周测卷(十一) 平面向量(概念、运算、基本定理及坐标表示)-【鱼跃龙门卷】2025-2026学年高三数学一轮复习周测卷

u 条数老n春 2025一2026学年度高三一轮复习周测卷（十一） ￥已知∠AOB-石，1Oi=2,且对任意的A∈R,A1≤O丽+AO恒成立，则1xOi-Oi+ 数学·平面向量（概念、运算、基本定理及坐标表示） z0正-OA(x∈R)的最小值为 (考试时间40分钟，总分100分) A.25 B.23 C.3 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 n是 题目要求的。带“题目为能力提升题，分值不计入总分。 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 a 1.若a,b为非零向量，则a=6b”是“a=b”的 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 7.已知单位向量e1,e2的夹角为(0<0<π)，若平面向量a=xe1十ye2(x,y∈R),有序实数对 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (x,y)称为向量a在“仿射”坐标系xOy(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记a=(x,y)。,则 2.已知向量a=(1,一3)，b=(2,1),则a在b上的投影向量为 下列命题正确的是 A(吉) 取（后 A.已知a=(x1,y1),b=(x2y2),,则a十b=(x1十xgy1十y)。 B.已知OA=(1,0)=,OB=(0,1):,则线段AB的长度为1 c(- n(层 3.已知平面向量a=(-1,1),b=(0,1),若(a十Ab)·(a+b)=1(a,u∈R,入≠0)，则 C.已知a=(2,-1Db=1,2),则a·b=3y3 2 +女1 g会+ D.已知a=红，ya=1,则x+y的最大值为2 c+- 8.设a,b,c是平面内共始点的三个非零向量，且两两不共线，x∈R,则下列命题中正确的是 4,若{©1，e:)是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是 A.关于x的方程ax+bx十c=0可能有两个不同的实数解 B.关于x的方程ax2+bx十e=0至少有一个实数解 A.e-ese2-2e} B.e-exe1-2e:) C.关于x的方程ax2十bx十c=0最多有一个实数解 C.{2eg-3e1,6e1-4eg} D.{e1十ete1十3et} D.关于x的方程ax2十bx十c=0若有实数解，则三个向量的终点不可能共线 5.关于平面向量，下列说法正确的是 A.若ah,b∥c,则a∥e 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共12分。 B.若a=(a,2),b=(1+入，一1)，且a与b的夹角为钝角，则A∈（一2,1） 9.已知平面向量a=(1,2),b=(2,5),c=(p,g).若存在实数m,n使得c=ma十nb,并且m十 C.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且{a|=1,|b|=1,c|=3,则|a十b十c|=2 n=1,且1c1=10.则满足条件的所有(p,9)的值对集合为 专-时得+品品eAD为花是 10.已知同一平面内的单位向量e1,e2,ea,则(e1一ez)·e,的最小值是 若e1十e2与e 6.已知a,b为不共线向量，AB=a+5b,BC--2a+8b,CD=3(a-b),则 不共线，e1十c2十e=1,z,3y,z∈R,xe1十e,十ze=0,x十y十之=2025，则：+y+ x+y'x+s A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 数学·周测卷（十一】第1页（共4页） 数学·周测卷（十一）第2页（共4页） 美版老n春 班级 四、解答题：本题共2小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 12.(20分) 11.(20分) 如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“完美坐标系”.设e1, 姓名 设a,b是不共线的两个非零向量。 e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe,十ye,则把实数对[x,y]叫做向量 (1)若OA=4a-2b,O万=6a+2b,OC=2a-6b,求证A,B,C三点共线： 得分 OP的“完美坐标” (2)若4a+2h与2如十b共线，求实数k的值，并指出当a十2幼与2如十b反向共线时 (1)若向量0庐的“完美坐标”为[3,4]，求0P, k的取值. (2)已知[x1y],[x2y2]分别为向量a,b的“完美坐标”，证明：a·b=x1x十yy十2(x1y2+ 选择题 x2y1）: 答题栏 (3)若向量a,b的“完美坐标”分别为[sinx,1],[cosx,1],设函数f(x)=a·b,x∈R,求 1 f(x)的值域， 56*78 数学·周测卷（十一）第3页（共4页） 数学·周测卷（十一）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 数学（十一） 一、选择题 Oi,即OA-OB=OD-O心，则BA=CD,所以四边 1B【解标】若a=6,则份-1，有a=80:反之。 形ABCD是平行四边形，则AB+AD=AC,又 需+需恶需+需 AB AD AC 取a=2b,会-2，有a=|b,面a=b不成立，所 a IADI 以。-8b“是a-6的必要不充分条件， AC,所以ACAC =1,所以|AB1=|AD|= IABI ADI 2.C【解析】因为a=(1,-3),b=(2,1),所以a在b IAC,所以口ABCD是菱形，D正确. 上能汉影向量为9的合一司0=（台-》】 6.A【解析】由题设AC=-a+13b,BD=a十5b,又 AB=a十5b,AB=BD,AB与BD有公共端点B,所 3.A【解析】(a十b)·(a+b)=(-1,1+入)· 以A,B,D三点共线，A对；AB=a+5b,BC=-2a+ （-,+1)=+2μ+λ+1=1，所以2μ+入= 8b,不存在，使AB=λBC,所以AB与BC不共线， 即A,B,C三点不共线，B错；BC=-2a+8b,CD= 3(a-b),不存在入，使CD=λBC,所以BC与CD不 4.C【解析】对于A,设存在唯一的实数入使e1一e2= 共线，即B,C,D三点不共线，C错；AC=-a十13b, CD=3(a-b),不存在入，使CD=λAC,所以AC与 入(e2-2e1)=e2-2λe1,则， 以比方程无备 CD不共线，即A,C,D三点不共线，D错. 故{e1-e2,e2一2e1}能作为平面向量的基底，故A不 D【解析】如图， 符合题意；对于B,设存在唯一的实数入使e1一e2 =λ， Ae,-2e:)=e,-e则 1- 此方程 2, 无解，放e,ee,一0，能作为平面向址的基底。 设OC=一AOA,则|AB1≤1OB+λOA|恒成立，等价 于|AB|≤ICB恒成立，从而有AB⊥OA,故1OA| 故B不符合题意；对于C,由6e1-4e2=-2(2e2 3e1),所以2e2-3e1与6e1-4e2共线，故{2e2-3e1, 1 Beos∠A0B=2c0s若=3.设0i=0i,O症- 6e1一4e2}不能作为平面向量的基底，故C符合题意； 对于D,设存在唯一的实数入使e1十3e2=入(e1十e2)= 20i,则10成-01+o-20耐-10i-0i1+ e,十e,则-此方程无解，故{e,十e,e十3e,} OD-O元1=AD1+ED1.作点E关于直线OB的 3=λ， 能作为平面向量的基底，故D不符合题意. 对称点F,连接OF,AF,DF.由题可知OF1=5, 2 5.D【解析】若b=0,虽然有a∥b,b∥c,但不一定有 ∠F0A=,OA=3,则1Ai+E市1=AD+ ae,A错；若a与b的夹角为钝角，则a·b=入(1十 X)-2<0,得x∈(-2,1D,但当X=-号∈(-2,1D 1i≥-√()+)-2x号义 时，b=一a,两向量反向，夹角为，不是钝角，B 多当且仅当F,D,A三点共线时取等号。 错；若平面向量a,b,c两两的夹角相等，则夹角为0 二、选择题 或经，当夹角为0时，a+6+e=1a+b+1el= 7.ABD【解析】A:由题设a十b=x1e1十y1e2十x2e1十 y2e2=(x1+x2)e1+（y1+y2)e2,所以a+b= 5,当夹角为2时，a+b+c=a+b+e2+ (x1十x2y1十y2)g,故A正确；B:由题设AB= 2a·b+2a·c+2b·c=1+1+9+2×1×1× Oi-0A=e2-e1,则1AB1=√(e2-e)= (-2)+2×1×3×(-2)+2×1×3×(-3) V02e1·e:+e-2-2x1x1x2-1,故B正 4,即a+b+c|=2,C错误；若OA+OC=OB+ 确；C:由题设a·b=(2e1-e2)·(e1+2e2)=2e+ ·31· 高三一轮复习周测卷 30:e,-2ei=2+3X1X1X号-2=号，故C错误， 当n= -7+3√/111 时，p= 3+3√111 10 10 D:由题设a=√(xe1十ye2)=√x2十xy十y2=l,即 g=-1+9V117 x2+xy+y2=1,由(x+y)2=x2+2xy+y2=1+ 10 xy≤1++y)2 ，当且仅当x=y时取等号，则 10.一22【解析】要使(e1-e2)·e3最小，需e1-e2 4 模长最大，且与e3夹角为π，故当e2,e3同向，且 士飞改+即yA时 e2,e1反向时，(e1-e2)·eg=|e1-e2|·|e3|cosπ= 3 一2，可取得最小值一2；设e1十e2十e3=一e4,即 x十y的最大值为2，故D正确， e1十e2十e3十e4=0,又e1,e2,e3均为单位向量，若 e1,e2共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连一条线段，则 8.CD【解析】a,b,c是平面内共始点的三个非零向 此时e1十e2与e共线，不符合题意；所以e1,e2不 量，且两两不共线，x∈R,以a,b作为一组基底，则对 共线，则e1,e2,e3,e4首尾相连形成一个菱形，即 任意向量c,存在唯一的有序数对(m,n),使c=ma十 e1=-e3,e2=-e4,因为xe1十ye2十ze3=0,x十 nb,对于A,由方程ax2+bx十c=0,可得c=-x2a一 y十x=2025,所以ye2=-xe1-ze3=(z-x)e1, xb,则有m=一x2,n=一x,因为一x与n一一对应， 故方程不可能有两个实数解，故A错误；对于B,若 则y==0>x=-2所以千六 取c=2a+3b,则方程组{ -x2=2, -x=3 无解，故B错误； x一2 y+z 对于C,当m十n=-x2-x=-(x+2)》十 四、解答题 11.(1)证明：由OA=4a-2b,OB=6a+2b,0元= }(-,]时，方程有解，结合A项结论，可知方 2a-6b, AB=OB-OA=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b, 程最多有一个实数解，故C正确；对于D,设向量a, b,c的公共始点为O,终点分别为A,B,C,假设A, BC=OC-OB=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b= B,C三点共线，则必存在实数入使AB=λBC,即 -2(2a+4b)=-2AB, A0+OB=λ(B0+OC),整理得OA=(1+λ)OB- 则ABBC,且有公共点B, λOC,由a,b,c为非零向量，且两两不共线，可得入≠ 所以A,B,C三点共线 0,所以0心=(1+)丽-0i,又c=-a (2)解：由4a十b与如十6共线，则存在实数 ,所以-=1+只，-=一员，两式相加，-2 入，使得4a+2b=(合a+b), x=1,即x2十x十1=0，该方程无实数解，与题设矛 即(4-2边)a+(2k-ab=0, 盾，故假设不成立，即三个向量终点不可能共线，故D 正确. 又a,b是不共线的两个非零向量， 三、填空题 1 4-2=0, 因此 9. {(3-3亚 10 -1-9）,(3+3 10 10 2k-1=0, -1+91正)}【解析】由题意，a=（1,2),b=(2, 入=一2， 10 解得A2, 或 k=4 k=-4, 5),c=(p,q),且c=ma+nb,所以p=m+2n,q 2m+5n,因为m+n=1,所以p=n+1,q=3n+2, 所以实数k的值是士4，当k=-4时，4a十2b与 由c|=√p2+q=10,可得(n十1)2+(3n+2)2= 100,整理得10n2十14n-95=0,解得n= 2ka十b反向共线. -7-3亚或”=7+3 12.(1)解：因为0P的“完美坐标”为[3,4]，则O妒= 10 10 .当n 3e1+4e2, 7-3正时，p=3-3正，g 1,g=-1-917 又因为e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量， 10 10 10 且夹角为60°， ·32· ·数学· 参考答案及解析 所以|e1|=|e2|=l,e1·e2=|e1lle2lcos60°= 1 2 因为x∈R,所以-厄<2sin(x十T)≤厄，即 所以|Op|=√/(3e1+4e2)-√9e+24e·e2+16e √2≤t≤√2， =、9+24×号+16=5m. 令g)=g-10+1+2=2g2+1+1)=司 1 (2)证明：由(1)知e1·e2=2, (e+)‘+g(-<<2 所以a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1十y2e2) 因为g0的图象是对称轴为1=-号，开口向上的 =x1x2e+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y2e2 抛物线的一部分， 1 =x1x2+y1y2+2(x1y2+x2yi), 所以当=一专∈[-反，B]时，g取得最小值 即a…b=1ty+2:+ g(-2)=8, (3)解：因为向量a,b的“完美坐标”分别为[sinx, 1],[cosx,1], 当：=反时，g)取得最大值g(2)=号×(2+ 由(2)得f(x)=a·b=sinc+1+2(sinx十 V2+1)=3+2 2 cos x). 令t=sinx十cosx=Ein(x+军），则sin 所以子x)的值域为[，3] -D. 数学（十二） 一、选择题 1,A【解析】如图所示，可知AD= 2(币+)=(A市+}A)-}市+， A成+BD-A店+号BC-A店+ 又D-A店-AD,所以A,D成=(？AD+ M 成-)=号店+成- 君)·(-A市=-A市+号A市·A成+ 2Ai,所以A=0十6 1 后A成=A:+号A币·1a1cs号十 2.A【解析】因为点P在BM 上，所以设BP=tBM,则AP= 日a=-x2+×2x3x+日×g-2 AB+BP=AB+tBM=AB+ 4.A【解析】因为三个力平衡，所以F1十F2十F3=0,所 (AG-A)=(1-)A+ 以F3|=|F1十F2|=√/TF12+2F1·F2+F2= 1 1一t=2’ +2x1×西246+（西2-反.设 AC.又A-号A馆+m·花，则 解 Fg与F1的夹角为0，则|F21= t 4 =m, 1 √E+F,+2Fk,cos9,即5,2- 2 t2' 得 √12+(V2)+2X1X√2cos0,解得cos0= m=8 _6+√2 4 3.B【解析】因为A应=号A店且 5.B【解析】由平行四边形法则得PA+PB=2Pò， 点F是DE的中点，所以AF 故(PA+PB)·PC=2PO·PC,|PC1=2-|PO1, 且PO,PC方向相反，设PO=t(0≤t≤2)，则(PA+ ·33·