周测卷(十九) 空间向量与立体几何-【鱼跃龙门卷】2025-2026学年高三数学一轮复习周测卷

·数学· 参考答案及解析 则NP,-AM=5, 3 2 5 由于△ABM为等边三角形，N为AM的中点， 3 5, 故0N-×9BM= 3+4 2 2 故二面角P,BMD的余弦值为-写 在Rt△F1ON中，cos∠F1ON= ON √ON+F1N 数学（十九） 一、选择题 1.A【解析】依题意，AD=(0,1,2),而a=(1,1,1)为 Di)=√-c03(EB,DB=,所以点E到直线 w/52 平面a的一个法向量，所以点D(1,1,2)到平面a的 距离d=a·AD-3-5. BD的距离为1·血成，D=√+1+× a√3 2.A【解析】由n为平面a的一个法向量，a为直线l 晨要震普 的方向向量，若l∥a,则a⊥n,即充分性成立；由n为 6.C【解析】如图，取BC的中点 平面a的一个法向量，a为直线l的方向向量，若a⊥ D,连接PD,AD,△PBC为等边 n,则l∥。或lCa,即必要性不成立.故“l∥a”是“a⊥ 三角形，所以PD⊥BC,由题意知 n”的充分不必要条件. AP⊥平面PBC,PB,PCC平面 3.B【解析】空间向量a在向量e方向上的投影向量 PBC,故AP⊥PB,AP⊥PC, 为。e,因为e为单位向量，e=1,ae)- 2π 3 又AP=√6，PB=PC=BC=2,x 则AB=AC=√4十6=√10，所以AD⊥BC,而AD∩ 所以a·e=3+4+9Xcos =-2，所以4， 3 PD=D,AD,PDC平面APD,所以BC⊥平面 e=-2e. APD,又BCC平面ABC,所以平面ABC⊥平面 4.D【解析】因为AM-=MC,AN=2ND,则 APD,平面ABC∩平面APD=AD,所以点P在平 面ABC内的射影在直线AD上，连接PG,则PG⊥ 质+a+A时=-号花+Ad+号A市 AD,在R△APD中，PD=2sim=5,AP=6, -号（店+AD)+AA+号(A市-AA=-。 3 a 则AD=W3+6=3,PG=5X5-2,故AG= 3 +e+号-c=-a+日6+c,所以= 1 √JAP2-PG=√6-2=2，所以DG=1,则AG= 1 1 1 2GD,所以点G是△ABC的重心.以P为坐标原点， 3y=之=3，故x十y十之=3 过点P作PC的垂线为x轴，以PC,PA所在直线 5.B【解析】根据题意，以S为 分别为y轴，之轴建立空间直角坐标系，则P(0,0, 坐标原点，建立空间直角坐标 0),B(W3,1,0),C(0,2,0),A(0,0,√6)，所以PA= 系，则S(0,0,0),B(2,0,0), (0,0,√6)，CA=(0,-2,√6)，CB=(W3,-1,0),则 D(0,2,0),A(0,0,1),C(0,3, B 0),又点E为△ABC的重心， 交=号×名+)=（停-1，），所以 所以E(号1,3)，则-（年，-1，-3），D成 cos(PA,CG)=- PA.CG 23 (2,-2,0),则cos〈EB,DB〉= EB·DB i·CV6X2=S,所以 EBIDBI 异面直线PA与CG所成角的余弦值为。 14 1 二、选择题 ,则sin(EB, √+1+日×2反X2 7.BCD【解析】当非零空间向量a=(1,2,3),b=(0, -3,2),c=(3,0,0)时，满足a⊥b,b⊥c,但a与c不 ·51· 高三一轮复习周测卷 平行，A错误；三个非零向量a,b,c不能构成空间的 三、填空题 一个基底，则它们必共面，B正确；能构成空间的一个 9. 基底的向量必须是不共面的三个向量，由于非零向 一3 【解析】因为Pi-号P店-xP心+后BD 量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基 防-成+青(P防-i)=}P店-x成+ 底，即向量a,b与任何一个向量均共面，则a,b必共 线，C正确；若c,a十b,a-b共面，则c=入(a十b)十 合P币，由题意得}-x十日1，所以x= 3 u(a-b)=(入十u)a+(入一u)b,可知a,b,c共面，与 {a,b,c》为空间向量的一个基底相矛盾，故{c,a十b, 10. 45【解析】如图，以D为 a一b}可以构成空间向量的一个基底，D正确！ 坐标原点，DA,DC,D币的方 8.ABD【解析】选项A:如图，连 向分别为x,y,之轴的正方向 接A1C交AC1于F,连接DF,A 建立空间直角坐标系，则 由题意可知F为AC的中点，又 D为BC的中点，故A1B∥DF, D0,00P(0,0,45) 又A1B中平面ADC1,DFC平面 ADC1,故A1B平面ADC1,故A E10,2）(层8)正-(10,25)， 正确；选项B:由题意可知△ABC为等边三角形，D为 BC的中点，故AD⊥BC,又棱柱ABCA1B,C为直三 市-（号，号，85），设平面DEF的法向量为n 棱柱，故AD⊥BB1,又BC∩BB1=B,BCC平面 BCC1B1,BB1C平面BCC1B1,故AD⊥平面BCC1B1, n·Di-x+2 52=0, 又C1DC平面BCC1B1,故AD⊥C1D,故B正确；选项 (x,y,之)，则 C:如图，建立空间直角坐标系， 152=0, 则D(0,0,0),C(0,-1,0), x=5,得x=-2,y=-1,所以n=(-2,-1, E(01号》，图为AD=2×号 5,设M(m,0,则Pm-(m,-45),又 √3，故A(W3,0,0),所以AC= (-5,-1,0),D龙=（0,1， PML平面DEF,则PM/a,所以%2-号 45 号)，设异面直线AC与DE所 5 5 ,解得m=84 5,n ,所以DM=√m+7= 成角为a,则cosa=|cos〈AC,D尼〉| 4√5 1-1 故C错误， 6 51 -®+(-1x1+( ×【解析】以A为原点，以A店的方向为x轴，建立 选项D:由题意，得平面ABC的一个法向量为i 空间直角坐标系，可得A(0,0,0), (0,0,1),C1(0,-1,N2),DA=(√3,0,0)，DC1=(0, Ba0.0,因为A=号A,可得 -1,√2)，设平面ADC1的法向量为j=(x,y,z),则 D时-0：即5x=0, M(3,0,o）,设Q(y),因为 设y=2,则 B j.DC:=0," -1Xy+√2x=0, QM=7QB,即1QM1= 91QB12, x=0,x=1,故j=(0,W2,1),设平面ADC1与平面 ABC的夹角为B,则cosB=|cos〈i,j)|= 可得(x-)+y+-号[x-)+y+门，整 1X√(W2)+12 3,故sing=V1-cos月= 理得+y十-g,所以点Q在空间中的氧迹是 一停-号放-，放D正确 以A为球心，Y7a为半径的球，又因为Q在侧面PBC ·52· ·数学· 参考答案及解析 内，过点A作AO⊥平面PBC于点O,则O为△PBC 则VD-BCE= 的中心，点Q在侧面PBC内的轨迹为以O为圆心，以 3Sac·h= =号×号x1x2Eh= 停。)广-(。)-告为华轻的 3h, 圆的一部分（如图所示的圆的虚线 3S△cD·GD 1 2X1X2X2=2 VE-BCD- 3 邻分.图为00=日×得。-。 64, 又因为VD-BcE=VE-BCD,所以h=√2， 所以直线AD到平面EBC的距离为√2. OG 6 ③ ,所以∠S0G 12.(1)证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面 所以cos∠SOG= oS a 6 ABCD,AD,ACC平面ABCD, 3 则PA⊥AD,PA⊥AC, 则∠S0T=号，所以点Q的轨迹长度为(2x一3×)× 而AC⊥AD,则以点A为原点 建立如图所示的空间直角坐 骨受 标系， 则D(2,0,0),C(0,2,0),P(0, 四、解答题 11.解：(1)因为AD⊥CD,DG⊥ 0,2),E(1,1,0), 平面ABCD, 又AB⊥BC,∠ACB=60°， 故以D为坐标原点，DA 则有(-号o小， 所在直线为x轴，DC所在 直线为y轴，DG所在直线 -2,00,A店-(-o）, 为之轴建立空间直角坐标 系，如图， 由题可知D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2, 因为=2M,则A=号=(-停1，). 0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2), AE=(1,1,0), 易知平面EFG的一个法向量为DG=(0,0,2), 因此症-左-成-(1+怎，0，o)-}(1+ 设平面EBC的法向量为n=(x,y,z), CB=(1,0,0),BE=(1,-2,2), 就， n·CB=0,m|x=0, 故 即 即ME∥AD, n·B2=0,x-2y+2x=0, 而M,E￠AD, 不妨令y=1,则n=(0,1,1), 于是得ME∥AD,而ADC平面PAD,ME寸平 cos (n,DG)= DG·n2=2 面PAD, DG·n222’ 所以ME∥平面PAD, 所以平面EBC与平面EFG的夹角为45°. (2)因为AD∥BC,BCC平面BCE,AD中平 (2)解：由(1知，C币-(0，-2,2)，C店-(-， 面BCE, 则AD∥平面BCE, . 所以直线AD到平面EBC的距离与点D到平面 设平面PBC的法向量为n=(x,y,之)， EBC的距离相等， n·Cp=-2y+2x=0, 如图，连接CG,BD, 由(1)可知AD⊥平面CDGF,E n·ci--3_1 2x-2y=0, CGC平面CDGF, 令x=-1,得n=(-1,W3,w3), 所以AD⊥CG, 显然平面PAD的法向量为AC=(0,2,0), 又因为AD∥BC, 设平面PAD与平面PBC所成二面角为0， 所以BC⊥CG, 设点D到平面EBC的距离为h, 则1cos9l=cosa,AC1=n·AC_23_5 nlAc√7X2√7 ·53· 高三一轮复习周测卷 所以平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值 2 14 sin 0-1-cos 0-227 √(2t-1)+1+(2-2t)F×2 7 7 整理得16t2-24t+5=0, (3)解：由(1)知，PD=(2,0,一2)， 令PF=tPD=(2t,0,-2t),0<t<1,则F(2t,0, 而0C<1,解得1=} 2-2t), EF=(2t-1,-1,2-2t),而AC=(0,2,0), 则r(分0，》A=分》+(- 则|cos〈EF,AC〉1= EF·AC EFIAC 数学（二十】 一、选择题 1.A【解析】因为直线l:ax十y十a=0,直线m:x十 0)到直线xy+m=0的距离为，1-()- 2 ay十a=0,易知a=0时，两直线垂直，所以l∥m的 即d=m| √3 充要条件是号-日日，即a=-1 √2 ,解得m=土？，所以实数m的值 2.C【解析】设经过A,B,C三个点的圆的方程为 为46 2 x2+y2+Dx十Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由题 6.A【解析】圆C的圆心坐标 1+1+D+E+F=0, D=0, 为C(-1,0),半径为2，设 意可得1+1-D+E+F=0,解得E=一2，且满足 A(m,n),P(x,y),由PA|= 0+4+2E+F=0, F=0, 2PO得(x-m)2+(y-n)2= D2十E2-4F=4>0,所以经过A,B,C三个点的圆 4(x2+y2),化简得3x2十 的方程为x2+y2-2y=0,即为x2+(y-1)2=1. 3y2+2mx+2ny-m2-n2=0,又因为(x+1)2+ 3.B【解标】由题意可知，tan0=-子，9c(分，x),则 2 y2=4,即x2+y2+2x-3=0,所以(2m-6)x+2y+ 9一m2-n2=0,因为对于任意P(x,y)∈C恒成立， sin0 2 sin 0=2113 2m-6=0, cos g=- 3’ 13, 解 得 或 所以2n=0, 解得m=3,n=0,所以A(3, sin20++cos20=1, c0s0=- 3√13 9-m2-n2=0, 13 O),所以当P点的纵坐标的绝对值最大时△OAP的 sin 0= 2√13 13 面积最大，此时CP⊥x轴，所以P(一1,2)或P(-1, COs 0=3V13 (舍)，所以cos(0+x)·sin(分 -2,所以△OAP的面积为2×0A1XPC= 13 0)=-as9=0 2X3×2=3. 二、选择题 4.C【解析】设Q(x,y),P(xo,yo),由P反=(x 7.ACD【解析】选项A:x2+y2-6x-8y=0变形为 x0y-y)=(3,-4),得x。=x-3,y0=y+4,因为 (x-3)2+(y-4)2=25,圆心为M(3,4),r=5,A正 点P在圆O上，即x8十y=9,则(x一3)2+(y+4)2= 确；选项B:22+22-6×2-8×2<0,故P点在圆内， 9,所以点Q的轨迹是以(3，一4)为圆心，3为半径的 故过P点的直线不可能与圆相切，B错误；选项C:圆 圆，因为A(1,1),(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以点 M上的点到点P距离的最大值为圆心M(3,4)到 A在圆外，所以「AQ【的最大值为 P(2,2)的距离加上半径，即|PM|+r= √(1-3)2+(1+4)7+3=√29+3. √(3-2)2+(4-2)2十5=5十√5，C正确；选项D:两 5.D【解析】由题意可知，圆O:x2十y2=1的圆心坐 圆的位置关系为内切，且点P在圆M的内部，则圆 标为O(0,0),半径为r=1,因为直线x一y+m=0 P的半径为r-|PM|=5-√5，D正确. 与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点，且△AOB为 8.ABD【解析】设点P(x,y),则AP=(x十10，y), 等边三角形，所以△AOB的边长为1，则圆心O(0, B2=(x-2,y),由AP·BP=-20得(x十10)(x ·54.条版老n春 6.在三棱锥P-ABC中，△PBC为等边三角形，AP⊥平面PBC,AP=√6，BC=2,点G是P在 2025一2026学年度高三一轮复习周测卷（十九）》 平面ABC内的射影，则异面直线PA与CG所成角的余弦值为 数学·空间向量与立体几何 (考试时间40分钟，.总分100分) A号 R号 c D.6 3 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 题目要求的。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1.已知a=(1,1,1)为平面a的一个法向量，A(1,0,0)为a内的一点，则点D(1,1,2)到平面a 7.给出下列命题，其中正确的有 的距离为 A.若非零空间向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则有a∥c B.若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c必定共面 A.3 B.2 c D C.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a,b共线 2.已知n为平面a的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，则“1∥a”是“a⊥n”的 D.已知{a,b,e}是空间向量的一个基底，则(c,a十b,a一b}也是空间向量的一个基底 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 8.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A,B,C,中，AC-2,BB,=2,D,E分别为棱 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 BC,BB1的中点，则 三已知a=(32,3),空间向量e为单位向量，(a,e)-,则空间向量。在向量e方向上的投 A.A,B∥平面ADC B.AD⊥C,D 影向量为 C.异面直线AC与DE所成角的余弦值为@ A.2e B.-2e C. 20 D.24 D.平面ADC:与平面ABC的夹角的正切值为√2 4.如图所示，在平行六面体ABCD-A,B,CD,中，AM=MC,AN- 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。带*题日为能力提升题，分值不计入总分。 2ND,设AB=a,AD=b,AAi=c,MN=xa十yb+zc,则x十y十2 9.已知P为空间中任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA= A P成-xP元+BD,则实数x的值为， 1O.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形， c n AB=2AD=4,PD=4/5 5.如图，在三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直，SC=3,SB=2,SA 5 E是PA的中点，FB=2P下，若点M在矩形 1,D为线段SC上靠近C的三等分点，点E为△ABC的重心，则点E到 ABCD内，且PM⊥平面DEF,则DM= 直线BD的距离为 已知棱长为a的正四面体P-ABC,且Ai=gA成，Q为侧面PBC内的一动点，若QM= 哈 6 c. √3 √6 D. 3 3QB,则点Q的轨迹长度为 数学·周测卷（十九】第1页（共4页） 数学·周测卷（十九】第2页（共4页） 头就龙小 班级 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分) 11.(20分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=60°，AP= 姓名 如图，AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG, AD=AC=2,E为CD的中点，M在AB上，且AM=2M. DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2. (1)求证：ME∥平面PAD: 得分 (1)求平面EBC与平面EFG的夹角： (2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值： (2)求直线AD到平面EBC的距离. (3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角的余弦值 为，求AP的长 选择题 答题栏 57 数学·周测卷（十九）第3页（共4页） 数学·周测卷（十九）第4页（共4页）