精品解析：重庆市凤鸣山中学教共体2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

重庆凤中教共体学校2025—2026学年度上期半期考试 初2023级数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟；2．试题总分150分；3．试卷页数4页． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、 B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 组成单词的字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测沙坪坝区的空气质量 B. 了解全国中学生的心理健康情况 C. 调查华为三折叠屏手机的使用寿命 D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 4. 如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有个★，第②个图形中共有个★，第③个图形中共有个★，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的★个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则下列排序正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（ ）元． A. 3320 B. 3440 C. 3450 D. 3456 9. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，，，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①存在满足条件的，使得整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为______． 12. 如图，两条平行线被直线所截，若，则___________． 13. 若为正整数，且满足，则___________． 14. 若实数x，y同时满足，则的值为________ 15. 如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________． 16. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数3652，因为，所以3652是“和同数”．按照这个规定，最大的“和同数”与最小的“和同数”的差是___________．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，若被3除余2，且被7整除，则满足条件的正整数的和是___________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题和18题每道8分，其余各题每道10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出它的正整数解 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，凤中教共体学校组织七、八年级学生开展“灵动数据·智汇”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该教共体学校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理（共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），成绩在90以上（含90分）为优秀．下面给出了部分信息： 七年级两组同学的成绩分别为：94，93，93，93，90，89，89，88，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 93 八年级 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，______，_______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有480人，请估计该校七、八年级成绩为级的学生共有多少人． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． （1）求、两种书籍分别购进多少本？ （2）该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 22. 如图，在矩形中，，连接，动点从点出发沿折线方向运动，同时动点沿射线方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时，P，Q两点时同时停止运动，连接．设运动的时间为秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆凤中教共体学校2025—2026学年度上期半期考试 初2023级数学试题 考试说明：1．考试时间120分钟；2．试题总分150分；3．试卷页数4页． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、 B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 组成单词的字母中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 检测沙坪坝区的空气质量 B. 了解全国中学生的心理健康情况 C. 调查华为三折叠屏手机的使用寿命 D. 检测神舟二十号载人飞船的零部件质量情况 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了全面调查的定义，全面调查适用于对象数量少、重要性高或要求精确的情况．神舟飞船零部件质量关乎安全，必须每个检查；其他选项范围广或有破坏性，适合抽样调查． 【详解】解：A．检测空气质量，范围大，适合抽样调查； B．了解全国中学生心理健康情况，范围广，适合抽样调查； C．调查手机使用寿命，有破坏性，适合抽样调查； D．检测飞船零部件质量，每个零部件都必须检查，适合全面调查． 最适合采用全面调查的是D． 故选：D． 4. 如图，已知A，B，C是圆O上的三点，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 5. 下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有个★，第②个图形中共有个★，第③个图形中共有个★，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的★个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】仔细观察图形，找到图形中★个数的通项公式，然后代入求解即可． 【详解】解：∵第①个图形中共有个★， 第②个图形中共有个★， 第③个图形中共有个★， …， ∴按此规律排列下去，第个图形中共有个★， ∴第⑥个图形中的★个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大． 6. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了判断点是否反比例函数的图象上，把点逐一代入解析式即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，图象一定经过点，符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 故选：． 7. 若，则下列排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了科学记数法，有理数大小比较，通过计算各数的具体数值，比较大小．负数d最小，正数中a的指数最大故最大，b和c通过指数和系数比较． 【详解】解：， ， ， ， ∴ ． 故选：B． 8. 李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利达到2880元，且从2月到4月，若每月盈利的平均增长率都相同．那么按照这个平均增长率，预计五月份这家商店的盈利将达到（ ）元． A. 3320 B. 3440 C. 3450 D. 3456 【答案】D 【解析】 【分析】设每月盈利的平均增长率为x，列方程解方程进而即可求解； 【详解】解：设每月盈利的平均增长率为x， 根据题意，， 解得：（舍去）， 五月份这家商店的盈利为（元）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 9. 如图，四边形是正方形，点是边上一点，，交的延长线于点，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要涉及正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等数学概念． 过点作交于点，通过构造全等三角形，将已知线段、与正方形的对角线建立联系，进而求出的长度． 【详解】解：过点作交于点． 四边形是正方形， ，， ， 又，即， ， ． ，， ， ， ， 又，，， ． 在和中， ， ． ，． ，， 根据勾股定理． ． 在中，， ． 故选∶A． 10. 已知整式，其中，，，，为整数，，为正整数，且，下列说法： ①存在满足条件的，使得整式为二次三项式； ②若，则满足条件的整式之和为； ③满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的定义，系数条件限制下多项式构造，推理能力等，合理分析给定条件是解题的关键．根据给定的条件逐条分析判断即可． 【详解】解：根据题意，，且，为正整数，说法①，若为二次式，则，则， ，即， ，，，，为整数，，为正整数， ，，；或，，；或，，； 只有两项或一项，故不存在任何一个，使得满足条件的整式为二次三项式，故①说法错误； 说法②：当时和时，整式的最高次为， 当时，， ，，，， ， ， 整式为：， 满足的整式之和必有出现，故②说法错误； 说法③：由上述分析可知，当时，可能的整式为：，，，，，，，，，，共个； 当时，可能的整式为：，，，，，，，，，，共个； 当时，可能的整式为：，，共个， 满足条件的整式的个数有个，故③说法正确； 正确的个数为个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 不透明袋子中有3个红球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，根据概率公式直接进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 12. 如图，两条平行线被直线所截，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与邻补角的定义，解题的关键是利用平行线的同位角相等，结合邻补角的和为建立方程求解． 先根据平行线的性质得出，再结合和邻补角的关系，建立方程求解的度数． 【详解】解：， ， 与是邻补角， ， 又，且， ， 将代入，得： 解得：， ． 故答案为：． 13. 若为正整数，且满足，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过平方法估算的范围即可． 【详解】解：． ， ， 故答案为：4． 14. 若实数x，y同时满足，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的性质，解二元一次方程组，负整数指数幂，根据绝对值的非负性可得，据此分和两种情况，根据已知条件建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 当时， ∵， ∴， 解得，此时； 当时， ∵， ∴，此时方程组无解，不符合题意； 综上所述，； 故答案为：． 15. 如图，已知是的直径，弦于点，过点作的切线交的延长线于点，为的中点，连接．若，则的半径是__________，__________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题关键． 连接，，，根据垂径定理可得，根据切线的性质定理可得，即，进而可得，再解得，然后证明，设，易得，，在中，利用勾股定理解得，即可求出半径，再用三角函数求出的长即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 是的切线， ， ， ， ， 于点，， ， 设， 为的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，即的半径为4． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：4，． 16. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数3652，因为，所以3652是“和同数”．按照这个规定，最大的“和同数”与最小的“和同数”的差是___________．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，若被3除余2，且被7整除，则满足条件的正整数的和是___________． 【答案】 ①. 8998 ②. 2497 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识．根据“和同数”的定义即可求出最小和最大的“和同数”；由，结合“和同数”的定义可得，，进而得到，可知能被3整除，设（为整数），则，结合能被7整除，，即可求解． 【详解】解：要使正整数最小，则， ， ， ， ， ∴最小的“和同数”是1001； 要使正整数最大，则， ， ， ， 取，， ∴最大的“和同数”是9999， 故最大的“和同数”与最小的“和同数”的差是； ， ， ， 又，即， ， ， ， 被3除余2， ， 即能被 3 整除， 设（为整数）， 整理得， ∵能被7整除，， ∴当时，， 当时，， 此时， 且 301 能被 7 整除， ∴能被 7 整除， ∴或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴满足条件的正整数有， 则满足条件的正整数的和是， 故答案为：8998，2497 ． 三、解答题：（本大题9个小题，17题和18题每道8分，其余各题每道10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出它的正整数解 【答案】不等式组的解集为，所有正整数解为 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为，所有正整数解为． 18. 学习了特殊平行四边形后，小明同学在数学研修活动中进行了拓展性研究．他利用菱形，借助直尺和圆规，作出了矩形．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：如图，在菱形中，对角线相交于点．在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（只保留作图痕迹，不写作法，不另外添加字母和符号）； （2）求证：四边形为矩形． 证明：，①______． 四边形是菱形， ，，， ， ，②______， 又，四边形为③______． ，④______． ， 四边形为矩形． 【答案】（1） 解：如图即为所求： （2）①；②；③平行四边形；④ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，矩形的判定等，解题的关键是根据要求尺规作图． （1）根据题意画图即可； （2）根据垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得四边形为矩形． 【小问1详解】 作法：延长，以为圆心，的长为半径，在的延长线上画弧，即为点；连接，分别以，为圆心，的长为半径，在的上方画弧，两弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，即为点 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， ∴四边形为矩形． 故答案为：①；②；③平行四边形；④． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，凤中教共体学校组织七、八年级学生开展“灵动数据·智汇”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该教共体学校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理（共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），成绩在90以上（含90分）为优秀．下面给出了部分信息： 七年级两组同学的成绩分别为：94，93，93，93，90，89，89，88，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 93 八年级 88 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，______，_______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有480人，请估计该校七、八年级成绩为级的学生共有多少人． 【答案】（1），88，40 （2）七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）利用样本估计总体，根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：由条件可知七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为C组按从大到小的倒数第2和第3个数据（即88与89）的平均数， ， 88出现的次数最多，出现5次，所占的百分比为， ∴． ， 故答案分别为：，88，40． 【小问2详解】 解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好． 理由：由表格可知，在平均数相同时，七年学生的竞赛成绩中的中位数、众数、优秀率均高于八年级学生的．（理由不唯一，合理即可） 【小问3详解】 解：由题意可得，（人） 答：七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生成绩为A级的共有159人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，负整数指数幂和零指数幂．先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后计算出x的值，并代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进、两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本种书籍的进价为25元，每本种书籍的进价为40元，其中购进的种书籍的数量比种书籍数量的2倍多4本． （1）求、两种书籍分别购进多少本？ （2）该书城在“世界读书日”当天售出、两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中种书籍的销售额是1200元，已知每本种书籍的售价是每本种书籍售价的1.6倍，求每本种书籍的售价是多少元？ 【答案】（1）种书籍购进本，两种书籍购进本 （2）48元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程、分式方程的应用，理解题目间的数量关系是解题的关键． （1）设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，根据“购进、两种畅销书籍，共花费3700元”列方程求解； （2）设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，根据“当天售出、两种书籍共63本”列分式方程计算求解． 【小问1详解】 解：设B种书籍购进本，则A种书籍购进本，由题意可得： ，解得， （本）， 答：种书籍购进本，两种书籍购进本； 【小问2详解】 解：设每本种书籍售价元，则每本种书籍售价元，由题意可得： ，解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：每本种书籍的售价是48元． 22. 如图，在矩形中，，连接，动点从点出发沿折线方向运动，同时动点沿射线方向运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时，P，Q两点时同时停止运动，连接．设运动的时间为秒，记的面积为，的面积与的面积之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）； （2）图见解析，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，解直角三角形，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）分，，根据三角形的面积公式求出关于的函数表达式，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出关于的函数表达式，即可； （2）列表，描点，连线画出函数图象，根据图象写出的一条性质即可； （3）图象法求出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， 当时，， 作，则：， ∴； ∵， ∴， 综上：；； 【小问2详解】 列表如下： 1 2 3 5 8 2 1 6 0 4 2 描点，连线如下： 由图可知，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 由图象可知：时的取值范围为或． 23. 如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 【答案】（1）海里 （2） 解：过点作于点O， 在中，，， ∴， ∴小艇从到用时（小时）， 而检查用时分钟小时， ∴小艇从到再检查用时（小时）， 由题意得：， ∵中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴用时：（小时）， ∵， ∴能及时将维修配件送达灯塔M． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作交的延长线于点，由题意得：，，，，则，，，解，设，则，解得到，，解得，即可求解； （2）过点作于点O，解，求出，可求小艇从到再检查用时小时，可得为等腰直角三角形，则，那么，由勾股定理得，则，那么用时：小时，由，得到能及时将维修配件送达灯塔M． 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于点， 由题意得：，，，， ∴，，， 在中，， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴海里； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可； （2）求出坐标，则设 ，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，求解即可； （3）先求出新抛物线解析式，再分点E在直线下方和点E在的上方两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设 ， ∵轴交直线于点，交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：如图，设直线与y轴交点为点S，抛物线与y轴交点为C，过B作轴于点P， ∵， ∴，， 对于，当时，，则， ∴轴，则； 对于，当时，，则， ∴， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度可得新抛物线， ∴新抛物线的解析式为； 若点E在直线下方，设直线交x轴于K， ∵， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴； 若点E在的上方时，如图，在上取点K，连接，使得，则， 设，则， 在中，得， 解得，则，，， 延长交y轴于T，则，， ∴在中，，， ∴， 设直线与y轴交于点H，过H作于N， ∵， ∴， ∴，则， 在中，， ∴，解得， ∴ ，则， ∴， 设直线的表达式为， 将、代入，得，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 综上，满足条件的点E坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，二次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，（架桥铺路）最值问题，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题和角度问题是解题的关键． 25. 在中，，点为边上中点，为直线上一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长度； （2）如图，若，点为边上一点，且，连接并延长至点，使，连接．请猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，，点为直线上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点为的中点，连接，请直接写出当取得最小值时的面积． 【答案】（1）； （2）解：， 理由如下：如图，延长至，使得，连接， ∵点为边上中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，， ∵，点为边上中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）当取得最小值时的面积为． 【解析】 【分析】（）由等腰三角形的性质可得，，，，则，根据性质可得，设，则，则，然后求出的值即可； （）延长至，使得，连接，证明，则，，设，，再证明，故有，，从而求出，所以，过作于点，可得，然后由线段和差即可求解； （）通过勾股定理得，由折叠性质可知，，，则点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接，所以点在以为圆心，为长度的圆上运动，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点，由平行线分线段成比例可得，求出，所以，证明，则，故，求出，所以，然后用面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，点为边上中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为边上中点， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 如图，点在以为圆心，为长度的圆上，即点在上运动，取中点，连接， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为长度的圆上运动， ∴如图，当点三点共线时，当取得最小值，过作，交于点，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴当取得最小值时的面积为． 【点睛】本题考查了圆有关概念，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $