周测卷(十二) 平面向量的应用-【鱼跃龙门卷】2025-2026学年高三数学一轮复习周测卷

·数学· 参考答案及解析 所以|e1|=|e2|=l,e1·e2=|e1lle2lcos60°= 1 2 因为x∈R,所以-厄<2sin(x十T)≤厄，即 所以|Op|=√/(3e1+4e2)-√9e+24e·e2+16e √2≤t≤√2， =、9+24×号+16=5m. 令g)=g-10+1+2=2g2+1+1)=司 1 (2)证明：由(1)知e1·e2=2, (e+)‘+g(-<<2 所以a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1十y2e2) 因为g0的图象是对称轴为1=-号，开口向上的 =x1x2e+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y2e2 抛物线的一部分， 1 =x1x2+y1y2+2(x1y2+x2yi), 所以当=一专∈[-反，B]时，g取得最小值 即a…b=1ty+2:+ g(-2)=8, (3)解：因为向量a,b的“完美坐标”分别为[sinx, 1],[cosx,1], 当：=反时，g)取得最大值g(2)=号×(2+ 由(2)得f(x)=a·b=sinc+1+2(sinx十 V2+1)=3+2 2 cos x). 令t=sinx十cosx=Ein(x+军），则sin 所以子x)的值域为[，3] -D. 数学（十二） 一、选择题 1,A【解析】如图所示，可知AD= 2(币+)=(A市+}A)-}市+， A成+BD-A店+号BC-A店+ 又D-A店-AD,所以A,D成=(？AD+ M 成-)=号店+成- 君)·(-A市=-A市+号A市·A成+ 2Ai,所以A=0十6 1 后A成=A:+号A币·1a1cs号十 2.A【解析】因为点P在BM 上，所以设BP=tBM,则AP= 日a=-x2+×2x3x+日×g-2 AB+BP=AB+tBM=AB+ 4.A【解析】因为三个力平衡，所以F1十F2十F3=0,所 (AG-A)=(1-)A+ 以F3|=|F1十F2|=√/TF12+2F1·F2+F2= 1 1一t=2’ +2x1×西246+（西2-反.设 AC.又A-号A馆+m·花，则 解 Fg与F1的夹角为0，则|F21= t 4 =m, 1 √E+F,+2Fk,cos9,即5,2- 2 t2' 得 √12+(V2)+2X1X√2cos0,解得cos0= m=8 _6+√2 4 3.B【解析】因为A应=号A店且 5.B【解析】由平行四边形法则得PA+PB=2Pò， 点F是DE的中点，所以AF 故(PA+PB)·PC=2PO·PC,|PC1=2-|PO1, 且PO,PC方向相反，设PO=t(0≤t≤2)，则(PA+ ·33· 高三一轮复习周测卷 PB)·PC=2Pò.PC=-2t(2-t)=2(t2-2t)= 二、选择题 2[(1-1)2-1].因为0≤t≤2，所以当t=1时，(PA+ 7.ACD【解析】对于A,OA+O京= PB)·PC取得最小值，最小值为一2. OA-OB=BA,故A正确；对于 6.A【解析】如图，取BC的中点D,连接GD,因为 B,如图，连接AC交OB于点M, GA+GB+GC=0,所以GA=-(GB+G元)= 可知M为AC的中点，所以OA+ -2GD,所以GAGD,又D为公共点，所以G,D,A共 OC=2OM,故B错误；对于C,在 线，且AG=号AD,所以点G为△ABC的重心，因为 △0AB中，易知∠AOB=年，且OA=0B,所以 AG·AB=AG.AC,所以AG·(AB-AC)=AG· CB=0,所以AG⊥BC,所以 2∠0AB-8cos2∠0AB=-号，由二倍角公式可 AB=AC,因为∠BAC=2 3’C 得c0s2∠0AB=1+cos2∠OAB_2-V D 2 4 2,故C正 所以∠ABC=∠ABC=若，由正弦定理得 BC 确；对于D,连接EB,则AB⊥BE,所以AB·A正= n∠BAC AB2=1,故D正确. 2,所以BC=2m行-5，所以AD=BDan∠ABC= 8.AC【解析】对于A,将船的速度y1和水流速度v2 进行合成，船垂直河岸方向的分速度v=|v1|sin0, 3 41 河宽d-500m=0.5km,则渡河时间t=L- *C【解析】设OA=O1=m>0依题意，OA.O= 0.5 mcos60-号m,因为点P落在阴影都分（不含边 10sin0-20sin9,当sin6-1,即 界)，且O2=λOA十OB,易得入>0,4<0，且0°< 0-受时，？取得最小值，所以当籍的 (OP,0A)<60°，由1OP12=(OA+uOB)2=λ2m2+ 航行时间最短时，9=2，故A正确； 2×2m2+r2m2=m2(a2++2,可得O= 对于B,当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河 mA2+a+,由Op·OA=1O驴|·1OA 岸，如图，则o(:-6)=-甘所以as cos(O2,0A)=m2√A2++cos(Op,0A),又 O2.OA=(aOA+OB)·OA=λ1OA12+uOA· 5,故B错误：对于C,当9=石时，船垂直河岸方 Oi=(入+)m2,故可得m2++ 向的分速度=ms0=10X号-5(km/),船的 cos<O,0i》=(A+2)m,即cos(O,0i) 航行时间：一台一-5-品.即6分饰放心世确： A+2 对于D,将船的速度v1和水流速度v2合成为v,则 √2+十a ,因为0<(0应，0i)<60,则}< =十，当0-爱时，=m os0,0成)<1，即日< λ十2 <1,由 10×2×(-2）=-10,所以，=m,+F= √A2+4+ A+ √+吃+2v1·2=√100十4-20=2√21，因为船 ，可得4(a+2)>++公， 1 垂直河岸方向的分速度。-，s如0-10×受- 整理得λ（入十u)>0,又入>0，故得入+>0，即λ> 5v3(km/h),所以船的航行时间t=d=0.5 5√3 入+24 一4>0；由 <1,可得(a+2)'<2+ ),所以船的航行距离为，·1=2V2I×8 3 2+4+u 30 30 十，整理得u>0,显然成立.综上分析，可得入> √7 -4>0. (km),故D错误 ·34· ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 则-时-B耐=}成-B-m-n,D咙- 。号【解析】以：为x销正方向上的单位向量建立平 面直角坐标系，则c=(1,0),设a=(x,y),b=(m, 名8d-m n),则由a·c=1→(x,y)·(1,0)=1→x=1,由b· ②AF⊥DE,证明如下： c=3→(m,n)·(1,0)=3→m=3,又由a·b= 因为B=60°，a=2c, 2→(x,y)·(m,n)=2→3+ny=2→ny=-1,所以 则m·n=|m|·|ncos60°=accos60°=2c2X a·b 1 cos(a,b〉=1ab= √1+y2√9+n c2, 2 所以A正.D吃-（仔mn)小·m=日m- 1. 2m· 中99+（写a+·[+(T 81 且AF,DE均为非零向量， 0+1+9y2+()0+292.() 则AF⊥DE,即AF⊥DE, (2)证明：在△ABC中，AB+BC+CA=0, 司，当且仅当y2=时等号成立，即0s(a,6)的最 设单位向量e= DE 大值为号： DE' 则e·(AB+BC+CA)=e·AB+e·BC+e· 10.2√7【解析】如图，以D点为原 CA=0,(￥) 点，取AC中点为F,以DF所 又根据数量积的定义得，e·BC-|BCI cos(B一)= 在直线为x轴，以过D点垂直 acos(B-0), 于DF的直线为y轴，建立平面 e·AB=|AB|cos(π-0)=-ccos0, 直角坐标系.又AC=AD=4, e.CA=ICAIcos(A+0)=bcos(A+0), ∠CAD=60°.则D(0,0),A(23,-2),B(x,y), 代入(*)式得，-ccos0十acos(B-0)+bcos(A+ 0)=0, C(2√3,2).过C,A两点分别作DB的垂线，垂足分 所以acos(B-0)+bcos(A+0)=ccos0. 别为G,H,则SAAD三 2AH·BD AH 12.1)解：因为BM-}M心，所以A成-是A店+ SABCD 2CG·BD CG =2.又注 意到△AHB∽△CGE,则会瓷-2.设Ezy,则 c 则AM-A店-}(AC-A),可得AM-A店+ C应-}ci,则(x1-25,y:-2)=3(0,-40= AC. E(25,子)注意到B,E,D三点共线，则DE/ 因为1AB1=2,1AC1=4,∠BAC=60°， Di,则号x=2→x=3w5.又AC=√BC+BA- 由平面向量数量积的定义可得AB·AC=AB|· 4→2(x-2W3)2+(y-2)2+(y+2)2=16→x2 ACI60=2X4x号4， 43x十y2+8=0→7y2-9y+2=0→(y-1)(7y-2)= 所以A-A店+AC-√⑧AB+A= 0,得y1或y号又由图可得x>25,所以y=1, /9AB+6AB.AC+ACX46X414- x=3√5，则B(3√3,1)，则DB=√27+I=2√7. 四、解答题 2 11.(1)解：①因为D元=号BC,B京=1B心，记BC (2)证明：因为N为AB的中点，则CN=AN-AC= m,BA=n, 号A店-AC, ·35· 高三一轮复习周测卷 由平面向量数量积的定义可得AB·AC=AB1· 则AP-A-=NP=A(AC-AN), 10=2X4X号2， 所以A=(1-Aa+d-22店+4C, 所以C·A店=(3A店-AC)·A店-号A 又因为A庐=2AC+A应，且A店，AC不共线， A馆.AC-2×2-2=0, 1-λ1 2 1 所以 又因为C示，AB均为非零向量， 解得入= 2” 故CN⊥AB,即CN⊥AB. λ2 (3)解：因为点P为线段NC上的一点，设NP 此时点P为线段NC的中点. λN元，其中0≤λ≤1， 数学（十三） 一、选择题 130√15，所以塔的高度为130√15米。 1.B【解析】由余弦定理a2=b2十c2-2 bccos A=9+ 5.B【解析】因为c=1,所以4十b-c0sA十c0sB,由 4-2X3X2×号-7，解得a=F,放c0sB= 正弦定理得i血A十inB=osA十cosB,则sinA十 a2+c2-62=7+4-9=7 sin C 2ac 2×√7X2141 sinB=cos Asin C+cos Bsin C,所以sin(B+C)+ 2.B【解析】因为bcos C十ccos B=4,由余弦定理可 sin(A十C)-cos Asin C+cos Bsin C,整理得 Etc.a'to 得6.0+b2-c2， sin Bcos C+sin Acos C=0,所以(sinB+sinA)cosC= 2ab =4,解得a=4, 2ac 0,因为A,B,C∈(0，x),所以sinA>0,sinB>0, 又因为sinB+sinC 3,由正弦定理可得+c=3, sin A a cosC∈(-1,1D,故cosC=0,即C=,则该三角形 且6=5，即5安=8，解得c=7,所以S 11 的外接圆的半径，=2(=2，所以外接圆的面积为 6.D【解析】因为sin(A-C)+sinC=sinB=sin(A+ 3.C【解析】因为sinA:sinB:sinC=4:5:6,由 C),所以sin Acos C-cos Asin C+sinC=-sin Acos C+ 正弦定理得a:b:c=4:5:6,设a=4t(t>0),则 cos Asin C,所以2 cos Asin C=sinC,又C为三角 6=5t,c=62,由余弦定理得c0sC=。2+6-c2 2ab 形内角，所以sinC≠0，所以cosA= 2,所以A= 1装-甘0，则C为锐角，又C为最大 3,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边的高为 内角，故△ABC为锐角三角形. 4.C【解析】设塔的高PO=h, h,由三角形面积公式可得 2 bcsin A=1。 2ah,又h= 在R△POA中，OA= OP an30°= 2,所以6c=a,又cosA-b2+c2-a2=1 2bc=2，所以 h,同理0B-4,0C=有， ..30>≥ a2=b2+c2-bc≥bc=a,当且仅当b=c时取等号， 在△OAC中，∠OBA+ 所以a≥1，所以5-h≥ 4 ∠OBC=元，则cos∠OBA=-cos∠OBC,所以 二、选择题 OB2+AB2-OA2 OB2+BC2-OC2,即7 7.BC【解析】根据题意可得，满足条件的△ABC有两 2OB·AB 2OB·BC 550-0_650- 1 1 个，可得ABX sin B<AC<AB→2<AC<5。 一，解得h= 8.BCD【解析】对于A,因为△ABC为锐角三角形， 2. 3h·650 2.3 h·650 所以cosC>0,由余弦定理得，cosC=206C> ·36·如图，已知同一平面上的三条直线α，b,c相交于同一点O,两两夹角均为 2025一2026学年度高三一轮复习周测卷（十二） 60°，点A,B分别在直线a,b上，且IOA|=1O店1≠0，设OP=AOA+ 数学·平面向量的应用 :O店，若点P落在阴影部分（不含边界），则下列结论正确的是 (考试时间40分钟，总分100分) A.>u>0 B.<u<0 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 C.A>->0 D.-u>A>0 题目要求的。带题目为能力提升题，分值不计入总分。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 1.在△ABC中，A店=a,AC=-b,若B历-号BC,M为线段AD的中点，则AM 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 取言0+动 1 7.《易经》是中华民族智慧的结品，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图所示是 八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH,其中AB=1,O为正八边形的 11 C.3a-6b 11 D.sa-3b 中心，则 2.在△ABC中，Ai-}MC,点P在BM上，满足A-A店+m·AC,则m A司 c n 3.在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠DAB=行，点E满是A店=}A店，点F是DE 的中点，则AF·DB= A.OA+OF=BA B.0A+O元=20B A司 &司 c.- n.是 C.cos∠OAB=2-2 D.AB·AE=1 4 4.平面上的三个力F,P,F,作用于一点，且处于平衡状态.若F,=1N,F,=6,2N, 2 8.如图，一条河两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行，已 F,与F:的夹角为45°，则F。与F1夹角的余弦值为 知船的速度1的大小为v1=10km/h,水流速度z的大小为=2km/h,设y1和v2的夹 A.-6+2 B6+2 C.-6-2 角为0(0<0<π)，则下列说法正确的为 4 4 4 D.6-2 4 5.如图所示，半圆的直径AB=4,O为圆心，C是半圆上不同于A,B的任意 A当船的航行时间最短时，9=受 水流 一点，若P为半径OC上的动点，则(PA+PB)·PC的最小值是 A.-4 B.-2 C.0 D.2 B当船的航行距离最短时，c0s0=号 6.已知△ABC的外接的半径为1，A-行点G满足G+G丽+G元-0，且AG,A正-AG: C.当0=时，船的航行时间为6分钟 AC,则△ABC的面积为 A B3,3 c将 D.当0=警时，船的航行距离为k如 3 4 数学·周测卷（十二）第1页（共4页） 数学·周测卷（十二）第2页（共4页） 四 条数老n春 班级 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 12.(20分) 9.若平面向量a,b,c满足|c=1,a·c=1,b·c=3,a·b=2,则a,b夹角余弦的最大值是 已知在△ABC中，N为AB中点，BM-MC,A正-2，AC=4. 姓名 (1)若∠BAC=60°，求AM: 得分 10.在平面四边形ABCD中，AC=AD=4,∠CAD=60°，∠ABC=90°，若△ABD的面积是 △BCD的面积的2倍，则BD的长度为 (2)设A店和AC的夹角为0，若cos9=},求证：CN⊥AB, 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (③)若线段NC上一动点P清足A-AC+A店，试确定点P的位置 11.(20分) 选择题 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,直线L与△ABC的边AB,AC交于D,E 答题栏 1 两点。 2 3 (1)已知D正-元，晾-C,记BC=m,B= 4 ①用m,n表示A下，D正 5 6 ②若B=60°，a=2c,则AF,DE有什么关系？用向量方法证明你的结论 (2)记∠ADE=0,用向量方法证明：acos(B一0)+bcos(A十0)=ccos0. 第(1)问图 第(2)问图 数学·周测卷（十二）第3页（共4页） 数学·周测卷（十二）第4贡（共4页）