周测卷(十三) 余弦定理、正弦定理-【鱼跃龙门卷】2025-2026学年高三数学一轮复习周测卷

高三一轮复习周测卷 由平面向量数量积的定义可得AB·AC=AB1· 则AP-A-=NP=A(AC-AN), 10=2X4X号2， 所以A=(1-Aa+d-22店+4C, 所以C·A店=(3A店-AC)·A店-号A 又因为A庐=2AC+A应，且A店，AC不共线， A馆.AC-2×2-2=0, 1-λ1 2 1 所以 又因为C示，AB均为非零向量， 解得入= 2” 故CN⊥AB,即CN⊥AB. λ2 (3)解：因为点P为线段NC上的一点，设NP 此时点P为线段NC的中点. λN元，其中0≤λ≤1， 数学（十三） 一、选择题 130√15，所以塔的高度为130√15米。 1.B【解析】由余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A=9+ 5.B【解析】因为c=1,所以4十b-c0sA十c0sB,由 4-2X3X2×号-7，解得a=F,放c0sB= 正弦定理得i血A十inB=osA十cosB,则sinA十 a2+c2-62=7+4-9=7 sin C 2ac 2×√7X2141 sinB=cos Asin C+cos Bsin C,所以sin(B+C)+ 2.B【解析】因为bcos C十ccos B=4,由余弦定理可 sin(A十C)-cos Asin C+cos Bsin C,整理得 Etc.a'to 得6.0+b2-c2， sin Bcos C+sin Acos C=0,所以(sinB+sinA)cosC= 2ab =4,解得a=4, 2ac 0,因为A,B,C∈(0，x),所以sinA>0,sinB>0, 又因为sinB+sinC 3,由正弦定理可得+c=3, sin A a cosC∈(-1,1D,故cosC=0,即C=,则该三角形 且6=5，即5安=8，解得c=7,所以S 11 的外接圆的半径，=2(=2，所以外接圆的面积为 6.D【解析】因为sin(A-C)+sinC=sinB=sin(A+ 3.C【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:5:6,由 C),所以sin Acos C-cos Asin C+sinC=-sin Acos C+ 正弦定理得a:b:c=4:5:6,设a=4t(t>0),则 cos Asin C,所以2 cos Asin C=sinC,又C为三角 6=5t,c=62,由余弦定理得c0sC=。2+6-c2 2ab 形内角，所以sinC≠0，所以cosA= 2,所以A= 1装-甘0，则C为锐角，又C为最大 3,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边的高为 内角，故△ABC为锐角三角形. 4.C【解析】设塔的高PO=h, h,由三角形面积公式可得 2 bcsin A=1。 2ah,又h= 在R△POA中，OA= OP an30°= 2,所以6c=a,又cosA-b2+c2-a2=1 2bc=2，所以 h,同理0B-4,0C=有， ..30>≥ a2=b2+c2-bc≥bc=a,当且仅当b=c时取等号， 在△OAC中，∠OBA+ 所以a≥1，所以5-h≥ 4 ∠OBC=元，则cos∠OBA=-cos∠OBC,所以 二、选择题 OB2+AB2-OA2 OB2+BC2-OC2,即7 7.BC【解析】根据题意可得，满足条件的△ABC有两 2OB·AB 2OB·BC 550-0_650- 1 1 个，可得ABX sin B<AC<AB→2<AC<5。 一，解得h= 8.BCD【解析】对于A,因为△ABC为锐角三角形， 2. 3h·650 2.3 h·650 所以cosC>0,由余弦定理得，cosC=206C> ·36· ·数学· 参考答案及解析 0,即a2+b2-c2>0,由正弦定理得，sinA十sin2B> 1 sinC,故A错误；对于B,sin(A十B)=sin(π-C)= /16.6,6 44 sinC,故B正确；对于C,因为△ABC为锐角三角 D+6 形，且A>B,所以>A>B>0,又因为y=sinx 6√16(3t+a2 =23 3 27 a3.当且仅当 在(0，）上单调递增，所以sinA>sinB,故C正确：对 62 3b2 =a,即a=3 4 b时等号成立.故当 于D,由A=牙得，C--A-B=号-B,由△AC a=4时∈(，2]即v,e(,]c法 0<B<,<B<, 项正确.对于D选项，由上述分析可知，(V)mx 为锐角三角形得， 即 5c<2, 3 -B<， 0< -e.-29-。w）≥ (V2)ax,所以D选项正确。 解得买<B<,故D正确。 三、填空题 ACD【解析】对于A选项，如图所示，四面体A-BCD 9.20π【解析】如图，在△ABC中， 中，依题意，不妨设AC=CD=AD=AB=2,BC= AC=2,∠ABC=30°，所以 AC 2 、R BD=b,设E是CD的中点，所以BE=√b2-1,AE= sin∠ABC-sin30=4,则由正弦 0 √3，设∠EAB=a,则0<a<π，在三角形ABE中，由 定理可得△ABC外接圆半径为 余弦定理得BE2=22+(W3)2-2×2X√3Xcosα，即 O'A=2,因为PA⊥平面ABC,所 b2-1=7-4V3cosa,b2=8-4V3cosa,由于8 以三棱锥P-ABC的外接球半径为 4√3cosa∈(8-4√3,8+4W3),所以b∈(W6-√2W6+ √2)，故A选项正确.对于B选项，如图所示，四面体 R=0P=0A=√2+(A)=@+1=5,所以 A-BCD中，不妨设AC=CD=AD=AB=a,BC= 外接球表面积S=4πR2=20π. BD=b,设E是CD的中点，则BE⊥CD,AE⊥CD, 1 BE∩AE=E,BE,AEC平面ABE,所以CD⊥平面 10.3 专【解标】由题意可知，s血乙ADB-n(e旷+ ABR设∠RAB-,则0Ca<,出于AR-,所 C)=c0sC=号：在△ABC中，AB=AC+BC2- 2AC:C·oasC,即-AC+1-2AC×3,解 ne)a-得asne.当a=3 得AC-号（负值舍去），由DC=2AD得AD-, DC=3,故BD=√32-1=2√2，故△ABD的面积 为号AD·DB·sn∠ADB=号×号×2EX sina=1时等号成立，B选项错误. 对于C选项，如图所示，四面体A 1√2 3-2 BCD中，不妨设AB=CD=b,BC=AD=BD= AC=a,设E是CD的中点，则BE⊥CD,AE⊥CD, 四、解答题 BE∩AE=E,BE,AEC平面ABE,所以CD⊥平面 11.(1)证明：在△ABC中，由已知及余弦定理， 得(a十b)b=c2=a2+b2-2 abcos C, ABE,在三角形ABE中，BE=AE=么一交 4,所以 即b=a-2 bcos C, 由正弦定理，得sinB=sinA一2 sin Bcos C, 1 4421公262 SAnmE=6.a:b 6b 2,所以 又A=π-(B+C), sin B=sin(B+C)-2sin Bcos C=sin Bcos C+ cos Bsin C-2sin Bcos C=cos Bsin C-sin Bcos C= sin(C-B). ·37· 高三一轮复习周测卷 因为0<sinB=sin(C-B), 所以AB+MD=8cosa+4sin&=4W5sin(a+p), 所以0<C-B<C<π， 其中tanp=2, 因为B十(C一B)=C<π， 故AB+MD的最大值为4√5. 所以B=C-B,故C=2B. 解：(1)由题意可知∠B'MN=∠A'NM=75°， (2)解：由(1)C=2B得B+C=3B∈(0，π)， ∠A'MN=∠B'NM=45°， 所以B∈(o,音)B∈（分， 所以∠NA'M=60°， MN 由1)得a=b(1+2c0sC),C=2B,得g+6 在△A'MN中，由正弦定理sin∠NAM一 bcos B 5+2c0sC_5+2cos2B_5+2(2cos2B-1) AN sin∠A'MN cos B cos B cos B 4cos B+3 cosB≥2√4cosB· 3 MN=24g·8-6v5,所以-4N cos B =4W3, 32 2 2 当且仅当B=合∈(0，写)时等号成立， 2 63 即A'N= 3√6 所以当B=君时，志台的数小值为。 =3v6×2 =6√2， √3 √3 3 2 2 12.解：(1)因为sinA+sinC+cos2B+sin(π-A) sin(+C)=1, 又因为N点观测A时仰角的正切值为，AM=6,2, 所以sinA+sinC-sin Asin C=l-cos2B=sin2B. 由正弦定理得a2十c2一b2=ac, =6, 所以csB=a2+c2-b1 6 2ac =2’ 所以该山的高度为√6千米. 因为0<B<元，所以B=3 北 (2)由(1)知a2十c2-b2=ac,代入数据得b=√7】 因为△ABC的面积S= 2acsin B=33 2 (2)设△A'MB'的外接圆为圆O,因为∠A'MB'= 2S 所以△ABC内切圆的半径r= 3√3 ∠A'NB'=30°，∠B'MN=-∠A'NM=75°， a+b+c5+√7 又由题意可知A'B'MN, 3W3(5-√7)_5√3-√2i 所以∠B'NM=∠A'MN=∠B'A'M=∠NB'A'=45°， 18 6 所以∠MB'N=∠NA'M=180°-45°-75°=60°， (38)如图，设∠DBM=a,0<a<, 所以∠B'A'N+∠NMB'=∠A'B'M+∠MNA'= 60°+45°+75°=180°， 则∠BMA=+e,且MD=BMsin&=4sina. 所以根据圆的性质，A',B',M,N四点共圆， 在△A'MN中，由正弦定理得圆O的直径为 MN sin∠NA'M 63=12, 2 在△AMB'中，由正弦定理得A'B'=12sin∠AMB'=6, A 因为∠ABD=子，所以∠BAD= 6 由正弦定理得 BM AB sin(+a） 延长A'B'与圆台交于C点，由题意下底面圆半径为 所以AB=8sin(经+e)=8cose, 3+√3km, 在直角△BB'C中，由勾股定理得 ·38· ·数学· 参考答案及解析 圆台的母线长BC=√(BB)十(BC)严= 圆台的上底面面积为元·32=9元km, 所以侧面积与上底面面积相加知，该山被冰雪覆盖的 √(6)2+(5)2=3. 面积为(3√3十27)π平方千米. 圆台的侧面积为π·(3+3+√3)·3=(33+18)π(km2), 数学（十四） 一、选择题 则1z1|=1. 1.C【解析】由zi=3-2z得zi+2x=3.设复数之= A【解析】由对称性及之1之2之3= x十yi(x,y∈R),则之=x一yi,所以(x+yi)i+ 0,不妨设之3=0，则之1十之2=8十 2(x-yi)=3,所以2x-y+(x-2y)i=3,所以 2i,之1之2=15+10i.由根与系数 2x=3解得=2 的关系知之1，之2是方程之2一 B 所以之=2十i, a E x-2y=0," y=1, (8+2i)z十15+10i=0的两个根，则方程z2一(8+ 2.C【解析】由2(2+z)=i(1-x),设之=a+bi(a, 2i)之十15+10i=0的两根为5,3+2i.不妨设之1=5， b∈R),得(2a十4)-2bi=b+(1-a)i,由实部和虚 之2=3+2i,则△ABC在复平面上的顶点坐标为A(5, 部分别相等知。架格公则：在复 0),B(3,2),C(0,0),则a=BC=√13，b=AC=5, -2b=1-a, c=AB=2√2，设三角形内心为I(x1,y1),由内心的 平面内对应的点(-3，一2)在第三象限。 性质aA+bIB+cIC=0知，√13(5-x1,-y1)+ 3.D【解析】由棣莫弗公式，w=(cos+in)- 5(3-x1,2-y1)+2W2(-x1,-y1)=(0,0),所以 5π √/13y1+10-5y1-2√2y1=0,解得y1= cosisin -2+2i. 10 4.B【解析】设x=a+bi,其中a,b∈R,则之-1+i= 5+2w2+V1又10=5+2+3<5+22+13< (a-1)+(b+1)i,因为x=1,所以a2+b2=1,即 5+4十4<20，所以y1∈(0.5,1) 点(a,b)的轨迹是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，所 二、选择题 以|x-1+i=√(a-1)2+(b+1)产即为圆上动点到 7.ACD【解析】因为之1，z2是关于x的方程x2十px十 定点(1，一1)的距离，所以|之一1+i的最大值为 q=0(p,9∈R)的两个根且之1=1十i,所以z2=1-i, √/(0-1)2+(0+1)+1=√2+1. 即x1=x2,故A正确；之=(1十iD2=2i,x号=(1-i)2= 一2i,所以z≠x,故B错误；因为之1十之2=(1十i)十 5,A【解析】设之=a+bi(a,b∈R),则2千2十 (1一i)=2=一p,所以p=一2，故C正确；之1之2= a+6iD2-D_2a+6+(26-ai,因为2年为纯腿 (1十i)(1-i)=12-i2=2=q,故D正确. (2+i)(2-i) 5 8,ACD【解析】对于A,之=1+i-i=1十D:i-i i i·i 数，所以 2a+b=0'所以b=-2a≠0,2=a-2ai, 2b-a≠0， 1一2i的虚部为-2，故A正确；对于B,令1=i, 因为|x|=1,所以√a2+(-2a)=1,解得a= 之2=一i,满足十z=0,故B错误；对于C,设之= 土5则6=干25，即：的虚部为士2 a十bi,则a2+b2=1,且-1≤a≤1，由x-2=a-2+ 5 bi,得|之-21=√(a-2)2+b=√a2+b2-4a+4= 6.A【解析】设之2=a十bi(a,b∈R),因为z=2i,所 √5-4a,所以|之一2|mim=√5-4=1，故C正确；对 以a-62+2ab6i=2i,所以a-6=0,解得 ac+bd+(bc-ad)i 2ab=2, 于D,令之| c2+d2 8”安公u-11成-1-因 √(ac+bd)+(bc-ad)z =√(a2+b)(c2+d) c2+d2 c2+d2 为十=，所以=当=1+i时， √a2+b2_|z1 V+d,,故D正确 --p2-则11当 三、填空题 :-1-时-二千-仁二二》-.0专十号（答案不晚-）【银标】设：=a+6e65 13: ·39·司 2025一2026学年度高三一轮复习周测卷（十三） 6.在△ABC中，sm(A-C)+血C=血B,且BC边上的高为则 数学·余弦定理、正弦定理 A△ABC的面积有最大值，且最大值为 (考试时间40分钟，总分100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 B,△ABC的面积有最大值，且最大值为 题目要求的。 C.△ABC的面积有最小值，且最小值为 2 1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=60°，b=3,c=2,则cosB的值为 A a招 c. D.△ABC的面积有最小值，且最小值为 4 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 2.我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。带*题目为能力提升题，分值不 幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从 计入总分。 属，开平方得积”把以上文字写成公式，即S-程-(+2b万其中S为△ABC /1F 2 7.在△ABC中，AB=3,B=60°，若满足条件的三角形有两个，则AC的取值可能是 B.1.6 的面积，a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C所对的边).若bcos C+ccos B=4,b=5,且 A.1.5 C.1.7 D.1.8 8.在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,则下列结论一定成立的有 si血B+inC-3,则利用“三斜求积”公式可得△ABC的面积S- sin A A.sin'A+sin'B<sinC B.sin(A+B)=sin C A.26 B.4√6 C.66 D.86 C.若A>B,则inA>sinB D.若A=开，则F<B< 3.在△ABC中，若sinA:sinB：sinC=4:5￥6，则△ABC是 已知某四面体的四条棱长度为α，另外两条棱长度为b,则下列说法正确的是 A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形 A.若a=2且该四面体的侧面存在正三角形，则b∈(6一√2，√十2) 4.天津市滨海新区最高的楼叫天津周大福金融中心，简称“津沾棒”，也有人戏称它为“金箍棒” 如图所示，为了测量大楼高度，在大楼附近的水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P B.若a=3且该四面体的侧面存在正三角形，则四面体的体积V,∈(0,3y31 4 的仰角分别为30°，60°，45°，且AB=BC=650米，则津沾棒的高度OP为 C若a=4且该四面体的对棱均相等，则四面体的体积V,∈(0,12,3] D.对任意a>1,记侧面存在正三角形时四面体的体积为V:,记对棱均相等时四面体的体积为 V2,恒有(V1)m.>(V:)aa 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AC=2,∠ABC=30°，则三棱锥P-ABC的外接 A.260√5米 B.260米 C.130/15米 D.360√6米 球的表面积为 5.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,a十b=cosA十cosB,则该 10.如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC= 三角形的外接圆的面积为 90.若caC-3则∠ADB=若AB=万. 2,BC-1,6 A哥 c D.x DC=2AD,则△ABD的面积为 数学·周测卷（十三】第1页（共4页） 数学·周测卷（十三）第2页（共4页） 巴 美版老小降 班级 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。带*题目为能 桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观，位于我国四川的瓦屋山是世界第二 力提升题，分值不计入总分。 大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝.苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，蛟眉翠扫雨余天” 姓名 11.(20分) 某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB为圆台上底面的一 在△ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(a+b)b=c2. 条东西方向上的直径，某人从M点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以243km/h 得分 (1)求证：C=2B: 的速度前进，15分钟后到达N点.在M点时测得A点位于北偏西45°方向上，B点位于北偏西 ②)求点台的最小值 15°方向上：在N点时测得A点位于北偏东15°方向上，B点位于北偏东45°方向上，且在N点 时观测A的钟角的正切值为设A点在地表水平面上的正投影为A,B点在地表水平雨上 的正投影为B',A',B',M,N在地表水平面上的分布如图2所示 选择题 答题栏 (1)该山的高度为多少千米？ 1 (2)已知该山的下底面圆的半径为3+，√3km,当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多 2 少平方千米？ 3 4 5 12.(20分) 6 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA十sinC十cos2B十sin(π一A)sin(π十 C)=1 图2 (1)求B: (2)若a=2,c=3,求△ABC内切圆的半径： (3)若M为△ABC的垂心，且点M在△ABC内，直线AM与BC交于点D,且BM=4,求 AB十MD的最大值 数学·周测卷（十三）第3页（共4页） 数学·周测卷（十三）第4贡（共4页）