河北省唐山市第一中学2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题

2026-2027年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人：李雪芹赵学颖 审核人：赵学颖李雪芹 一、单选题 1.已知集合A={x∈N-3<x<2},B={x>-,则AnB=() A.{xx>-3}B.{x1<x<2 c.{0,} D.{-2,-1,0,1} 2.命题x∈[0，+0)，x2+1>0的否定是() A.x∈[0，+m),x2+1≤0 B.x∈(-0,0)，x2+1>0 C.x∈[0，+0)，x2+1≤0 D.3x∈[0，+0)，x2+1≥0 3.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是() A.y=x2 B.y=x+I C.y=x-1 D.y=x 4.已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+与y轴没有公共点，则实数m的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.3 5.已知a、b、c都是实数，使a>b成立的一个充分不必要条件是() A.a+c>b+c B.ac<bc C.a2>b2 D.ab 6.函数f(x)= +2a-a2若对6eR(G5都有f色)<0废立， (-a-5)x+1,x≥2 X1-X2 则实数a的取值范围为() A.[-3,- B.[-3,-1) C.(-5,-1) D.(-5,-3] 7.已知函数f(x)=Var2+x+c的定义域和值域均为[0,3]，则关于x的不等式a<b的解集为（) x+1 〔1》 B.（-4,1) 。.(,儿（ D.（-0,-4)U(-1,+0) 翅不等式}+4≥x-3x+,对满足2a+b1-Q=0的所有正实数a,b都成立，则正数x的显 为() A.3 3 C.1 D 试卷第1页（共3页） 二、多选题 9.己知正数x,y满足x+2y=1,则下列说法正确的是() A.9的最大值为日 B.（x+2)(2y+3)的最大值为9 C.Vx+√2y的最小值为√2 D.14 二+一的最小值为9+4√2 x V 10.下列说法正确的是() A.命题“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题 B.若集合A={m2+2x+1=0}的非空真子集为0个，则实数a的取值范围是a>1 C.若函数f(2x)的定义域为[-2,4]，则y=f(x+1)的定义域为[-5,7] D.若函数y=√2027-x+-2026的值域是[1，V2 1.已知函数f()的定义线是Q+网)且f()-f0)-f月，当x>1时，f(>0,且/)-山下 列说法正确的是() A.f1)=0 B.函数f(x)在(0，+∞)上单调递减 cfG)/小fe)0 D.满足不等式∫(x)f(x-1)≥3的x的取值范围为 17 三、填空题 12.若函数f(x)=-2x2+x+3在区间[-1，m]上的最小值是f(m),则实数m的取值范围是一· 13.设函数N)=任-)+近+a的最大值为M,最小值为m,若M+=10,则a= x2+1 14.已知对任意的x<0,不等式(a-4)(x2+b)≥0(a,b∈Z)恒成立，则a2-b的最小值为 四、解答题 15.设全集U=R,集合A={x2≤x≤7}，集合B={x3-2a≤x≤a-2} (1)若a=4,求AUB、A∩(C,B): (2)若A≤B,求实数α的取值范围； (3)若A∩B=B,求实数a的取值范围， 试卷第2页（共3页） 16.李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产x件，需另投入成本 c(x)(单位：元)，当产品的年产量不足30件时，c(x)=10x2+100x;当产品的年产量不小于30件时， c(x)=501x+1000-450:若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利 润=总收入-成本) (1)求年利润f(x)(元)关于年产量x(件)的函数关系式： (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 17.已知二次函数f(x)的最小值为2，且f(0)=f(4)=6. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)在区间[2a,a+1上不单调，求实数a的取值范围： 句当x]时，因1面成立，求实数m的取位范围 18.已知函数f()=x+人，g()=c+2. 当k=1时：求函数)=+子+)的值域。 (2)当k>0时，①用单调性的定义法证明f(x)在(0，√)上单调递减： ()若对任意的x∈[0,2]，存在x2∈[1,4]，使得g(x)≥f(x2)成立，求实数k的最大值. 19.我们把满足“对任意x∈D,总存在唯一的x2∈D,使得f(x)+2g(x2)=k成立的函数f(x),称为函 数g(x)在区间D上的k阶搭配函数'：当f(x)=g(x)时，称f(x)为区间D上的k阶自搭配函数 (1)判断函数f(x)=x是否为区间[1,3]上的5阶自搭配函数”，并说明理由： (②)若函数f(x)=x+1是函数g(x)=在区间[a,](b>a>0)上的4阶搭配函数”，求ab的最大值： ⑧)若商数了)是西数g)=t-2x+5在区间Q上的m阶搭配西数，求实数m的取值范用 试卷第3页（共3页）2026-2027年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人：李雪芹赵学颖 审核人：赵学颖李雪芹 一、单选题 1.已知集合A={x∈N-3<x<2},B={xr>-},则AnB=() A.{x>-3}B.{x1<x<2} c.{0,} D.{-2,-1,0,1} 【答案】c 【分析】求出集合A,利用交集的定义可求得集合AOB 2.命题x∈[0，+0)，x2+1>0”的否定是() A.x∈[0，+m),x2+1≤0 B.x∈(-m,0),x2+1>0 C.3x∈[0，+0)，x2+1≤0 D.3x∈[0，+0)，x2+1≥0 【答案】C 【分析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可， 3.已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是() A.y=x2 B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=x 【答案】D 【分析】根据函数定义判断. 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数x,通过对应关系在N中 都有唯一的数y与之对应 A选项中，当x=4时，y=42=16EN,故A不能构成函数： B选项中，当x=-1时，y=-1+1=0廷N,故B不能构成函数； C选项中，当x=-1时，y=-1-1=-2廷N,故C不能构成函数： D选项中，当x=±1时，y=x=1∈N,当x=2时，y=x=2∈N,当x=4时，y=x=4∈N,故D能 构成函数 故选：D. 4.已知幂函数f(x)=(m2+2-2)xm与y轴没有公共点，则实数m的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.3 【答案】A 【详解】幂函数要求x前面系数为1， 试卷第1页（共9页） 5.已知α、b、c都是实数，使a>b成立的一个充分不必要条件是() A.a+c>b+c B.ac2<bc2 C.a2>b2 a b D. 【答案】B 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可， r2aa2若对%：eg≠5那有ff<0度立. （-a-5)x+1,x≥2 6.函数f(x)= x1-X2 则实数a的取值范围为() A.[-3,-1] B.[-3,-1) C.(-5,-1) D.(-5,-3] 【答案】A 【分析】根据题意得到∫(x)在R上单调递减，分段函数在R上单调递减，需每一段上均单调递减，且分 段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案 7.已知函数f()=va+bx+c的定义域和值域均为[0,3]，则关于x的不等式 <b的解集为() x+1 〔l别 B.(-4,-1) c. D.(-∞，-4)U(-1,+0) 【答案】C 8。已知不等式2+会≥-3x+号对满足2a+6-a)=0的所有正实数a,b都成立，则正数x的最大伯 1.4 为() A.3 3 B. C.1 D. 2 2 【答案】A 【分析】先对条件等式变形得到后+片1，结合铜两不等式求出代数式子+的最小位，用根搭恒成立 理列不等式求解， 【详解】因为a,b为正实数，所以由2a+b(1-a)=0得2a+b=ab,即2+上-l, b a 0)-06- 当且仅当2 ,且2a+b=ab,即a=2,b=4时，等号成立， b a 14、1 试卷第2页（共9页） 2+4≥x2一3x+二对满足2a+b(1-a=0的所有正实数a,b者 2 1,4 所以a+ ≥3x+即之r-3x+整理得-3x<0 解得0≤x≤3，所以正数x的最大值为3. 二、多选题 9.已知正数x,y满足x+2y=1,则下列说法正确的是() A.y的最大值为g B.（x+2)(2y+3)的最大值为9 1,4 C.Vx+√2y的最小值为√2 D.二+-的最小值为9+4√2 xv 【答案】AD 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解 【详解1对于A因为0y>0+2y=1,片以2ys2-日-日为到安 x=2y 1 当且仅当 x+2y=1即x=2)=4时，取等号，所以A正确， 对于B,错误 对于C,因为(Nx+V2y)2=x+2y+2√x.2y=1+2Vx2y≤1+2， 2×- =2 8 所以Vx+V2y≤V2,故C错误， 对于D,正确 10.下列说法正确的是（) A.命题“若x=4,则x2-3x-4=0”为真命题 B.若集合A={a+2x+l=0}的非空真子集为0个，则实数a的取值范围是a>1 C.若函数f(2x)的定义域为[-2,4]，则y=f(x+1)的定义域为[-5,7] D.若函数y=√2027-x+k-2026的值域是1，V2 【答案】ACD 试卷第3页（共9页） 1.已知睡数f()的定义城是Q+m)且/(-)=f母当>1时，f代创>0，且/份)-1，月 列说法正确的是() A.f(1)=0 B.函数f(x)在(0，+∞)上单调递减 c.()/()(060 D.满足不等式f(x)-f(x-1)≥3的x的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用赋值法可判断A和C:结合函数单调性的定义可判断B;利用单调性解不等 式可判断D. 【详解】函数f代)的定义设为0+树个且f)f}0), 对于A,取x=y=1,则f)=f(四)-f()=0, 再取x=ly=2,则f2)=f0-兮)0-(-)=1，放A正确： 对于B,,∈(0，+0)且x<为，有点>1， 因为x1时，>0，所}小0，于是小)=使0， 即f(x)>f(:),所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，故B错误： 对于c取x=1,y=0+).则f0)-0=f0⑨ 即f)+/日=f0=0, 则有fp-)-f)-fr-0 因t/2+/+f0)+f写》-fe026/(3026-0.版c正确 对于D 试卷第4页（共9页） 三、填空题 12.若函数f(x)=-2x2+x+3在区间[-1，m上的最小值是f(m),则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】由二次函数的图象的性质可得m的取值范围. 【详解】因为函数f()开口向下，且对称轴x= 41 3 由题意可知-1+m≥2×，，即m之 21 i.) 故答案为： 13.设商数fx)-任-)+⊙近十a的最大值为M,爱小值为m,若M+m=10,则a- x2+1 【答案】4 【详解】gy)-)+派.产-2x+14派-12x-派 x2+1 x2+1 x2+1 令)-x)-1=26,则(-x)= 2-2x-派-hK) x2+1 (-x)+1x2+1 ∴h(x)为R上的奇函数， 14.已知对任意的x<0,不等式(amc-4)(x2+b)≥0(a,b∈Z)恒成立，则a2-b的最小值为 【答案】8 【分析】利用分类讨论思想，分b≥0和b<0两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数，可得 答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案 【详解】当b≥0时，由(a-4)(x2+b)≥0，可得a-4≥0对任意的x<0恒成立， 即a≤4对任意的x<0恒成立，此时a不存在： 当b<0时，由(ax-4)x2+b)≥0对任意的x<0恒成立， 作出y=ar-4,y=x2+b的大致图象，如图所示： 试卷第5页（共9页） y=x2+b y=ax-4 a<0 由题意可知4b’ 又a,b是整数， a 故答案为：8 四、解答题 15.设全集U=R,集合A={x2≤x≤7}，集合B={x3-2a≤x≤a-2} (1)若a=4,求AUB、A∩(C,B): (2)若AcB,求实数a的取值范围： (3)若A∩B=B,求实数a的取值范围 【答案】(1)AUB={x5≤x≤7}，A∩(CB)={x2<x≤7) (2){da≥9} .5 8a< 【分析】(1)根据集合的交并补集的定义进行运算即得： (2)由集合间的包含关系得到不等式组解之即得； (3)由集合间的包含关系得到不等式组解之即得. 16.李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产x件，需另投入成本 c(x)(单位：元)，当产品的年产量不足30件时，c(x)=10x2+100x;当产品的年产量不小于30件时， c(x)=501x+10000 4500:若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利 润=总收入-成本) (1)求年利润f(x)(元)关于年产量x(件)的函数关系式： (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ -10x2+400x-2500,0≤x<30,x∈N 【答案】(1)f(x)= 2000 10000Y x+ ,x≥30，x∈N x (2)年产量为100件时获利最大 试卷第6页（共9页） 【分析】(1)根据“利润=总收入一成本”求得y关于x的函数关系式。 (2)结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量。 500x-10x2-100x-2500,0≤x<30 【详解】(1)依题意，y 500.x-501x-10000 +4500-2500,x≥30 -10x2+400x-2500,0≤x<30,x∈N 10000 2000-x+ ,x≥30，x∈N 400 (2)当0≤x<30时，当x=- =20时， 2×(-10) y取得最大值为-10×202+400×20-2500=1500元. 当x≥30时，2000 10000 10000 x+ ≤2000-2，x =1800元， x 当且仅当x=10000 x=100件时等号成立 综上所述，当年产量为100件时，获利最大 17.已知二次函数f(x)的最小值为2，且f(0)=f(4)=6. (1)求f(x)的解析式： (2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调，求实数a的取值范围： 当x[分]时，>+1恒成这，求交数加的取值寇 【答案】(1)f(x)=x2-4x+6 (20<a< 3 9 )2<m 【分析】(1)根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与己知点，可得答案： (2)根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案： (3)整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案。 18、已知函数)=x+女8（刻=-在+2. a)当k=1时：求数()=r+子+()的值战。 (2)当k>0时，)用单调性的定义法证明f(x)在(0，√)上单调递减： (若对任意的x∈[0,2]，存在x2∈[1,4]，使得g(x)≥f(x2)成立，求实数k的最大值. 试卷第7页（共9页） 【答案】0[4+o)2))略(m (2)对任意x∈[0,2]，存在x3∈[1,4]使g(x)≥f(:),等价于g(x)m≥f()m 因为k>0,所以g(x)=-ax+2在[0,2]上单调递减，所以g(:)mm=g(2)=2-2k. 当0<k<1时，f(,)=x+冬在[，4上单调递增，此时f(x)=f)=1+k; 当1≤k≤16时，fx)=x+≥2反，当且仅当x=k∈[L,4利时等号成立， 此时f(x)=2V反； 当>16时，f)=x+冬在4上单调递减，此时f似=了4)=4+冬 当k≥1时，2-2k<0,2瓜>0,4+>0，所以g(x)≥f(3)不成立， 4 数只能是0<k<1的情况，所以2-2k≥1+k,得k≤兮 又0<k<1,所以0<ks 3 故k的最大值为 31 19.我们把满足对任意x∈D,总存在唯一的x2∈D,使得f(x)+2g(x2)=k成立的函数f(x),称为函 数g(x)在区间D上的k阶搭配函数”；当f(x)=g(x)时，称f(x)为区间D上的k阶自搭配函数” (1)判断函数f(x)=x是否为区间，3]上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数f()=x+1是函数g(x)-1在区间[a,b(b>a>0)上的4阶搭配函数，求ab的最大值； (国若面数f)是面数g()=r-2x+5在区间®列上的a阶搭医数、求实数m的取值范国 【答案】(1)否，理由如下： (2)2 ®a劉 【分析】(1)取特殊值x=3可得方程3=-11无解，即f(x)=3不是区间[，3]上的5阶自搭配函数”： (2)根据“k阶搭配函数'定义求得值域间的包含关系，再由不等式性质可得结论： (3)将问题转化为值域包含关系问题，再由二次函数性质得出不等式关系，解不等式即可得实数m的取 值范围 【详解】(1)略 (2)f()+2g()=k成立，即g5)=-x) 2 试卷第8页（共9页） 依题意，当[a,时，y=4-f）_35单调递减， 该函数的值域为 2 2 22 当无e小时，8s)广单调莲藏，该通数的值该为公 由已知， 由于b>a>0,则 -b≥1,3-a≤1 2262≤。 解得1≤b≤2，a≤1或a≥2， 又b>a,所以a≤1，故ab≤2，当且仅当a=l,b=2时等号成立， 即ab的最大值为2. 3)f()+2g(6)=m成立，即gs)=m-) 2 3 对任意∈0引y-m-化)_"+1单调递增，该函数的值球为 m-34m-31 2,8 2 g(x)=x2-2x+5在区间[0，上单调递减，在区间(1,3]上单调递增， 且g(x)在区间[0,3]上的图象关于直线x=1对称如下图： 8 0123x 由图可知若存在唯一的与使gk)m-,可得飞(2,3得， 2 此时g(x)=x2-2x+5的值域为(5,8U{4}, m-3,5 由已知， 有”g (5,8U{4,即 4m-3。,解得13<ms 2 2≤8 4 8 所以m的取值范国是（3， 67 试卷第9页（共9页） 2026-2027年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人:李雪芹 赵学颖 审核人:赵学颖 李雪芹 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 5．已知a、b、c都是实数，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 6．函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”为真命题 B．若集合的非空真子集为个，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则的定义域为 D．若函数的值域是 11．已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．满足不等式的的取值范围为 三、填空题 12．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 13．设函数的最大值为，最小值为，若，则________. 14．已知对任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________. 四、解答题 15．设全集，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围． 16．李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 17．已知二次函数的最小值为2，且. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数，． (1)当时：求函数的值域． (2)当时，(i)用单调性的定义法证明在上单调递减； (ii)若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 19．我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 试卷第2页（共3页） 试卷第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度第一学期期中考试 高一数学试卷 命题人:李雪芹 赵学颖 审核人:赵学颖 李雪芹 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由含量词命题否定的定义，写出命题的否定即可． 3．已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数定义判断. 【详解】对应关系若能构成从M到N的函数，则应满足：对M中的任意一个数，通过对应关系在N中都有唯一的数与之对应. A选项中，当时，，故A不能构成函数； B选项中，当时，，故B不能构成函数； C选项中，当时，，故C不能构成函数； D选项中，当时，，当时，，当时， ，故D能构成函数. 故选：D. 4．已知幂函数与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】幂函数要求前面系数为， 5．已知a、b、c都是实数，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质以及特殊值法逐项对选项进行分析即可. 6．函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到在上单调递减，分段函数在上单调递减，需每一段上均单调递减，且分段处左端点值大于等于右端点值，得到不等式，求出答案. 7．已知函数的定义域和值域均为，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 8．已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对条件等式变形得到，结合柯西不等式求出代数式的最小值，再根据恒成立原理列不等式求解． 【详解】因为，为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数，都成立， 所以，即，整理得， 解得，所以正数的最大值为． 二、多选题 9．已知正数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】根据条件，利用基本不等式，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以，得到， 当且仅当，即时，取等号，所以A正确， 对于B，错误 对于C，因为， 所以，故C错误， 对于D，正确 10．下列说法正确的是（    ） A．命题“若，则”为真命题 B．若集合的非空真子集为个，则实数的取值范围是 C．若函数的定义域为，则的定义域为 D．若函数的值域是 【答案】ACD 11．已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．满足不等式的的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用赋值法可判断A和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断D. 【详解】函数的定义域为且， 对于A，取，则， 再取，则，故A正确； 对于B，且，有， 因为时，，所以，于是， 即，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，取，，则， 即， 则有， 因此，故C正确； 对于D 三、填空题 12．若函数在区间上的最小值是，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由二次函数的图象的性质可得的取值范围． 【详解】因为函数开口向下，且对称轴， 由题意可知，即， ∴． 故答案为： 13．设函数的最大值为，最小值为，若，则________. 【答案】4 【详解】 令，则， ∴为上的奇函数， 14．已知对任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】8 【分析】利用分类讨论思想，分和两种情况，第一种情况直接解不等式，结合反比例函数,可得答案；第二种情况利用数形结合思想，结合题意建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，由，可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，此时不存在； 当时，由对任意的恒成立， 作出的大致图象，如图所示： 由题意可知，又是整数， 故答案为：8 四、解答题 15．设全集，集合，集合 (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据集合的交并补集的定义进行运算即得； （2）由集合间的包含关系得到不等式组解之即得； （3）由集合间的包含关系得到不等式组解之即得. 16．李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） (1)求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； (2)求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 【答案】(1) (2)年产量为100件时获利最大 【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量. 【详解】（1）依题意， . （2）当时，当时， 取得最大值为元. 当时，元， 当且仅当件时等号成立. 综上所述，当年产量为件时，获利最大. 17．已知二次函数的最小值为2，且. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与已知点，可得答案； （2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案； （3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案. 18．已知函数，． (1)当时：求函数的值域． (2)当时，(i)用单调性的定义法证明在上单调递减； (ii)若对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值． 【答案】(1)（2）（i）略（ii） （2）对任意，存在使，等价于． 因为，所以在上单调递减，所以． 当时，在上单调递增，此时； 当时，，当且仅当时等号成立， 此时； 当时，在上单调递减，此时. 当时，，，，所以不成立， 故只能是的情况，所以，得， 又，所以. 故的最大值为． 19．我们把满足“对任意，总存在唯一的，使得成立”的函数，称为函数在区间D上的“k阶搭配函数”；当时，称为区间D上的“k阶自搭配函数” (1)判断函数是否为区间上的“5阶自搭配函数”，并说明理由； (2)若函数是函数在区间（）上的“4阶搭配函数”，求的最大值； (3)若函数是函数在区间上的“m阶搭配函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)否，理由如下： (2)2 (3) 【分析】（1）取特殊值可得方程无解，即不是区间上的“5阶自搭配函数”； （2）根据“阶搭配函数”定义求得值域间的包含关系，再由不等式性质可得结论； （3）将问题转化为值域包含关系问题，再由二次函数性质得出不等式关系，解不等式即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）成立，即， 依题意，当时，单调递减，该函数的值域为， 当时，单调递减，该函数的值域为， 由已知，有 由于，则， 解得，或， 又，所以，故，当且仅当时等号成立， 即的最大值为2. （3）成立，即， 对任意，单调递增，该函数的值域为. 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且在区间上的图象关于直线对称如下图： 由图可知若存在唯一的使，可得， 此时的值域为， 由已知，有，即，解得， 所以的取值范围是. 试卷第6页（共9页） 试卷第5页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $