精品解析：北京市朝阳区日坛中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年北京市朝阳区日坛中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. 田 B. 忌 C. 赛 D. 马 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）依次对各选项逐一判断，据此解答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，根据，则，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， A、B、C、D四个选项只有A选项符合上述范围， 故选：A． 3. 下列运算结果正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故此选项符合题意； C、幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故此选项不符合题意； D、积的乘方，等于各因式乘方的积，，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 故选：C． 5. 如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，此时无法证明，故A符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，则，，故C不符合要求； 当时，，故D不符合要求； 故选：A． 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 7. 如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠问题，由平行线的性质和折叠的性质可得，再利用角的和差即可求出．掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得： ， ∵， ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论中正确的结论有（　　） ； ； 点到各边的距离相等； 设，则． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得设，则，故正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ， ， ；故错误； 在中，和的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ，故正确； 过点作于，作于， 在中，和的平分线相交于点， ， ；故正确； 在中，和的平分线相交于点， 点到各边的距离相等，故正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，此题难度适中，解题的关键是添加适当的辅助线，注意数形结合思想的应用． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______，它是______命题（填真或假） 【答案】 ①. 对应角相等的两个三角形是全等三角形 ②. 假 【解析】 【分析】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．先确定原命题的题设和结论，互换得到逆命题，再根据三角形全等的判定判断其真假． 【详解】解：原命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形全等”，结论是“对应角相等”；逆命题是将题设和结论互换，即“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，这是一个假命题，例如两个边长不同的等边三角形，满足三个角都对应相等，但是这两个等边三角形不全等． 故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形；假． 10. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 本题根据三角形的外角性质，得到，然后即可求解． 【详解】解：根据三角形外角性质得：， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】此题重点考查三角形内角和定理，正确理解和应用“三角形的内角和等于”是解题的关键．由题意得，，由三角形内角和定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：一副三角板拼成如图所示图形， ，， ， 故答案为：． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 13. 如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，∠B＝30°，那么∠CAD＝_____°． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质先求解，再求解，再利用三线合一的性质求解即可得到答案． 【详解】解： AB＝AC，∠B＝30°， AB＝AC，AD是△ABC的中线， 平分， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 14. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据作图步骤得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，，然后利用三角形外角性质可计算出的度数． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质和尺规作图的基本原理． 15. 如图，在中，，，点D．E分别在边上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则________°，________． 【答案】 ①. 90 ②. 9 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质求出，，进而可得，再利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可求解． 【详解】∵，， ∴，． 由折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：90，9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，以及折叠的性质，求出是解答本题的关键． 16. 如图，在和中，，，，连接，，，三点在同一直线上，连接，．以下五个结论：；；；；．其中正确的结论是______．（填序号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，多边形内角和，等腰三角形性质，证明，可判断；根据三角形三边关系可判断；由全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质可判断；由多边形内角和定理可判断；由角平分线定义可判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论正确； 中，， ∴，故结论错误； 由可知: ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论正确； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∵不一定是的平分线， ∵与不相等， ∴与不一定相等，故错误， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方法则计算，再根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）先根据幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，区域S内要修建一个加油站P，其设计要求是加油站到A、B两个小镇的距离相等．且到m，n两条公路的距离也相等．请在图中区域S内确定加油站的位置（保留作图痕迹）． 【答案】 解：如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．作的角平分线，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】略 19. 如图，在中，平分交于点，是边上的高，与相交于点，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理等知识，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．根据是边上的高，可得，结合平分，，可得，即可得，根据对顶角性质即可得出的度数． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 20. 已知：如图，，点A为的中点，点D、A、C共线，求证：． 【答案】 证明：∵， ，， 点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，要证明，只要证明即可． 【详解】略 21. 如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，证明三角形全等是解题关键．由等边三角形的性质得出，再证明得出，根据三角形的内角和定理可得，等量代换即可求出． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 【答案】（1） （2） 如图，即为所求． （3）点E的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）结合全等三角形的判定确定点E的位置，即可得出答案． 【小问1详解】 解：点C与点关于y轴对称， 点C的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点，，均满足题意， 点E的坐标为或或． 23. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 【答案】 （1）证明：是等边三角形， ． ， ， ， ，（等角对等边） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）证明：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟记相关结论即可； （1）根据推理过程即可补全； （2）由题意得：，推出即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 24. 【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系. 小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________； 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：. 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长. 【答案】 （1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长、相交于点F， ， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）延长至点H，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， （对顶角相等）， ， ， ； （3）3.4 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； （3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）延长、相交于点， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ，， ， ， 因此，的长为3.4． 25. 在平面中，对于点M，N，P，若，且，则称点P是点M和点N的“垂等点”． 在平面直角坐标系中， （1）已知点，点，则点中是点M和点N的“垂等点”的是___________； （2）已知点． ①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由； ②当时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围． 【答案】（1）， （2）①点的坐标是；②． 【解析】 【分析】（1）由“垂等点”的定义，通过三角形全等即可解决问题； （2）①由可得，，即可求出点的坐标； ②当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，可求出点的坐标，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由题意得：，， ， ， ，， ， ， ， 点是点和点的“垂等点”， 同理点是点和点的“垂等点”，点不是点和点的“垂等点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 ①点的坐标是，理由如下： 在第二象限内存在点，使得点是点和点的“垂等点， ，， ， ， ， ∴， ，， 点，，， 点的坐标是； ②当时，当，分别与，重合时，点是点和点的“垂等点”，点是线段的垂直平分线上的点，，，显然点的纵坐标是0或4， 当点是线段的垂直平分线上的点，显然点的纵坐标是，2． 的取值范围是． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是理解“垂等点”的定义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京市朝阳区日坛中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. 田 B. 忌 C. 赛 D. 马 2. 如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 7. 如图，在中，，点D为线段上一点，将沿直线折叠后，点B落在点E处，且，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于点，下列四个结论中正确的结论有（　　） ； ； 点到各边的距离相等； 设，则． A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______，它是______命题（填真或假） 10. 体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则___________． 11. 如图，一副三角板拼成如图所示图形，则的度数为______． 12. 如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件：______．  13. 如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，∠B＝30°，那么∠CAD＝_____°． 14. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为______． 15. 如图，在中，，，点D．E分别在边上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则________°，________． 16. 如图，在和中，，，，连接，，，三点在同一直线上，连接，．以下五个结论：；；；；．其中正确的结论是______．（填序号）． 三、解答题：本题共9小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）计算：． 18. 如图，区域S内要修建一个加油站P，其设计要求是加油站到A、B两个小镇的距离相等．且到m，n两条公路的距离也相等．请在图中区域S内确定加油站的位置（保留作图痕迹）． 19. 如图，在中，平分交于点，是边上的高，与相交于点，且，求的度数． 20. 已知：如图，，点A为的中点，点D、A、C共线，求证：． 21. 如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于y轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）已知横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点，若平面内有一格点E，使得与全等，写出所有点E的坐标（点B与点E不重合）． 23. （1）如图1，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：是等边三角形， ． ， ________， ， ，（④________） 是等腰三角形． 又是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点D，延长至点E，使得，求证：是等边三角形． 24. 【综合与实践题】 【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题. 例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系. 小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断） 【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________； 【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：. 【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长. 25. 在平面中，对于点M，N，P，若，且，则称点P是点M和点N的“垂等点”． 在平面直角坐标系中， （1）已知点，点，则点中是点M和点N的“垂等点”的是___________； （2）已知点． ①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的“垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由； ②当时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的“垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $