第13讲 二元一次方程组的应用与三元一次方程组及其解法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

第13讲 二元一次方程组的应用与三元一次方程组及其解法 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 2.三元一次方程组 3.解三元一次方程组 4.列三元一次方程组解决实际问题 题型巩固 一、方案问题(二元一次方程组的应用) 二、行程问题(二元一次方程组的应用) 三、工程问题(二元一次方程组的应用) 四、数字问题(二元一次方程组的应用) 五、分配问题(二元一次方程组的应用) 六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 八、几何问题(二元一次方程组的应用) 九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 十、古代问题(二元一次方程组的应用) 十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 十二、三元一次方程组的定义及解 十三、三元一次方程组的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（4） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 列方程组解应用题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1) 审： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2) 设： 分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3) 找： 找出题中的两个等量关系； (4) 列： 根据等量关系列出方程组； (5) 解： 解这个方程组，求出未知数的值； (6) 答： 检验所求解是否符合实际意义，写出答案 . 3. 列二元一次方程组解决实际问题常见的类型 和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、图形面积问题等 . 知识点2.三元一次方程组 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程 . 必备条件：(1)是整式方程；(2) 含三个未知数； (3) 是一次方程 . 2. 三元一次方程组 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组 . 必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3) 有三个方程；(4)都是一次方程 . 知识点3.解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程 . 2.求解方法 加减消元法和代入消元法 . 3. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元： 利用代入法或加减法消去三元一次方程组中的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2) 求解： 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3) 回代： 将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的且含最后一个未知数的方程，得到一个一元一次方程； (4) 求解： 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5) 写解： 将求得的三个未知数的值用符号“ {”合写在一起 . 知识点4.列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的未知量； (2) 找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3) 根据等量关系列出方程，联立方程组； (4) 解方程组求出未知数的值； (5)写出答案，包括单位名称 . 题型巩固 题型一、方案问题(二元一次方程组的应用) 1．在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 2．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有 种． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下： 人数m 折扣 九五折 八五折 七五折 已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人，经核算，若两校分别组团共需花费46000元，若两校联合组团只需花费39000元． (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 题型二、行程问题(二元一次方程组的应用) 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 5．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 题型三、工程问题(二元一次方程组的应用) 6．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 7．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 题型四、数字问题(二元一次方程组的应用) 8．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 9．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 题型五、分配问题(二元一次方程组的应用) 10．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 11．中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶． 12．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 题型六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 13．某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（    ） A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元 B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元 C．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 D．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元 14．小明、小华和小芳三人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了如下的表格. 聪明的小明发现了其中有且只有一人把总价算错了，这个算错的人是 . 小明 小华 小芳 笔记本（本） 15 24 27 钢笔（支） 25 40 45 总价（元） 330 528 585 15．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 题型七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 16．一天，李明和孙帅两位同学一起到饭店吃早餐，李明买了4个包子、1根油条，共付4.2元；孙帅买了2个包子、3根油条，共付4.6元．设包子每个x元、油条每根y元，则适合x、y的方程组是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 题型八、几何问题(二元一次方程组的应用) 18．（24-25七年级·安徽芜湖·期末）如图，某小区进行项目改造：在一块长18、宽13的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺植草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；则通道的宽是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 题型九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 20．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（   ） 0 3 x y A．4 B． C．9 D． 21．如图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数. （1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值； （2）把满足（1）的其它6个数填入图（2）中的方格内. 题型十、古代问题(二元一次方程组的应用) 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 23．（23-24七年级·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 24．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 题型十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 25．王莹把含糖6%和12%的两种饮料兑在一起，配成了含糖8%的混合饮料240g，那么含糖6%和12%的两种饮料分别用了（   ） A．80g，100g B．160g，80g C．120g，120g D．200g，40g 26．（24-25七年级·安徽黄山·期中）在过去的20多年里，太阳能对世界能源供应总量的贡献越来越大．今年以来，某新能源光伏企业原计划生产、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如表所示，现因订单增加，、两种太阳能光伏板产量增加至共计18件，则总成本增长了31万元，求订单增加后生产、两种太阳能光伏板的总利润． 种产品 种产品 成本（万元/件） 利润（万元/件） 题型十二、三元一次方程组的定义及解 27．已知方程组，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．三元一次方程组的解是 . 29．用适当方法解下列方程组 （1）                     （2） （3）              （4） 题型十三、三元一次方程组的应用 30．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 31．有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根、乙种1根、丙种3根，共长23米；甲种1根、乙种4根、丙种5根，共长36米；问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长 米． 32．有一片牧场原有的草量为，草每天都匀速地生长，这片牧场每天牧草的生长量都为．若在其上放牧24头牛，则6天吃完牧草．若放牧21头牛，则8天吃完牧草．若每头牛每天吃草的量也都是相等的，设每头牛每天吃草的量为．问： （1）放牧24头牛，6天所吃的牧草量用含，的代数式表示为______；放牧21头牛，8天所吃的牧草量用含，的代数式表示为______； （2）试用表示，； （3）若放牧16头牛，则几天可以吃完牧草？ 强化训练 一、单选题 1．有一个两位数，两个数位上的数字之和为，已知比的3倍大除以的商是5，余数是5，则这样的两位数（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 2．下列方程组中是三元一次方程组的是（    ）． A． B． C． D． 3．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 4．端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．如图①，现有两个大小相同的小长方形，按照不同的拼接方式可拼成不同的大长方形，拼成如图②所示的长方形时，其周长为；拼成如图③所示的长方形时，其周长为，则小长方形的长、宽分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 8．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 9．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 二、填空题 11．已知三元一次方程组，则 ． 12．父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 13．某商场购进商品后，加价40%作为销售价．五一期间，商场搞优惠促销，决定由顾客抽签确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元．则两种商品进价分别为 元． 14．甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，则乙的速度是 米/秒． 三、解答题 15．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”请用二元一次方程组解决这个问题． 16．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 17．甲、乙、丙三数的和为36，甲数比乙数的2倍大1，乙数的恰好等于丙数，则甲、乙、丙三个数分别为多少？ 18．解方程组 (1)； (2)； (3) 19．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 20．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价 售价 A款 m元 120元 B款 n元 90元 若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元； 该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ 21．某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二元一次方程组的应用与三元一次方程组及其解法 （知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 2.三元一次方程组 3.解三元一次方程组 4.列三元一次方程组解决实际问题 题型巩固 一、方案问题(二元一次方程组的应用) 二、行程问题(二元一次方程组的应用) 三、工程问题(二元一次方程组的应用) 四、数字问题(二元一次方程组的应用) 五、分配问题(二元一次方程组的应用) 六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 八、几何问题(二元一次方程组的应用) 九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 十、古代问题(二元一次方程组的应用) 十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 十二、三元一次方程组的定义及解 十三、三元一次方程组的应用 强化训练 单选题（10） 填空题（4） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤 1. 列方程组解应用题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 (1) 审： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2) 设： 分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3) 找： 找出题中的两个等量关系； (4) 列： 根据等量关系列出方程组； (5) 解： 解这个方程组，求出未知数的值； (6) 答： 检验所求解是否符合实际意义，写出答案 . 3. 列二元一次方程组解决实际问题常见的类型 和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、图形面积问题等 . 知识点2.三元一次方程组 1. 三元一次方程 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作三元一次方程 . 必备条件：(1)是整式方程；(2) 含三个未知数； (3) 是一次方程 . 2. 三元一次方程组 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组 . 必备条件：(1)都是整式方程；(2) 含三个未知数；(3) 有三个方程；(4)都是一次方程 . 知识点3.解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减” 进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再转化为解一元一次方程 . 2.求解方法 加减消元法和代入消元法 . 3. 解三元一次方程组的一般步骤 (1)消元： 利用代入法或加减法消去三元一次方程组中的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2) 求解： 解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3) 回代： 将求得的两个未知数的值代入原方程组中一个系数比较简单的且含最后一个未知数的方程，得到一个一元一次方程； (4) 求解： 解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5) 写解： 将求得的三个未知数的值用符号“ {”合写在一起 . 知识点4.列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的未知量； (2) 找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3) 根据等量关系列出方程，联立方程组； (4) 解方程组求出未知数的值； (5)写出答案，包括单位名称 . 题型巩固 题型一、方案问题(二元一次方程组的应用) 1．在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【答案】C 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=260；C种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解． 【详解】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个， 当C种奖品个数为3个时 根据题意得 整理得 都是正整数， 当C种奖品个数为4个时 根据题意得 整理得 都是正整数， 有种购买方案 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.要注意题中未知数的取值必须符合实际意义． 2．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有 种． 【答案】 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意列出二元一次方程，故可求解． 【详解】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意可得 正整数解为或或 故购买方案有3种， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下： 人数m 折扣 九五折 八五折 七五折 已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人，经核算，若两校分别组团共需花费46000元，若两校联合组团只需花费39000元． (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 【答案】(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人； (2)甲校报名参加旅游的学生有170人，乙校报名参加旅游的学生有90人． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算． （1）按原定收费标准估算人数，利用两所学校报名参加旅游的学生人数两校分别组团所花费用，可估算出两所学校报名参加旅游的学生人数，由该值大于200，即可得出结论； （2）设甲校报名参加旅游的学生有人，乙校报名参加旅游的学生有人，分及两种情况考虑，根据“两校分别组团共需花费46000元，两校联合组团只需花费39000元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人，理由如下： 按原定收费标准估算人数：（人）， ， 两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人； （2）解：设甲校报名参加旅游的学生有人，乙校报名参加旅游的学生有人， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校报名参加旅游的学生有170人，乙校报名参加旅游的学生有90人． 题型二、行程问题(二元一次方程组的应用) 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【答案】(1)快车、慢车的速度分别为 (2)1小时或者3小时 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次方程的应用； （1）设快车、慢车的速度分别为根据题意列出方程组，方程组即可求解． （2）设时间为小时，根据相距100千米，分情况讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 题型三、工程问题(二元一次方程组的应用) 6．羊城某工程公司下属的甲工程队、乙工程队分别承包了白云区人和镇的工程、工程，甲工程队晴天需要天完成，雨天工作效率下降；乙工程队晴天需天完成，雨天工作效率下降，实际上两个工程队同时开工，同时完工，两个工程队各工作了（    ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨，根据题意列出方程组即可求解，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设两工程队各工作了天，在施工期间有天有雨， 由题意得，， 解得 ∴两个工程队各工作了天， 故选：． 7．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【答案】甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 题型四、数字问题(二元一次方程组的应用) 8．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设第二行第一个数字为(为常数），根据每一横行、每一竖列上的数字之和相等，可列出关于，的二元一次方程，变形后，即可求出的值． 【详解】解：设第二行第一个数字为为常数）， 根据题意得：， ． 故选：B． 9．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【答案】 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键．根据题意列出方程组进行解题即可． 【详解】解：设原两位数十位上的数是，个位上的数是， 则 解得． 答：所求的两位数是． 题型五、分配问题(二元一次方程组的应用) 10．某小组分若干本书，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本，共有图书（    ） A．34本 B．22本 C．24本 D．32本 【答案】B 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设人数为，图书为，若每人分6本，则余4本；若每人分8本，则缺2本列出方程组解答即可． 【详解】解：设人数为，图书为，根据题意可得：， 解得：， 故选：B 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 11．中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯． 1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排 名工人加工茶壶． 【答案】6 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可. 【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶， 根据题意得：， 解得：， 故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶． 故答案为：6． 12．七年（2）班的王老师和张老师带领40名学生去公园野营，大帐篷限住5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好全部住满，求大帐篷和小帐篷各租了多少顶？ 【答案】大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶，根据租用的帐篷正好住人，再根据列出关于x的一元一次方程，可解求得出x的值，再将其代入中，即可求出租用小帐篷的数量． 【详解】解：设大帐篷租了x顶，则小帐篷租了顶， 根据题意得：，解得：， ∴． 答：大帐篷租了6顶，小帐篷租了4顶． 题型六、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 13．某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？（    ） A．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为100元和25元 B．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为120元和5元 C．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 D．一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为130元和6元 【答案】C 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据图表得出等量关系可列出方程进而组成方程组求出即可． 【详解】解：设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x元和y元， 根据题意得： 解得： 所以一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为125元和10元 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系可列出方程是解题关键． 14．小明、小华和小芳三人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了如下的表格. 聪明的小明发现了其中有且只有一人把总价算错了，这个算错的人是 . 小明 小华 小芳 笔记本（本） 15 24 27 钢笔（支） 25 40 45 总价（元） 330 528 585 【答案】小芳 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设笔记本的单价为x，钢笔的单价为y，根据给出的数量，列出方程，求出3本笔记本和5只支钢笔的总钱数，再进行比较，即可得出答案. 【详解】设笔记本的单价为x，钢笔的单价为y，则： 小明：15x+25y=5(3x+5y)=330， 3x+5y=66(元)； 小华：24x+40y=8(3x+5y)=528， 3x+5y=66(元)； 小芳：27x+45y=9(3x+5y)=585， 3x+5y=65(元)； 小明与小华的结果相同，故小芳错误. 故答案为：小芳. 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，由于两种商品的单价是一定的，根据单价、购买数量及总价之间的数量关系进行分析推理是完成本题的关键. 15．（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元 (2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有3种购进方案：购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键． （1）根据等量关系式：第一次购买台A型台灯的费用第一次购买台B型台灯的费用元，第二次购买台A型台灯的费用第二次购买台B型台灯的费用元，列出方程组，接可求解； （2）①根据等量关系式：第一次的台A型台灯的利润第一次的台B型台灯的利润元，第二次的台A型台灯的利润第二次购买台B型台灯的利润元，列出方程组，接可求解； ②设再购进A型台灯a台，B型台灯台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润台B型台灯售出获得利润元，列方程即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；     ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或， 有3种购进方案： 购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台； 题型七、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 16．一天，李明和孙帅两位同学一起到饭店吃早餐，李明买了4个包子、1根油条，共付4.2元；孙帅买了2个包子、3根油条，共付4.6元．设包子每个x元、油条每根y元，则适合x、y的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设包子每个x元、油条每根y元，根据李明买了4个包子、1根油条，共付4.2元；孙帅买了2个包子、3根油条，共付4.6元列方程组即可. 【详解】设包子每个x元、油条每根y元，由题意得 . 故选C. 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出的二元一次方程组的知识点，解答本题的关键是理解题意，找出题干中的等量关系，列出等式，本题难度一般． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 题型八、几何问题(二元一次方程组的应用) 18．（24-25七年级·安徽芜湖·期末）如图，某小区进行项目改造：在一块长18、宽13的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，其余部分铺植草皮，如果通道的宽度相等，六块草坪的形状、大小相同，其中一块草坪的两边；则通道的宽是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设通道的宽为，，根据长包含3个的长和2个通道宽，宽包含2个长和1个通道宽建立方程组求解． 【详解】解：设通道的宽为，， 由题意得：， 解得：， 答：通道的宽是． 故选B． 19．（24-25七年级上·安徽六安·期末）在长方形中，放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．试求阴影部分的面积． 【答案】32 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． 由图得等量关系：（1）1个长个宽；（2）3个宽个长个宽，根据等量关系列出方程组，再解即可． 【详解】解：设小长方形宽为，长为， 根据题意得：， 解得， ， ∴阴影部分的面积为 32 ． 题型九、图表信息题(二元一次方程组的应用) 20．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为（   ） 0 3 x y A．4 B． C．9 D． 【答案】A 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据九宫图的填法，每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出方程组，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴． 故选：A 21．如图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数. （1）在图（1）中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x，y的值； （2）把满足（1）的其它6个数填入图（2）中的方格内. 【答案】(1)x=-1,y=1;(2)见解析. 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可； （2）进一步由和得出其它6个数填图． 【详解】解:(1)由题意可列方程组 解得 . 答: x=-1,y=1; (2) . 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，理解题意中“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，使问题得解． 题型十、古代问题(二元一次方程组的应用) 22．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 23．（23-24七年级·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是列二元一次方程组，读懂题意，得到所给未知数的系数及相加结果是解题的关键． 由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果；前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式． 【详解】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为． 故答案为：． 24．（2024·安徽合肥·模拟预测）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 【答案】合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱， 依题意，得：， 解得：． 答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱． 题型十一、其他问题(二元一次方程组的应用) 25．王莹把含糖6%和12%的两种饮料兑在一起，配成了含糖8%的混合饮料240g，那么含糖6%和12%的两种饮料分别用了（   ） A．80g，100g B．160g，80g C．120g，120g D．200g，40g 【答案】B 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设含糖6%的饮料用了g，含糖12%的饮料用了g，根据配成了含糖8%的混合饮料240g列出方程组解答即可． 【详解】解: 设含糖6%的饮料用了g，含糖12%的饮料用了g, 由题意得 解得: ∴含糖6%的饮料用了160g，含糖12%的饮料用了80g． 故选: B 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 26．（24-25七年级·安徽黄山·期中）在过去的20多年里，太阳能对世界能源供应总量的贡献越来越大．今年以来，某新能源光伏企业原计划生产、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如表所示，现因订单增加，、两种太阳能光伏板产量增加至共计18件，则总成本增长了31万元，求订单增加后生产、两种太阳能光伏板的总利润． 种产品 种产品 成本（万元/件） 利润（万元/件） 【答案】总利润为42万元 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是∶找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，根据、两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，可列方程组；设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，根据表格中的数据可列方程组，再根据题意计算总利润即可． 【详解】解：设该企业原计划生产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                  解得：                     设该企业增产两种太阳能光伏板各件，件，依题意得：                    解得：            总利润：             答：生产、两种太阳能光伏板的预计总利润为42万元． 题型十二、三元一次方程组的定义及解 27．已知方程组，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】把三个方程相加即可得到的值． 【详解】解：， ①＋②＋③，得： ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键． 28．三元一次方程组的解是 . 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】将第一个式子减去第二个式子，再加上第二个式子，可以算出x的值，就可以把y、z的值都求出来． 【详解】由题意可知： 将-得x-z=2 ∴2x=-2 ∴x=-1 ∴-1-z=2 ∴z=-3 ∴y=3 故原方程组的解为 故答案为：． 【点睛】本题考查三元一次方程组的解法．熟练掌握消元法解方程组是解决本题的关键． 29．用适当方法解下列方程组 （1）                     （2） （3）              （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可． （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （3）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可； （4）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）   解：①×2+②得：7x＝﹣7，   解得：x＝﹣1，             把x＝﹣1代入①得：﹣2+y＝1， 解得y＝3， 即方程组的解为： ;    （2）原方程可化简为： ①−②得：   y＝3，                                  把y＝3代入①得：x−15＝9， 解得：x＝24， 则方程组的解是：；         （3）原方程组可化为 ①×2−②，得x＝2450，                  代入①，得y＝350． 则方程组的解为; （4） ②−①得，3a+b=1④ ③−②得，⑤ ④+⑤得，4a＝4，解得， 将a=1，代入①得：， 解得：     ∴方程组的解为. 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型十三、三元一次方程组的应用 30．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（   ） A．65 B．70 C．72 D．75 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．先根据图形可得，将两个方程相加求解即可得． 【详解】解：由图可知，， ①②得：， 则， 解得， 故选：D． 31．有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根、乙种1根、丙种3根，共长23米；甲种1根、乙种4根、丙种5根，共长36米；问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长 米． 【答案】22 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为x米，y米，z米，根据题意列出方程组，即可得到x＋2y＋3z的值． 【详解】解：设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为米，米，米，由题意得 ， ①×2+②×3，得， 即，故米． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了三元一次方程组，根据题意列出方程组，得到x＋2y＋3z的值是解题的关键． 32．有一片牧场原有的草量为，草每天都匀速地生长，这片牧场每天牧草的生长量都为．若在其上放牧24头牛，则6天吃完牧草．若放牧21头牛，则8天吃完牧草．若每头牛每天吃草的量也都是相等的，设每头牛每天吃草的量为．问： （1）放牧24头牛，6天所吃的牧草量用含，的代数式表示为______；放牧21头牛，8天所吃的牧草量用含，的代数式表示为______； （2）试用表示，； （3）若放牧16头牛，则几天可以吃完牧草？ 【答案】（1），；（2）；（3）若放牧16头牛，18天可以吃完牧草． 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】（1）根据牧场原有的草量为，每天牧草的生长量都为可解得本题； （2）根据“24头牛，6天所吃的牧草量相等”及“21头牛，8天所吃的牧草量相等”列出方程组求解即可； （3）设16头牛天可以吃完牧草，根据“16头牛y天所吃的牧草量相等”列式求解即可． 【详解】解：（1）放牧24头牛，6天所吃的牧草量为kg，放牧21头牛，8天所吃的牧草量为； （2）由题意，得 解得 （3）设16头牛天可以吃完牧草，根据题意，得． 即． 解得． 答：若放牧16头牛，18天可以吃完牧草． 【点睛】本题考查了方程的应用，理解题意，找准等量关系是解题的关键． 强化训练 一、单选题 1．有一个两位数，两个数位上的数字之和为，已知比的3倍大除以的商是5，余数是5，则这样的两位数（    ）． A．只有一个 B．有两个 C．有无数个 D．不存在 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答此题的关键是明确列二元一次方程组解集实际问题的一般步骤． 根据已知列方程组得，解得，验证，即可解答． 【详解】由题意可得， 解得，而， ∴这样的两位数x不存在． 故选：D． 2．下列方程组中是三元一次方程组的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三元一次方程组中共含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，由此进行判断即可． 【详解】解：A、a的最高次数是2，选项错误； B、x、y、z的最高次数都是2，选项错误； C、每个方程都是分式方程，选项错误； D、符合题意，选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查三元一次方程组的识别，牢记定义是解题的切入点． 3．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组． 根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 那么可列方程组为： ， 故选：A． 4．端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】设使用A食品盒x个，使用B食品盒y个， 根据题意得，8x+10y=200， ∵x、y都为正整数， ∴解得，，，， ∴一共有4种分装方式； 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际问题，解题的关键是明确题意列出方程． 5．如图①，现有两个大小相同的小长方形，按照不同的拼接方式可拼成不同的大长方形，拼成如图②所示的长方形时，其周长为；拼成如图③所示的长方形时，其周长为，则小长方形的长、宽分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设小长方形的长、宽分别为和，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为和， 由题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为，， 故选：C． 6．设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解． 【详解】解：设■，▲，●， ， ， 又， ， ， ， 故选：C． 【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键． 7．小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如图所示，那么购买一支签字笔和一本笔记本应付款（   ） 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付款52元． 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付款44元． A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元，根据小月与售货员的对话信息列出二元一次方程组，求出即可． 【详解】解：设购买1支签字笔应付元，1本笔记本应付元， 根据题意得：， 得：， ， 即购买一支签字笔和一本笔记本应共付12元， 故选：B． 8．一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 【详解】解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 9．某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排x名工人生产镜片，y名工人生产镜架，则安排（   ）名工人生产镜片． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是得到镜片数量和镜架数量的等量关系．等量关系为：生产镜片工人数量生产镜架工人数量，镜片数量镜架数量，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：由题意，得． 解得． 则安排20名工人生产镜片． 故选：B． 10．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（　　）    A．b的值为6 B．a为奇数 C．乘积结果可以表示为 D．a的值小于3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程组．解题的关键熟练掌握用格子的方法计算两个数相乘的“铺地锦”，建立一元一次方程组． 设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立方程组，求解，逐一判断即可． 【详解】如图，设的十位数字是m，个位数字是n，    ∴， ∴， ∴D正确； ∴， ∴B正确，D不正确； ∴乘积结果可以表示为． ∴C正确． 故选：D． 二、填空题 11．已知三元一次方程组，则 ． 【答案】6 【分析】方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值． 【详解】解：， ①+②+③，得 2x+2y+2z＝12， ∴x+y+z＝6， 故答案为:6． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，本题的技巧为将三个方程相加． 12．父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是 岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁，由题意：父亲今年44岁，x年前父亲的年龄是儿子的8倍，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设x年前父亲的年龄是儿子年龄的8倍，父亲的年龄为y岁，则儿子的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴， 即当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是岁， 故答案为：． 13．某商场购进商品后，加价40%作为销售价．五一期间，商场搞优惠促销，决定由顾客抽签确定折扣．某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元．则两种商品进价分别为 元． 【答案】200，200 【分析】设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元，然后根据“某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折和九折，共付款448元．两种商品原销售价之和为560元”列方程组求解即可． 【详解】解：设甲、乙两种商品的进价分别为x元、y元． 由题意可得： ,解得 ． 故答案为200、200． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，明确题意、找准等量关系、列出相应的方程组成为解答本题的关键． 14．甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，则乙的速度是 米/秒． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 设甲，乙速度分别为米/秒，米/秒，根据“如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙”列出二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设甲，乙速度分别为米/秒，米/秒． 由题意可得：， 解得， 所以乙的速度是4米/秒． 故答案为：． 三、解答题 15．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，“方程术”是《九章算术》的重要内容，《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”意思如下：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”请用二元一次方程组解决这个问题． 【答案】每头牛值金两，每只羊值金 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设每头牛值金x两，每只羊值金y两，建立关于x，y的二元一次方程组，解方程即可求解． 【详解】解：设每头牛值金x两，每只羊值金y两． 依题意得：， 解得： 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 16．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 17．甲、乙、丙三数的和为36，甲数比乙数的2倍大1，乙数的恰好等于丙数，则甲、乙、丙三个数分别为多少？ 【答案】甲、乙、丙三个数分别为21、10和5 【分析】本题考查了列三元一次方程组解实际问题运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时根据甲、乙、丙三数之间的关系建立方程组是关键．设甲，乙，丙三个数分别为，根据甲、乙、丙三数的和为36，甲数比乙数的2倍大1，乙数的恰好等于丙数，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲，乙，丙三个数分别为，则由题意， 得， 解得． 答：甲、乙、丙三个数分别为21、10和5． 18．解方程组 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接用加减消元法解方程组即可； （2）先整理方程组，再用加减消元法解方程组即可； （3）先消去再消去得到，最后代入求其他未知数即可． 【详解】（1）解： +②得： 解得： 把代入： ∴方程组的解为； （2）解：原方程组整理得 ②得： 解得： 把代入： ∴方程组的解为； （3）解： 得： 得： 把代入： 把，代入： ∴方程组的解为 【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，关键是掌握加减消元法． 19．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 20．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价 售价 A款 m元 120元 B款 n元 90元 若商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元； 该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ 【答案】(1)的值为80，的值为60 (2)该商场可获利元 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用以及有理数四则运算的实际应用． （1）根据“该商场购进5个款足球和12个款足球需1120元；购进10个款足球和15个款足球需1700元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）根据购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，列出二元一次方程，根据为正整数，求出的值，再列式计算即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得：， 答：的值为80，的值为60； （2）解：根据题意得，即， ∴（元） 答：该商场可获利元． 21．某校七（1）班为表彰先进，让班长小文带上一定数量的班费去文具店购买奖品．经与店家沟通，小文获知了如下表的信息： 购买方案 笔/支 大本子/本 小本子/本 剩余钱数/元 方案一 36 0 0 2 方案二 38 0 0 方案三 0 12 8 0 方案四 0 10 10 10 (1)小文所带班费为________元． (2)求大、小本子每本的售价． (3)小文原计划购买6支笔，大、小本子各6本，但店家对小文说：“如果购买的每种本子的数量达到10本，该种本子可以打九折．”小文思考并计算了一下，决定购买4支笔，大、小本子各10本．付钱时，店家说：“我现在的利润只比刚才的利润多10元．”根据以上信息求出小文实际购买文具的成本（已知1支笔的成本为4元）． 【答案】(1) (2)大、小本子每本的售价分别为元、元． (3)小文实际购买文具的成本为元． 【分析】（1），根据方案一和方案二的笔的购买数量与剩余钱数的关系求出笔的单价，进而求班费； （2）设大、小本子单价，根据方案三、四列方程组求解； （3）设大、小本子成本，结合利润关系列方程求解． 【详解】（1）解：设每支笔的售价为元 根据方案一：为班费； 方案二：为班费 所以 移项可得： 即： 解得： 则班费为（元） （2）解：设大、小本子每本的售价分别为元、元． 根据方案三： 根据方案四： 列方程组 解得 答：大、小本子每本的售价分别为元、元 （3）解：设大、小本子每本的成本分别为元、元 由（1），得1支笔的售价为（元） 由题意，得 整理，得， ∵小文实际购买文具的成本为：，， ∴实际成本为（元）， 答：小文实际购买文具的成本为元． 【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，掌握根据表格中的购买方案，找出等量关系，列出方程（组）求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $