精品解析：江苏省南京市南京中华中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

南京市中华中学2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张海林 审题人：苏宗瑞 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示， ，所以. 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“”的否定是. 故选：B 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案. 【详解】函数要有意义，需满足， 解得且，即函数的定义域是， 故选：D 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以先利用基本不等式求出的最小值，然后解关于的不等式即可. 【详解】因为， ，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，等价于的最小值大于， 所以，解得， 故选：B 6. 函数是定义域上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数的单调性，结合指数函数的单调性列式求解即得. 【详解】依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 7. 当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（ ）．（精确到百年，参考数据：） A. 3800年 B. 4200年 C. 4600年 D. 5000年 【答案】C 【解析】 【分析】设该生物的死亡时间为t，根据题意列出关于t的方程，利用指数方程的求解，转化成对数求解即可得到答案． 【详解】设这头大象大约生活在距今t年，则 ， 这头大象大约生活在距今约4600年， 故选：C. 8. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】合理对所给选项变形，构造基本不等式处理即可. 【详解】对于A，令，由二次函数性质得当时，取得最大值，此时，故A正确， 对于B，原式可化为，而，当且仅当时取等，故的最大值1，即B正确， 对于C，令，当且仅当时取等，但此时不为实数，故无法取等号，即的无法取到最小值2，故C错误， 对于D，易知，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ABD 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数和函数表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由抽象函数求定义域方法得到，求出，得到定义域；B选项，两函数定义域不同；C选项，换元法得到，，由单调性求出值域；D选项，方程思想求解函数解析式，得到，与题目条件联立求出答案. 【详解】A选项，令，解得， 故函数的定义域为，A正确； B选项，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，令，故， 故，， 因为，所以在上单调递增， 故， 函数的值域为，C正确； D选项，满足①， 故②， 联立①②得，D正确. 故选：ACD 11. 关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：1 13. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数的性质求出，再由指数函数的性质可得. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 所以，，则， 即函数的图象过定点. 故答案为：. 14. 若，，，则的最小值为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据已知等式可得，代入所求式子结合基本不等式即可得最值. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可； （2）根据对数运算性质运算求解即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 . 16. 已知集合，集合． （1）时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解一元二次不等式求出集合，依题意可求得. （2）分和两种情况讨论，分别得到不等式组，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合， 集合， 则； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 则的取值范围为． 17. 已知函数，其中. （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【小问1详解】 因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． 【小问2详解】 二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） 是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. （2） 在上单调递增.证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 19. 若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍区间”，特别地，当时，称为的“特别区间”. （1）若为函数的特别区间，求实数的值； （2）证明：函数存在“3倍区间”. （3）设为实数，函数存在特别区间，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 假设函数存在“3倍特别区间”为，则其值域为， 当时，易得在区间上单调递增， 则，即 此时易得a，b为方程的两根， 求解得或，故定义域，则值域为， 所以函数存在“3倍区间”，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“特别区间”的定义可得值域，即可求解； （2）根据“倍区间”的定义，结合二次函数的单调性，即可求解； （3）根据题意可将问题转化为，方程在区间上有两不相等的实数根求解. 【小问1详解】 因为为函数的特别区间，所以函数的定义域和值域都是， 因为在区间为增函数，故其值域为， ，， 解得或1（舍），所以的值为2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若函数存在特别区间， 因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知， 即， 因为，所以． 易得． 所以， 令代入化简可得， 同理也满足， 即在区间上有两不相等的实数根． 故，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市中华中学2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张海林 审题人：苏宗瑞 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 5. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数是定义域上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 当生物死亡后，它体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来是一半，这个时间称为“半衰期”．在最近的一次发掘中，三星堆3、4号祭祀坑出土了170多颗象牙．某志愿者检测到某颗象牙的碳14含量只剩下原来的，根据该志愿者的检测结果，可推断，这头大象大约生活在距今（ ）．（精确到百年，参考数据：） A. 3800年 B. 4200年 C. 4600年 D. 5000年 8. 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为1 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 10. 下列说法中正确的有（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 函数和函数表示同一个函数 C. 函数的值域为 D. 函数满足，则 11. 关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点坐标是__________. 14. 若，，，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）. 16. 已知集合，集合． （1）时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数，其中. （1）若在区间上具有单调性，求的取值范围； （2）当时，函数的最大值为，求实数的值. 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 19. 若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍区间”，特别地，当时，称为的“特别区间”. （1）若为函数的特别区间，求实数的值； （2）证明：函数存在“3倍区间”. （3）设为实数，函数存在特别区间，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $