （2）（1－） ＝（）÷ ＝÷ ＝ ＝10（天） 答：还要做10天完成任务。 5．（23-24六年级上·重庆·期末）2023年初，围绕辖区市民急难愁盼的问题，两江新区制定实施了20项重点民生实事项目。人和街道老旧小区改造邢家桥二、三标段项目，由甲、乙两个工程队共同负责。甲队单独做需要30天完成，乙队单独做需要20天完成。甲队先单独做6天，余下的由甲、乙两队合做，两队还需要合作几天？ 【答案】天 【分析】把这项目的工作总量看作单位“1”，由题意可知，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，根据，得到甲队先单独做6天的工作总量，再根据，用1减甲队做6天的工作总量，再除以两队的工作效率和，即可得解。 【详解】 （天） 答：两队还需要合作天。 6．（22-23六年级上·重庆丰都·期末）为了响应国家的乡村振兴计划，大池村计划修一条振兴路，聘请了两个工程队来修。甲队每天修它的，乙队每天修它的。甲队单独修了10天后，乙队接着也单独修了10天。 （1）甲乙两队单独修了后，这条路还剩下多少？ （2）剩下的由两队一起合修。还要几天才能修完这条路？ 【答案】（1）；（2）2天 【分析】（1）把这条公路的长度看作单位“1”，则甲10天的工作总量为，乙10天的工作总量为，用单位“1”减去甲乙的工作总量，即可求出这条路还剩下几分之几。 （2）用这条公路剩下的分率除以甲、乙的工作效率和即可解答。 【详解】（1） 答：这条路还剩下。 （2） ＝ ＝×12 ＝2（天） 答：还要2天才能修完这条路。 试卷第1页，共3页 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $