第15讲 角、角的比较与补（余）角（7个知识点+6种题型+过关检测）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪科版2024）

第15讲 角、角的比较与补（余）角（7个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2．钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点4．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点5．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 知识点6．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点7．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 题型一、角的概念理解 1．（20-21七年级上·安徽宣城·期末）下列说法正确的是（    ） A．画一条长2cm的直线 B．若OA＝OB，则O是线段AB的中点 C．角的大小与边的长短无关 D．延长射线OA 2．（21-22七年级上·阶段练习）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 题型二、方向角的表示 3．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）由甲看乙的方向是北偏东，则由乙看甲的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东 4．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）下图是按照上北下南，左西右东的规定，画出的十字线，若点表示小明家，请在图中画出表示下列方向的射线并填空 （1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； （4）若以学校为观测点，小明家在学校的 ． 题型三、角度的四则运算 5．（七年级上·安徽淮南·期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（　　） A．44° B．114° C．18° D．96° 6．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算： ． 题型四、三角板中角度计算问题 7．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）用一副三角尺能画大于而小于的角共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）如图，将两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起． （1）若，则∠BAD＝ °． （2）请写出∠BAD与∠EAC之间的数量关系： ． 9．（20-21七年级上·安徽安庆·期末）如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，则 ；若，则 ． (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； (3)如图2，若将两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 题型五、角平分线的有关计算 10．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 题型六、与余角、补角有关的计算 13．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知一个角的补角为，则这个角的余角的度数为 ． 15．（20-21七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 一、单选题 1．如图，点A位于点O的（    ） A．北偏西65°方向上 B．南偏西65°方向上 C．北偏西25°方向上 D．南偏西25°方向上 2．用一副三角尺不能画出来的角的度数是（　　） A．75° B．95° C．105° D．150° 3．如果，则的补角等于（　　） A． B． C． D． 4．如果一个角的余角与它的补角互补，则这个角为（    ） A． B． C． D． 5．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 6．若和互余，与互补，，则与的度数分别为（    ）    A．、 B．、 C．、 D．、 7．将一副三角尺按不同方式摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，O是直线AB上一点，则图中互为补角的角共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．若与互为余角，与互为补角，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．若，则的余角= ． 12．已知 与是互为补角，若，则 ． 13．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为 ． 14．若现在是9点零5分，再过 分钟，时针和分针第一次重合． 三、解答题 15．一个角的补角比这个角的2倍还多，求这个角余角的度数． 16．一个角的补角与它余角的和是220度，求这个角的补角． 17．计算： (1) (2) 18．完成下列计算： (1)一出租车司机一天下午以希望小学为出发地在东西方向营运，向东走为山，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：．若每千米收费元；求司机这个下午的营业额． (2)若一个角的补角比它的余角的倍还多，求这个角的度数？ 19．用尺规作图： 如图，过点A作出直线AM，使AM//BC． 要求：保留作图痕迹，标注字母M，不写作图步骤． 20．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为____________度； (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？（列一元一次方程解题） 21．大同古都历史悠久，文化底蕴深厚，旅游市场繁荣有序． (1)（如图1）算盘上的数表示的是截止2024年5月5日14时，我市“五一”期间纳入重点监测的6个景区累计接待游客人次．这个数写作（    ），省略“万”后面的尾数约是（    ）万，请你在下面的数轴上用“▲”表示出原数的大概位置． (2)小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向（    ）方向行驶大约（    ）千米． (3)小杰在东南邑一家文创店被云冈砂石冰箱贴（如图3）深深吸引，想购买一些送给同学．单买一个30元，每满80元减10元，小杰买10个，实际享受的是（    ）折优惠．   22．钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 23．综合与探究 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含30°的三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，三角尺COD中，∠COD=90°，∠C=60°，∠D=30°．过点O作射线OE． (1)∠AOC的补角是___，∠COE的余角是___；（直接写回答案） (2)如图2，“启航”小组根据学习几何积累的活动经验：特殊的位置可以得到特殊的结论，在图1的基础上继续展开探究，他们提出的问题是：调整三角尺的位置，当OD平分∠BOE时，OC平分∠AOE．请你证明启航小组提出的问题； (3)如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角尺的位置，当OE平分∠BOC时，∠AOC与∠DOE有怎样的数量关系？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 角、角的比较与补（余）角（7个知识点+6种题型+过关检测） 知识点1．角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2．钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3．方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 知识点4．度分秒的换算 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 知识点5．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 知识点6．角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 知识点7．余角和补角 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． （2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等． （4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联． 注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系． 题型一、角的概念理解 1．（20-21七年级上·安徽宣城·期末）下列说法正确的是（    ） A．画一条长2cm的直线 B．若OA＝OB，则O是线段AB的中点 C．角的大小与边的长短无关 D．延长射线OA 【答案】C 【知识点】角的概念理解、画出直线、射线、线段 【分析】根据线段的长度、两点间的距离、角的概念对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、直线是无限长的，直线是不可测量长度的，所以画一条2cm长的直线是错误的，故本选项不符合题意； B、若OA＝OB，则O不一定是线段AB的中点，故本选项不符合题意； C、角的大小与边的长短无关，故本选项符合题意； D、延长射线OA说法错误，射线可以向一个方向无限延伸，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查线段的长度、两点间的距离、角的性质与特点，解题的关键是熟知各自的性质特点进行分析判断． 2．（21-22七年级上·阶段练习）如下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有 个角；画条射线所得的角的个数是 ． 【答案】 10 【知识点】角的概念理解 【分析】由题意根据图形数出即可得出画3条射线，图中角的个数，进而依据结果得出规律即可. 【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3= ； 画2条射线，图中共有6个角，6= ； 画3条射线，图中共有10个角，10= ； …， ∴画n条射线，图中共有个角. 故答案为：10，． 【点睛】本题考查对角的概念和规律探索，解题的关键是能够根据求出的结果探索得出规律． 题型二、方向角的表示 3．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）由甲看乙的方向是北偏东，则由乙看甲的方向是（    ） A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】本题主要考查了方向角的定义，在叙述方向角时一定要注意以哪个图形为参照物．甲看乙的方向是北偏东，是以甲为标准，反之乙看甲的方向是甲相对于乙的方向与位置．方向完全相反，角度不变． 【详解】解：甲看乙的方向是北偏东，则乙看甲的方向是南偏西， 故选：A． 4．（20-21七年级上·安徽合肥·期末）下图是按照上北下南，左西右东的规定，画出的十字线，若点表示小明家，请在图中画出表示下列方向的射线并填空 （1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； （4）若以学校为观测点，小明家在学校的 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）北偏西 【知识点】方向角的表示 【分析】（1）（2）（3）根据方向角的定义画出射线即可； （4）根据学校在小明家南偏东，即可得以学校为观测点，小明家在学校的北偏西． 【详解】解：（1）商场在小明家北偏西； （2）公园在小明家东北方向； （3）学校在小明家南偏东； 如图： （4）∵学校在小明家南偏东， ∴以学校为观测点，画出十字线，小明家在学校的北偏西． 故答案为：北偏西． 【点睛】本题考查方向角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 题型三、角度的四则运算 5．（七年级上·安徽淮南·期末）如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能画出的角度是（　　） A．44° B．114° C．18° D．96° 【答案】A 【知识点】角度的四则运算 【分析】根据角度的和差计算即可判断． 【详解】解：A、44°的角不能由30°、36°、60°、72°角的和或差关系得到，故不能画出44°角； B、114°=72°+72°-30°，故可以画出114°角； C、18°=72°+36°-30°-60°，故可以画出18°角； D、96°=36°+60°，故可以画出96°角； 故选：A． 【点睛】此题考查了角度的和差计算，正确进行角度的和差计算是解题的关键． 6．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是根据度分秒的换算来计算．根据1度分，把当成来进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型四、三角板中角度计算问题 7．（21-22七年级上·安徽安庆·期末）用一副三角尺能画大于而小于的角共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，熟练掌握角度的和差计算是解题的关键．一副三角板有、、、，然后根据题意利用角度的和差关系可得作出的角度． 【详解】解：一副三角板有：、、、， 能画大于而小于的角有：，，，，共四个 故选：B 8．（21-22七年级上·安徽合肥·期末）如图，将两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起． （1）若，则∠BAD＝ °． （2）请写出∠BAD与∠EAC之间的数量关系： ． 【答案】 100° 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】（1）利用角的和差求得∠CAB的度数，则∠BAD＝∠DAC+∠CAB； （2）利用（1）中的方法计算即可． 【详解】解：（1）由题意得：∠DAC＝EAB＝60°， ∵∠EAC＝20°， ∴∠CAB＝∠EAB﹣∠EAC＝60°﹣20°＝40°． ∴∠BAD＝∠DAC+∠CAB＝60°+40°＝100°． 故答案为：100°； （2）∠BAD与∠EAC之间的数量关系：∠BAD+∠EAC＝120°．理由： 由题意得：∠DAC＝EAB＝60°， ∵∠CAB＝∠EAB﹣∠EAC＝60°﹣∠EAC， ∴∠BAD＝∠DAC+∠CAB＝60°+60°﹣∠EAC＝120°﹣∠EAC． ∴∠BAD+∠EAC＝120°． 故答案为：∠BAD+∠EAC＝120°． 【点睛】本题主要考查了角的计算，利用图形正确表示出角的和差关系是解题的关键． 9．（20-21七年级上·安徽安庆·期末）如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，则 ；若，则 ． (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； (3)如图2，若将两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查三角板中的角度计算，结合图形进行角度计算是关键． （1）根据图形进行角度计算即可； （2）根据图形得到，进而进行角度计算即可； （3）根据图形得到，进而进行角度计算即可． 【详解】（1）解：若 ∵， ∴ ∵ ∴ 若 ∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：，； （2）解：， 理由：∵， ∴， ∵ ∴； （3）解：， 理由：∵，， ∴ ∵ ∴． 题型五、角平分线的有关计算 10．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知点A、O、B在同一条直线上，射线和射线分别平分和，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据题意得出，是解题的关键． 根据角平分线的概念得出，，从而得出． 【详解】解：∵，分别平分和， ∴，， ∴ ． 故选：C． 11．（23-24七年级上·安徽宣城·期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点，位置，若，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了利用平角定义，角度的折叠问题，根据平角定义计算出，再根据折叠的性质得，即可求出结果．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 长方形纸片沿折叠后，点分别落在、的位置， ， ， 故答案为：． 12．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)能，或； (3)能或． 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 题型六、与余角、补角有关的计算 13．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如果和互补，且，那么下列表示的余角的式子中：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：与互补，得出，；的余角是．根据余角和补角的定义即可得到结论． 【详解】解：， 表示的余角，故①正确； 与互补， ， ，， ， ， 表示的余角，故②正确； ， ，故③错误； ，故④正确； 故选：C． 14．（23-24七年级上·安徽六安·期末）已知一个角的补角为，则这个角的余角的度数为 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握互余两角之和为，互补两角之和为． 根据互余两角之和为，互补两角之和为，求解即可． 【详解】解：该角的补角为， 该角的度数， 该角余角的度数． 故答案为：． 15．（20-21七年级上·安徽马鞍山·期末）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 【答案】(1)直线平分，理由见详解； (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）根据已知条件，，即可得到、，然后作差即可． 【详解】（1）直线平分，理由如下： 设的反向延长线为，    ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， （2）∵，， ∴、， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 一、单选题 1．如图，点A位于点O的（    ） A．北偏西65°方向上 B．南偏西65°方向上 C．北偏西25°方向上 D．南偏西25°方向上 【答案】A 【知识点】方向角的表示 【分析】先求出65°的余角，再根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：由图上的角度可得：90°−65°＝25°， ∴点A位于点O的北偏西65°方向上或者点A位于点O的西偏北25°方向上，即A符合方向角的正确表述，B、C、D均是错误表述， 故选：A． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 2．用一副三角尺不能画出来的角的度数是（　　） A．75° B．95° C．105° D．150° 【答案】B 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】由于一副三角尺中的角度有30°、60°、90°、45°、45°、90°，则可利用这些角得到小于180°的所有15°的倍数的角． 【详解】解：一副三角尺中的角度有30°、60°、90°、45°、45°、90°， 30°+45°＝75°，45°+60°＝105°，60°+90°＝150°． 故选：B． 【点睛】本题考查了角的计算，解题的关键是熟知三角板的特点． 3．如果，则的补角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的补角 【分析】根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角， 故选：C． 【点睛】本题主要考查补角的概念，熟练掌握补角的概念是解题的关键． 4．如果一个角的余角与它的补角互补，则这个角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】先设这个角的度数为x度，则余角为：，补角为：，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：先设这个角的度数为x度， 根据题意得，， 解得， 答：这个角的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查了余角与补角，一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解． 5．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表示方法，理解并掌握角的表示方法是解题关键．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A.以为顶点的角有一个，可用，，三种方法表示同一个角，符合题意； B.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意； C. 与，不是同一个顶点，，，三种方法表示的不是同一个角，不符合题意； D.不能用，，三种方法表示同一个角，不符合题意． 故选：A． 6．若和互余，与互补，，则与的度数分别为（    ）    A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的应用．根据互为补角的两角和为，互为余角的两角和为来解答． 【详解】解：与互补， ， ； 又和互余， ， 故选：B． 7．将一副三角尺按不同方式摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的大小的比较、余角和补角的定义，熟练掌握角的大小比较及余角和补角的定义并灵活运用是解决本题的关键． 【详解】解：A.，不符合题意； B. ，不符合题意； C.，符合题意； D.，不符合题意； 故选C． 8．如图，O是直线AB上一点，则图中互为补角的角共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【知识点】求一个角的补角 【分析】根据补角定义解答． 【详解】解：互为补角的角有：∠AOC与∠BOC，∠AOD与∠BOD，共2对， 故选：B． 【点睛】此题考查了补角的定义：和为180度的两个角互为补角，熟记定义是解题的关键． 9．将一副三角板如图摆放，，，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】根据三角尺中角的大小关系计算即可，注意的换算． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角板中角度的计算，掌握角度制的换算是解题关键． 10．若与互为余角，与互为补角，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，即可求出有关的结论． 【详解】解：∵∠1＋∠2＝90°（1），∠1＋∠3＝180°（2）， ∴（2）−（1）得，∠3−∠2＝90°， ∴①正确． （1）＋（2）得，∠3＋∠2＝270°−2∠1， ∴②正确． （2）−（1）×2得，∠3−∠1＝2∠2， ∴③正确． 由∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝90°， 得，∠3＝180°−∠1＝2∠1＋2∠2−∠1＝∠1＋2∠2， ∴∠3＞∠1＋∠2， ∴④错误． 故选：B． 【点睛】本题考查互余互补的有关定义，掌握在不同题型中的变式应用，每一问中的运算所用的运算方法是解题关键． 二、填空题 11．若，则的余角= ． 【答案】 【知识点】求一个角的余角 【分析】根据余角的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 12．已知 与是互为补角，若，则 ． 【答案】/138度 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了补角的定义，根据互补的两个角和为列式计算即可． 【详解】解：∵ 与是互为补角，， ∴． 故答案为：． 13．一个角的余角比它的补角的还少，则这个角的度数为 ． 【答案】/36度 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角、补角的定义以及一元一次方程的应用，设这个角的度数为，根据一个角的余角比它的补角的还少，列式进行计算作答即可． 【详解】解：设这个角的度数为， ∴依题意，得， 解得， 故答案为：． 14．若现在是9点零5分，再过 分钟，时针和分针第一次重合． 【答案】/ 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】考查一元一次方程的应用，得到时针所走路程和分针所走路程的等量关系是解决本题的关键．9点5分时，时针和分针的角度之差为度，时针每分走0.5度，分针每分走6度．等量关系为：时针走的时间分针走的时间，把相关数值代入求解即可． 【详解】解：假设过x分时，分针与时针重合，则 ， 解得． 故答案为：． 三、解答题 15．一个角的补角比这个角的2倍还多，求这个角余角的度数． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】设这个角为，写出它的补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数，即可得解． 【详解】解：设这个角为，则其余角为，补角为，依题意有 ， 解得． ， 答：这个角的余角的度数是． 【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键． 16．一个角的补角与它余角的和是220度，求这个角的补角． 【答案】 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、补角与余角，设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为，根据等量关系列出方程即可求解，熟练掌握基础知识，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，这个角的余角为， 依题意得：， 解得：， 则这个角的补角为：． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】角度的四则运算 【分析】（1）首先计算乘法，然后计算加减即可； （2）首先把化为，然后再利用度减度、分减分、秒减秒进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了角度的混合运算，掌握角度的计算是解题的关键． 18．完成下列计算： (1)一出租车司机一天下午以希望小学为出发地在东西方向营运，向东走为山，向西走为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：．若每千米收费元；求司机这个下午的营业额． (2)若一个角的补角比它的余角的倍还多，求这个角的度数？ 【答案】(1)元 (2)度 【知识点】有理数加法在生活中的应用、与余角、补角有关的计算、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查正负数的运用，有理数的混合运算，余角、补角的计算，掌握有理数的混合运算，余角补角的概念是解题的关键． （1）根据题意，计算出行驶里程即可求解； （2）根据余角、补角的概念及计算方法即可求解． 【详解】（1）解：， 司机下午营业额为：（元）， 答：司机一个下午的营业额是元． （2）解：设这个角的度数是，则它的补角为：，余角为， 由题意，得：． 解得：． 答：这个角的度数为． 19．用尺规作图： 如图，过点A作出直线AM，使AM//BC． 要求：保留作图痕迹，标注字母M，不写作图步骤． 【答案】见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】作∠TAM=∠B即可． 【详解】如图， 则直线AM即为所求 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 20．刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为____________度； (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？（列一元一次方程解题） 【答案】(1)75 (2)分钟 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、钟面角 【分析】本题考查钟面角以及一元一次方程的应用． （1）求出分针每分钟走过的度数为，时针每分钟走过的度数为，进而求出时针分钟走过的度数，进而求出分针和时针的夹角即可； （2）设经过分钟，时针和分针第一次相遇，根据时针走过的度数加上（1）中的结果，等于分钟走过的度数，列出方程进行求解即可． 熟练掌握钟面角，读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵分针每分钟走过的度数为，时针每分钟走过的度数为， ∴时针从，30分钟走过的角度为， ∴时分针和时针的夹角为， 故答案为：； （2）设经过分钟，时针和分针第一次相遇，由题意，得：， 解得： ． 答：经过分钟，时针和分针第一次相遇． 21．大同古都历史悠久，文化底蕴深厚，旅游市场繁荣有序． (1)（如图1）算盘上的数表示的是截止2024年5月5日14时，我市“五一”期间纳入重点监测的6个景区累计接待游客人次．这个数写作（    ），省略“万”后面的尾数约是（    ）万，请你在下面的数轴上用“▲”表示出原数的大概位置． (2)小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向（    ）方向行驶大约（    ）千米． (3)小杰在东南邑一家文创店被云冈砂石冰箱贴（如图3）深深吸引，想购买一些送给同学．单买一个30元，每满80元减10元，小杰买10个，实际享受的是（    ）折优惠．   【答案】(1)758821，76；画图见解析 (2)西北， (3)九 【知识点】方向角的表示、 折扣问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，近似数，方位角的相关知识，解决本题的关键是求出小杰实际付了多少元． （1）根据算珠，可以盘算这个数一共有6位，个位上有1个算珠，十位上有2个算珠，百位、千位上有8个算珠，万位上是一个上珠，表示5，十万位上1个上珠，2个下珠，表示7，所以这个数表示为这个数写作758821，省略“万”后面的尾数约是76万，将这个数在数轴上表示出来即可． （2）根据“上北、下南、左西、右东”的方位，得出小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向西北方向行驶，一格代表4000米，所以3个代表（米），米千米，据此解答． （3）一个冰箱贴30元，10个需要300元，每满80元减10元，（元），300元满了3个80，所以可以优惠30元，现价是270元，所以折扣是九折．据此解答． 【详解】（1）解：这个数写作758821，省略“万”后面的尾数约是76万， 在数轴上表示76万如图所示： ； （2）解：（米），米千米， 小杰一家来大同旅游，他们从大同南站出发（如图2），准备先打卡大同古城，应该向西北方向行驶大约12千米． （3）解：（元）， （元）， （元）， 九折． 22．钟面上的数学 基本概念：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角，通常 [简单认识]时针和分针在绕点O一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为．由此可知： （1）时针每分钟转动 °，分针每分钟转动 °： [初步研究] （2）已知某一时刻的钟面角的度数为，在空格中写出一个与之对应的时刻： ①当时， ； ②当时， ； （3）如图2，钟面显示的时间是8点04分，此时钟面角 ． [深入思考] （4）在某一天的下午2点到3点之间（不包括2点整和3点整）． ①时针恰好与分针重叠，则这一时刻是 ；时针恰好与分针垂直，求此时对应的时刻是 ； ②记钟面上刻度为3的点为C，当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，请直接写出此时对应的时刻． 【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2点分；2点分；②2点6分和2点分，2点分 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，钟面角． （1）根据1小时分解答即可； （2）钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，找到时针和分针相隔3个数字的时刻和相隔6个数字的时刻即可； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4，根据时针和分针的速度即可求解； （4）①设此时对应的时刻是2点x分，根据时针和分针转动的角度相同即可求解；②令时针所在直线为，分针所在直线为，分两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵时针每小时转动的角度是，分针每小时转动一周，角度为． ∴时针每分钟转动，分针每分钟转动， 故答案为：；6； （2）①某个时刻的钟面角α为，可为或，②某个时刻的钟面角α为，可为， 故答案为：①或；②； （3）钟表12个数字，每相邻两个数字之间有5格，钟表上8点04分，时针转了格，分针指向4， 则时针转动的角度是，分针转动的角度是， 此时钟面角， ∵， ∴， 故答案为：； （4）①时针恰好与分针重叠：设此时对应的时刻是2点x分，根据题意得， ， 解得，， ∴这一时刻是2点分， 故答案为：2点分； 时针恰好与分针垂直：设此时对应的时刻是2点y分，则有： 或， 解得：或， ∵时为3点整，不合题意，舍去， ∴此时对应的时刻是2点分； ②令时针所在直线为，分针所在直线为，设此时对应的时刻是2点m分，为和角平分线时： ， 解得：； 为和角平分线时： ， 解得：； 为时针，为分针，平分时： ，， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 答：当钟面角的两条边所在射线与射线中恰有一条是另两条射线所成角的角平分线时，此时对应的时刻在2点6分和2点分，2点分． 23．综合与探究 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含30°的三角尺COD的直角顶点O放在直线AB上，三角尺COD中，∠COD=90°，∠C=60°，∠D=30°．过点O作射线OE． (1)∠AOC的补角是___，∠COE的余角是___；（直接写回答案） (2)如图2，“启航”小组根据学习几何积累的活动经验：特殊的位置可以得到特殊的结论，在图1的基础上继续展开探究，他们提出的问题是：调整三角尺的位置，当OD平分∠BOE时，OC平分∠AOE．请你证明启航小组提出的问题； (3)如图3，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图2的基础上，继续调整三角尺的位置，当OE平分∠BOC时，∠AOC与∠DOE有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)∠BOC，∠EOD (2)见解析 (3)∠AOC=2∠DOE，理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据互为余角、互为补角的意义，可以得出结论； （2）根据角平分线性质得出结论； （3）根据角平分线性质得出结论． 【详解】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠AOC的补角是∠BOC； ∵∠COD=90°， ∴∠COE+∠EOD=90°， ∴∠COE的余角是∠EOD； 故答案为：∠BOC，∠EOD； （2）证明：∵∠COD=90°， ∴∠COE+∠EOD=90°， ∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°， ∵OD平分∠BOE， ∴∠EOD=∠BOD， ∴∠COE=∠AOC， ∴OC平分∠AOE； （3）解：∠AOC=2∠DOE．理由如下： ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC=2∠COE， 又∵∠AOC=180°-∠BOC， ∴∠AOC=180°-2∠COE， ∵∠COD=90°， ∴∠DOE+∠COE=90°， ∴∠DOE=90°-∠COE， ∴2∠DOE=180°-2∠COE， ∴∠AOC=2∠DOE． 【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，角平分线的意义，利用角的和或差得出等量关系，再利用等量代换最后得出结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$