精品解析：广西南宁市江南等部分区2025-2026学年九年级上学期期中质量检测数学试题

2025~2026学年度秋季学期期中学科素养调研 九年级数学试卷 （调研时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直接坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 1.5 D. 7. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（　　　） A. B. C. D. 9. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 116 A. B. C. D. 11. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒)1斗，价值50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组（　　） A. B. C. D. 12. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 请写出一个使二次根式有意义的x的值______（写出一个即可）． 14. 分解因式：____________． 15. 学校在开展“节约每一滴水”活动中，从九年级的100名同学中任选出20名同学调查了各自家庭一个月的节水情况，将数据（每人上报节水量都是正整数）整理如下表： 节水量x/t 人数/人 6 4 8 2 估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ） A. B. C. D. 16. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2）． 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两边，的长． （1）如果，试求的值； （2）当为何值时，四边形是菱形？ 19. 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息： ．名男生臂展与身高数据如下表： 编号 身高 臂展 ．名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 身高 臂展 ．名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成组：，，）； ．名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线． 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，值：_____，_____； （2）该校九年级有男生人，请估计其中臂展大于或等于的男生人数； （3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，请估计身高为男生的臂展长度． 20. 下图是小明同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于这一命题，请你帮他补充完整． 命题：三角形的三个内角的和等于．已知：如图1，．求证：． 证明：如图2，延长到，以为边，在其右侧尺规作，， ， …… 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求这条抛物线的解析式； （2）当时，求出函数值的取值范围； （3）当时，求函数值的最大值． 22. 综合与实践 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园规划设计的过程． 爷爷要求小明构思一种规划方案，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙两种方案（其中阴影部分为花园）． （1）爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造． ①若甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为_____，宽可以表示为_____（用含有的代数式表示）； ②若乙方案中花园宽为，则花园区域的面积可以表示为_____（用含有的代数式表示）． （2）经过综合考虑，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造，并且确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，请计算花园周围小路的宽度是多少？ （3）为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为，另外三边用篱笆围起来（如图丙）． 若篱笆的总长度为，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个宽的门．设垂直于观赏竹区域的篱笆长为，平行于观赏竹区域的篱笆长为． ①求关于的函数关系式； ②若篱笆围成的矩形面积为，求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？ 23. 综合与探究 数学课上，老师提出如下问题：如图1，中，，为边上的中线．将沿射线的方向平移，得到，其中点，，的对应点分别为，，，请完成： 数学思考】 （1）如图1中，线段与线段的数量关系为_____； （2）如图2，当线段经过点时，连接，，请判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）老师将图2中的绕点按逆时针方向旋转得到，其中点，的对应点分别为，，线段，分别与边交于点，．如图3，当时，让同学们提出新的问题： ①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明； ②“善思小组”提出问题：若中，，，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度秋季学期期中学科素养调研 九年级数学试卷 （调研时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器．考试结束时，将本试题卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据零上为正，零下为负，即可求解． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作， 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 3. 在平面直接坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标的规律，在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数．根据关于原点对称的点的坐标特点即可解答． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是 故选：D． 4. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解某班同学的跳远成绩 B. 了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况 C. 了解全国中学生的身高状况 D. 了解某批次汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全面调查与抽样调查的适用情况． 全面调查适用于范围小、精确度要求高或破坏性小的调查；抽样调查适用于范围大、具有破坏性或无法全面调查的情况． 【详解】解：选项A：某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的跳远成绩，适合全面调查，符合题意； 选项B：夏季冷饮市场冰激凌数量庞大，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意； 选项C：全国中学生人数极多，全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意； 选项D：检测汽车抗撞击能力会破坏被测车辆，无法对所有汽车进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式的法则，积的乘方和幂的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 6. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 3 B. C. 1.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，． 根据求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， 故选：B． 7. 把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图形平移的问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位后， 抛物线的解析式为， 故选：A． 8. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=80°，由等腰三角形的性质可求解． 【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE， ∴AB=AD，∠BAD=80°， ∴∠B=∠ADB=（180°-∠BAD）=50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 9. 秋冬季节是流感高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意，得： ； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 10. 二次函数的自变量与函数值对应值如下表，那么方程的一个近似根的取值范围是（） 1 1.1 1.2 1.3 1.4 004 0.59 1.16 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与求一元二次方程的近似值．熟练掌握表格确定函数值正负的自变量的值，二次函数的图像和性质，是解题的关键． 通过观察表格中函数值的正负变化，确定方程根所在的区间．当函数值由负变正时，对应的自变量区间内存在一个根． 详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程的一个近似根在之间． 故选：B． 11. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十；今将钱三十，得酒二斗，问醇酒、行酒各得几何？”其意思是：今有醇酒（优质酒)1斗，价值50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒x斗，行酒y斗，可列出关于x，y的二元一次方程组（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 利用总价＝单价×数量，结合用30钱买酒2斗，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵要买2斗酒， ∴， ∵醇酒（优质酒）5斗，价格50钱；行酒（劣质酒)1斗，价值10钱， ∴， ∴根据题意可列方程组， 故选：A． 12. 如图，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，结合二次函数与一元二次方程的关系求解是解题的关键． 根据抛物线与直线交于M，N两点，可得方程有两个不等的负实数根，从而可判断． 【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，点M，N在第二象限， ∴方程有两个不等的实数根，且两个根都是负数， 即方程有两个不等的负实数根， ∴二次函数的图象与x轴有两个交点，且交于x轴的负半轴． 故选：A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 请写出一个使二次根式有意义的x的值______（写出一个即可）． 【答案】（即可） 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 故答案为：（即可）． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数为非负数是解答的关键． 14. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 学校在开展“节约每一滴水”活动中，从九年级的100名同学中任选出20名同学调查了各自家庭一个月的节水情况，将数据（每人上报节水量都是正整数）整理如下表： 节水量x/t 人数/人 6 4 8 2 估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】该题考查了加权平均数，根据表格计算出20个家庭中平均每个同学的家庭一个月的节水量，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得平均每个同学的家庭一个月节约用水的量为：， 所以估计这100名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是， 故选：D． 16. 给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则我们称这个矩形是给定矩形的“减半矩形”，当已知矩形的长和宽分别为和时，其“减半矩形”的对角线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，勾股定理，矩形的性质，正确理解题意是解题的关键．设“减半矩形”的一边长为x，则其邻边长为，根据“减半矩形”的面积为已知矩形面积的一半，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再利用勾股定理，即可求出“减半矩形”的对角线长． 【详解】解：设“减半矩形”的一边长为，则邻边为， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，； 当时，； 所以 所以“减半矩形”的对角线长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算 （1） （2）． 【答案】（1）8 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解一元二次方程： （1）先计算乘方和乘法，再计算加法即可； （2）可以利用因式分解法，公式法，配方法解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 方法1： ， 方法2： ，， 方程有两个不相等的实数根 ， 方法3： 则或 ， 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是平行四边形的两边，的长． （1）如果，试求的值； （2）当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】（1）3 （2）当时，四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，解一元二次方程等，熟练掌握根的判别式是解题的关键． （1）把代入方程，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入方程得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，即方程有两个相等的实数根， ， ，，， ， 解得：， 当时，四边形是菱形． 19. 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息： ．名男生的臂展与身高数据如下表： 编号 身高 臂展 ．名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 身高 臂展 ．名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成组：，，）； ．名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线． 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中，值：_____，_____； （2）该校九年级有男生人，请估计其中臂展大于或等于的男生人数； （3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，请估计身高为男生的臂展长度． 【答案】（1）， （2）人 （3） 【解析】 【分析】（）根据中位数和众数的定义解答即可求解； （）利用样本估计总体的思想解答即可求解； （）把代入函数关系式解答即可求解； 本题考查了中位数和众数，样本估计总体，一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由名男生的身高数据可得，中位数， ∵名男生的臂展数据中，出现的次数最多， ∴众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计臂展大于或等于的男生人数是人； 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，， ∴估计身高为男生的臂展长度为． 20. 下图是小明同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于这一命题，请你帮他补充完整． 命题：三角形的三个内角的和等于．已知：如图1，．求证：． 证明：如图2，延长到，以为边，在其右侧尺规作，， ， …… 请你帮他完成作图（只保留作图痕迹，不写作法），并完善证明过程． 【答案】图见解析；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定和性质，理解尺作图的原理是解题的关键．按尺规作图的要求作图即可，由平行线线的判定得出，再根据平行线的性质得出，由平角可进行一步推出． 【详解】解：如图所示，即为所求； 证明：如图，延长到，以为边，在其右侧尺规作， ， ， ， 又， ， 三角形内角和等于． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，． （1）求这条抛物线的解析式； （2）当时，求出函数值的取值范围； （3）当时，求函数值的最大值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的取值范围是 （3）当时，的最大值为，当时，的最大值为16 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把点，代入进行计算，即可作答． （2）先根据得出对称轴为直线，抛物线开口向上，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）理解题意，根据，进行分类讨论，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：抛物线经过点，． ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为； ∴对称轴为直线， 又， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减少； 当时，随的增大而增大． 则当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是 【小问3详解】 解：由（1）得抛物线的解析式为；对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，， 令， 解得，， 当时，随的增大而减少． 当时，随的增大而增大． ①当时，在有最大值 ②当时，在有最大值 综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为16 22. 综合与实践 在国庆假期期间，小明返回家乡，协助爷爷在一块矩形的空地上规划并建造一个花园．以下是小明对花园规划设计的过程． 爷爷要求小明构思一种规划方案，小明结合九年级所学知识，设计了甲、乙两种方案（其中阴影部分花园）． （1）爷爷考虑之后，决定从甲、乙两种方案中选择一种进行建造． ①若甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为_____，宽可以表示为_____（用含有的代数式表示）； ②若乙方案中花园宽为，则花园区域的面积可以表示为_____（用含有的代数式表示）． （2）经过综合考虑，爷爷决定选择甲方案进行花园的建造，并且确保花园面积恰好占据矩形空地的一半，请计算花园周围小路的宽度是多少？ （3）为了保证花园的美观，且防止家中的家禽进入花园．爷爷决定在花园较长的一侧种植观赏竹，观赏竹种植区域的长为，另外三边用篱笆围起来（如图丙）． 若篱笆的总长度为，为方便打理花园，需要在花园较长的另一侧装一个宽的门．设垂直于观赏竹区域的篱笆长为，平行于观赏竹区域的篱笆长为． ①求关于的函数关系式； ②若篱笆围成的矩形面积为，求篱笆围成的区域的长和宽分别是多少？ 【答案】（1）①， ② （2）花园周围小路的宽度是； （3）① ②篱笆围成的区域的长和宽分别是和 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、矩形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）①依据题意，由甲方案中花园周围小路的宽为，则花园的长可以表示为，宽可以表示为，即可得解； ②依据题意，由乙方案中花园宽为，则花园区域的面积为：，进而计算可以得解； （2）依据题意，设甲方案中花园周围小路宽为，空地面积为，又花园面积为空地的一半即，则，进而得解； （3）①依据题意得，，则； ②依据题意，由垂直于观赏竹区域的篱笆长为，则，求出后分类讨论计算可以得解． 【小问1详解】 解：①甲方案中花园周围小路的宽为， 则花园的长可以表示为，宽可以表示为． 故答案为：，． ②由题意得：花园区域的面积可以为：． 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）． 花园周围小路的宽度是． 【小问3详解】 ①根据题意得：， ， 关于的函数关系式． ②由矩形的面积公式得：， 整理得：， 解得或． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ，． 篱笆围成的区域的长和宽分别是和． 23. 综合与探究 数学课上，老师提出如下问题：如图1，中，，为边上的中线．将沿射线的方向平移，得到，其中点，，的对应点分别为，，，请完成： 【数学思考】 （1）如图1中，线段与线段的数量关系为_____； （2）如图2，当线段经过点时，连接，，请判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】 （3）老师将图2中的绕点按逆时针方向旋转得到，其中点，的对应点分别为，，线段，分别与边交于点，．如图3，当时，让同学们提出新的问题： ①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明； ②“善思小组”提出问题：若中，，，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2）是矩形，理由如下 （3）①，见解析②的面积是3 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可直接得出结论； （2）根据平移得到对应边相等和平行，先证明四边形是平行四边形，再根据平移得到为的中位线，从而得到四边形为平行四边形，再加上即可得出平行四边形为矩形； （3）①通过平移和角度的转换得到关键条件，等角对等边得到，再由旋转的性质即可得出； ②过点作，垂足为，用等面积求高法求出，用中位线的性质求，即可求得面积． 【小问1详解】 ∵在中，为边上的中线 ∴ 故线段与线段的数量关系是相等． 【小问2详解】 四边形是矩形． 证明：由平移得， ， 四边形是平行四边形， ∴． 由平移可得， ∵， ∴． 又∵为中点， ∴（为的中位线） ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴平行四边形为矩形． 【小问3详解】 ① 证明： 由平移得 ∴ 又∵ ∴ 在图3中，旋转得到 ， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 由（2）得 ∴ 又∵ ∴ ∴ ②的面积是3． 过点作，垂足为， ∵在中，， ∴ ． 又∵，， （等面积求高法） ∴． ∵，， ∴， ． 故的面积为． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，图形平移的性质，平行四边形和矩形的判定，图形旋转的性质，等腰三角形的判定相关知识点；解题的关键在于熟悉的掌握以上知识点，并且读懂题目，找到旋转或者平移后相对应的边，易错点在于漏掉平移或者旋转后对应的边相等的隐藏条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $