周测卷(十六) 数列的通项公式和求和-【鱼跃龙门卷】2025-2026学年高三数学一轮复习周测卷

16 条版老n春 5.欧拉函数g(n)(n∈N·)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数，例 2025一2026学年度高三一轮复习周测卷（十六） 如：g(1)=1,p(3)=2.数列{a.}满足a,=g(2"),其前n项和为S。,则S1。= 数学·数列的通项公式和求和 A.1024 B.2048 C.1023 D.2047 (考试时间40分钟，总分100分) 1 6,若等差数列a,满足a1u12则中+2十4十2十…十 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 41赠十2 题目要求的。 A.2025 B2025 2 C2025 4 D.2025 8 1.已知无穷等比数列{a.}的公比为g,其中|g<1,其前n项和为S。,下列条件中，能使得 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 38,<a∈N)度立的是 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 1 A.a1=1g=2 1 1 7.已知数列{an}满足a1=1,a+=(一1)+1(a,一n)十n,记(a,}的前n项和为S.,则 Ba1=29=3 A.ais+a5o=100 B.aso-a46=4 C.S48=600 D.S49=601 C.a1=-19=-2 &.已知数列(a)的前m项和为5，且满足a1+2a,+…+2a,=”(n∈N),则 2.若数列{a,}满足=p(p为常数，m∈N,m≥1D,则称{a,)为“等方比数列”，甲：数列{a,}是 a A.a1=1 Ba,=”+1 2 等方比数列；乙：数列{a.}是等比数列，则 C.{a.}为递减数列 D,S。=4-”+2 2-1 A.甲是乙的充分非必要条件 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 B.甲是乙的必要非充分条件 9.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徹的主体图案是由如图2所示的一连串直角 C.甲是乙的充要条件 三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A:=…=A,Aa=1,如果把图2中的直角三角形继 D.甲是乙的既非充分也非必要条件 续作下去，记OA,,OA2,…,OA。的长度构成的数列为{a。},则a。■若b。■ 3.已知数列满足a1十2a十3a,十…十a,=n,设6.=a,则数列b.b, 的前2025项和为 1 (n+1)a.十a. 一，则数列{b,}的前2025项和S:s= A.ox B4050 4051 C.4048 4049 D.2025 4051 4.某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术，以此达到10年内每年此农产品的销 售额（单位：万元）等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2024年)该公司该产品的销售额 ICME-7 为100万元，则按照计划该公司从2024年到2033年该产品的销售总额约为（参考数据： 图1 图2 1.31≈13.79) 10.设函数f(x)=ln(Wx+I十x),数列{a.}满足f(a,一n)+f(a.+1一(n一1)=0，则数列 A.3937万元 B.3837万元 C.3737万元 D.3637万元 {a.}的前100项之和为 数学·周测卷（十六】第1页（共4页） 数学·周测卷（十六）第2页（共4页） 头就龙小还 班级 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分) 11.(20分) 已知整数数列{a.}满足2an=a+1十a,1(n≥2)，数列{b.}是公比大于1的等比数列，且 姓名 已知数列{a.}满足a1=1,a,+1a。=a。一2a。+1. b1十b,十b-14,bbba=64.数列{c.}满足a,=cb.数列{a.},{c.}的前n项和分别为5.， 得分 (1)求{a.}的通项公式： T.,其中n2<2S.<(n十1)2 (2)记{a,}的前n项和为S,求证：S,<2. (1)求S.和b. (2)用[x]表示不超过x的最大整数，求数列{[T])的前2025项和M22, 选择题 答题栏 567 数学·周测卷（十六）第3页（共4页） 数学·周测卷（十六）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 (), am+5=amt4一am+3=（一an+1)一（-an）=an一an+1, am+6=am+5-au+4=(an一am+1)-（一am+1)=at, 所以工.=5（号）°+7（行）'+9（号）+…+ 所以数列{an}以6为周期的周期数列， 且S6=a1+a2十ag+a4十a,+a6=a1+a2+(a2- 2+3(号)， a1)-a1-a2+(a1-a2)=0, 由题意 则}T.=5…(3)广+7.（号）+…+(2m+1) S1492=248S6十a1十a2十ag十a4=a1十a2+(a2-a1)- (号）+2m+3)·()》”, a1=1985, S1985=330S6十a1十a2十ag十a4十a5=a1十a2十(a2- 两式相减可得，号工.=5+2[（兮）'+（兮）°+…十 a1)-a1-a2=1492, 2a2-a1=1985, (3)]-2m+3).(3)】 即 解得/1=一999， a2-a1=1492, a2=493, D 所以S2o25=337S6十a1+a2+ag=a1十a2+a3= -999+493+[493-(-999)]-986. 1-3 (2m+3)·(号) (3)不存在，理由如下： 由题意，Tm=a1a2a3…am, =6-(3)-2m+3)(3) Tm+6-Tmam+lam+2am+sam+4am+sam+6 Tm+12-Tm(am+lam+2am+3am+iam+sam+6), =6-(2m+6)(写)， 因为an≠0(n∈N*), 所以am+1am+2am+3am+4am+5am+6≠0， 所以工.=9-(a+》·(分。 所以Tm,Tm+6,Tm+12成等比数列，且公比 *解：(1)由an+1=an十an+2可得am+2=am+1一aa, q=am+lam+2am+3am+iam+sam+6' 故a3=a2-a1=-3-1=-4,a4=a3-a2=-4十 所以Tm+6=Tm9,Tm+12=Tm92, 3=-1,a5=a4-a3=-1十4=3，a6=a5-a4=3十 若存在m∈N*,使得Tm+6=Tm十Tm+12,则有Tmq 1=4, Tn+Tmq2, 数列{am}的前6项分别是1，-3，-4，-1,3,4， 而Tm≠0，则有g=1十q2,即g2-q十1=0， 前6项的和为1-3-4一1+3+4=0. (2)由an+1=an十an+2可得am+2=an+1一am, 面g-9+1=(g-2)产+>0， amt3=an+2一am+1=am+1一am一am+1=一am, 因此不存在m∈N,使得Tm+6=Tm十Tm+12: an+4-an+3-an+2=(-an)-(an+1-an)=-an+1, 数学（十六） 一、选择题 是等方比数列，即{a}成等比数列，则{am}不一定为 1.C【解析】因为g<1,所以S。=a11-g 1-q 2,由 等比数列，例如8,2，一2，一公，，有会 <。a》风为1g0 (士2)2=4，满足{an}是等方比数列，但{am}不是等 3a1(1-g")<2a1.若a1>0,则3(1-g)<2→g> 比数列，充分性不满足。 3.D【解析】由题知，数列满足a1十2a2十3a3十…十 号恒成立，所以AB不正确；若a1<0,则31-g)> nan=n2,设bn=nan,{bn}的前n项和为Tn,则T,= 2>g<号恒成立，所以D不正确，C正确。 n2.当n-1时，T1=b1-1,当n≥2时，bn=Tm Tm-1=n2-(n-1)2=2n-1,检验：当n=1时，b1= 2.B【解析】若{an}为等比数列，设其公比为q,则 1一 爱-(。)”-=p为常数所以成等比 1=T1,符合，所以6，=2n-1.令c.=6,6 数列，即{am}是等方比数列，故必要性满足.若{an〉 20-十名23与设前和项和 1 ·43· 高三一轮复习周测卷 为s,则sm=2[(1-号)+（号-号） 当n≥2时，a1十2a2十…十2m-2am-1= a-1)m-D,又a1十2a,十+2-2，-nn (】-1)器 2 2 4.A【解析】设该公司在2024年，2025年，…，2033年 （n∈N),两式相减得2-a,=n十n 2 的销售额（单位：万元）分别为a1,a2…,a1o.依题意 可得am+1=1.3am-3(n=1,2,…,9),则am+1-10= a-a-卫-，所以a.=2m≥2，当n 2 1.3(am-10)(n=1,2,…,9),所以数列{am-10)是 1时a:=1适合上式，所以a.=2”故B错误：所 首项为90，公比为1.3的等比数列，则am一10=90× 1.3"-1,即an=90×1.3m-1+10,则a1十a2十…十a10= 以a-a=2”-2号-2”，所以a,=a,当 10X10+90X0=1,3）≈100+30×13.79 n≥3时，an<am-1,所以{an}从第二项起是递减数 1-1.3 1)=3937,故从2024年到2033年该产品的销售总 列，故C错误；S,= 额约为3937万元. 1 1 5.C【解析】根据欧拉函数的定义可得a1=p(2)=1, a2=p(22)=2,a3=p(23)=4,a4=p(24)=8,一般 1,1 2 n 地，am=p(2")=2m-1.事实上，p(2)表示从1到2” 2T三十.+1、一，所以S”二4一2-12了习 的正整数中，与2”互质的正整数的个数，相当于去掉 从1到2”的正整数中所有2的倍数的个数（共2”- 4放D正豌 个数)，因此，an=p(2")=2”一2”=1=2”-1，所以S10= 三、填空题 1+2+4+…+2°=1023. 9.√m1- 1 【解析】由题意知，OA1=A1A2= √/2026 6.C【解析】由等差数列a,}满足a1u=号则对于 A2A3=…=A7Ag=1,且△OA1A2,△OA2A3,…, p,g∈N',当p十q=2×1013时，ap十ag=2a113= △OA,Ag都是直角三角形，所以a1=1,且a7=a-1十 1,则1+1 4°+4°+4 1,所以数列{a}是以1为首项，1为公差的等差数 4+24十24+？+2·4+2·4+4 列，所以a?=1+(n-1)×1=n,又an>0,所以am= 1 4p+49+4 4+2·4+2·4+4=2,设S脑= 1 1十 万.由6。=m+1a,+a中’得6. 4°1+2 1 1 2+…+。1 1 1 4m+十2则S:s= (n+1+nJaFI /(nFD(nFI+) 42025+2 m+-m=1-1 1 十…十 42024+2 1,两式相加可得2S2s=2025× 41+2 号概得8-2阳5 1)=1-1 /2025√/2026 √2026 4 10.4950【解析】f(x)的定义域为R,且f(x)+ 二、选择题 7.BCD【解析】因为a1=1,an+2=(-1)m+1(am一n)十 f(-x)=ln(√x2+1+x)+ln(√x2+1-x)= n,所以当n为奇数时，a+2=an=a1=l;当n为偶 ln(x2十1-x2)=0,所以f(x)为R上的奇函数.又 数时，am十aw+2=2n.所以a48十aso=96,选项A错 因为y=x,y=√+1在[0，十∞)上都是增函数， 误；又因为a6十a8=92,所以a50一a46=4,选项B 所以f(x)=ln(√x2+1+x)在[0，十o∞)上是增函 正确；S48=a1十a3十a5十…十a4十[(a2十a4)十 数，根据f(x)为R上的奇函数，从而可知f(x)为 (a6+a8)+…+(a46+a48)]=24X1+2×(2+6+ R上的增函数，所以f(x)为R上单调递增的奇函 …十46)=24+2×2+46)X12=600,故C正确， 数，所以由f(am-n)十f(am+1-(n一1)=0，得 2 an-n+am+1-(n-1)=0,即an十am+1=2n-1,故 S49=S48十a49=600+1=601,选项D正确. S1oo=(a1+a2)+(a3十a4)+…+(a99+a1oo)= 8.AD【解析】当m=1时，a,=1-1,放A正确： 1十5+…十197=50X1)+197)=4950. 2 2 ·44· ·数学· 参考答案及解析 四、解答题 依题意，n2<2n十n(n-1)d<(n十1)2， 11.(1)解：由题设条件，可得若am≠0，则a+1≠0， 用反证法，假设am+1=0,由题设条件，显然an=0, 得1-dn十日-2<0：恒威立，解得4=1， l(d-1)n2-dn-1<0 这与已知条件矛盾，所以am+1≠0. 因为a1=1≠0，所以a2≠0，a3≠0，…， 所以a,=,S.=a+1, 所以Vn∈N*,an≠0， 设等比数列{bn}的公比为q,b1十b2+bg=14, 由a1a.=a,-2a1得，12-1， b1b2bg=64。 antl an 所以b1+b1q+b1g2=14,bg3=64. 所以+1=2+， 得b1q=4,联立得2g2-5g+2=0, an+l +1-80 解得g=2或g=2(合去)，代人61g=4中，解得 b1=2, 所以二+是首项，公比均为2的等比数列。 得数列{bn}的通项公式为bn=2”. 所以1+1=2，则a-2-1 1 2c-, (2)证明：显然当n=1时，a1=1<2成立， T.2+2++…+①， 1123 2n 当n≥2时，2m-1≥22-1-2>1， 所以2是<1所以2-2是>1， 1 20+1②， 1 n 所以(2-2)≥1×2，即-1>公>0， 1+++ 2n+1 11 1-九+2 所以a.=20—1<2, 2n+1, 所以S.=a+a:+a+…+a,<1+分+}+十 即T.=2-n+2<2, 2n 11 当n=1时，2<n十2，T1=2-1十2=0.5， 2 272 1 -2(1-)<2 所以[T1]=0; n≥2时，2≥1+C+C-1+n+nn,+1D≥n+2, 2 综上，Sn<2,得证. 所以1<Tn<2,所以[T.]=1, 12.解：(1)当n=1时，1<2S1<4. 又因为an∈Z,所以a1=1, 所以M2025=2024. 设a.=1+(n-1)d,则S.=n+nn-1》d 2 d, 数学（十七） 一、选择题 所以方式②中包装绳长为4×a+4×4a=20a,所以 1.A【解析】设球O的半径为R,则圆柱的底面圆的 使用方式①与使用方式②所需的包装绳长之比为 半径为R,高为2R,所以πR2·2R=16π，解得R= 4(w2+5)a_√2+5 2,则球0的体积为R- 20a 5 3元 3.B【解析】如图，设正四面体的棱 2.A【解析】不妨设长方体礼物盒的长、宽、高分别为 长为a,正三角形BCD中，BH= 4a(a>0),4a,a,由于方式①中包装绳与礼物盒棱的 2 _ 交点均为棱的四等分点，所以方式①中包装绳长为 3a,正四面 4×√a2+a+4×√a2+(2a)z=4(W2+√5)a;由于 方式②中包装绳与礼物盒棱的交点均为棱的中点， 体的高AH= a-(c)- ·45·