第4章 第19讲 锐角三角函数及其应用(精炼本)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（辽宁专版）

13.解：选择①B-B'D EF =AD,AD CD,.'.EF=CD. CD C'D :三角形BCE是以BC为底的等腰三角形， 证明：△ACD△A'CD', ∴CE=BE,.△DCE≌△FEB,.DE=BF LAc=∠ADC,品品， CD (2)解：如答图，取CE的中点H,连接GH. .∠ADB=∠A'D'B 点G是DE的中点， 又BD=BD'BD-CD CDCDB'DC'D GH-CD-AD=1.CH//CD. 则0品品 设BE=a,则CH=EH=2CB=号BB=7a :.△ABD∽△A'B'D' :BR=A0=-2FH=2a-2 或选择③LBAD=∠BA'D' 证明：，△ACD∽△A'C'D', 'CD∥BE,GH∥CD,.GH∥BE, .∠ADC=∠A'D'C,∠ADB=∠A'D'B △FGH∽△FBE, ∠BAD=∠BA'D',.△ABD∽△A'B'D'. 2a-2 14.(1)证明：如答图，四边形ABCD为矩形， 器日 a 2， .0C=0D,AB∥CD,∴.∠2=∠3=∠4. ∴a=2+22(负值已舍)， DE=BE,.∠1=∠2，∴.∠1=∠3. .BE=2+22 又：BE平分∠DBC,∴.∠1=∠6，∴.∠3=∠6. 又：∠3+∠5=90°，.∠6+∠5=90°，.BF⊥AC. (2)解：△ECF,△BAF与△OBF相似.理由如下： 如答图，由(1)知∠1=∠2， AB∥CD,∴.∠2=∠3=∠4，.∠1=∠4. 又：∠OFB=∠BFO,∴.△OBF∽△BAF. B :∠1=∠3，∠OFB=∠EFC,∴.△OBF∽△ECF 15题答图 第19讲锐角三角函数及其应用 D E 3天 基础集训 6 4 1.B2号3D4.C5B674 B 14题答图 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 (6)屏：△0BF△BCP,器-品 1.解：·四边形ABCD为正方形，点D,A,E在一条直线上， .∠EAB=90° 0F=3,EF=2, 由题意知，∠FAH=90°， 号-品30P=2BR .∠EAF=∠BAH, ..OA =OC,..OA=OF+CF, .tan EAF=tan∠BAH. ∴30A=3CF+30F,.30A=2BF+9.① 在△AI中，mLB4-器-品号 :△0Br△BP,g器-架. 在Rt△EAF中，.tanLEAF-EF_EF .BF2=0F·AF,.BF2=3(0A+3).② AF-11 由①②，得BF=1+√19（负值已舍去）， ∴.DE=BE=2+1+√19=3+√19. 由题意知，FG=1.8, 15.(1)证明：由题意知AD=CD,.∠A=∠DCA. 又：∠A=∠CBE,∴.LDCA=∠CBE, BG=Ef+FG=号+1.8≈9.1(m ∴.CD∥BE,∴.∠DCE=∠BEF 答：树EG的高度约为9.1m. 24 2解：0在△ME中，-6-%=0m(. 六h=3+35xam27≈3+3x17×0.5=11. 1-tan27° 1-0.5 答：索道AB的长约为600m. 答：塔AB的高度约为11m. (2)如答图，延长BC交DF于点G,则CG⊥DF,易得四边形 中考集训 BEFG是矩形，∴.EF=BG. 由题意可知CD=AB=600m. 1.D2A3B4B5A6C号 在Rt△DCG中，∠DCG=45°， 8.1.2[解析]如答图，过点C作CE⊥AB,垂足为E.由题意 .CG=CD·cos∠DCG=300√2(m), 易知四边形CDBE是矩形，∴.CD=BE=1.8米，BD=CE, .AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9(米).在Rt△ACE中， .BG=BC+CG=50+300W2≈473(m), .AF=AE+EF=AE+BG=576+473=1049(m). tanA=Cg,.CE=AE·tanA≈0.9×1.33=1.197≈ 答：水平距离AF的长约为1049m. 1.2(米)，.BD=1.2米 D B45°. --G A16° E F D 2题答图 8题答图 3.解：(1)在Rt△DCE中，∠DCE=30°，CD=6, 9.2.7[解析]如答图，分别过点B,C作OA的垂线，垂足分 DE-CD=3. 别为点D,E,则四边形BDEC为矩形，.CE=BD.易得OD =2,在Rt△B0D中，∠B0D=45°，BD=0D=2,.CE= 答：DE的长为3m CE 2 (2)①在RADCE中，cs∠DCE=EC 2.在Rt△C0E中，∠C0E=37°，0E= an370≈0.75 CD' 2.7,∴.OC与尺上沿的交，点C在尺上的读数是2.7cm ∴.EC=CD·cos∠DCE=6×cos30°=33. B.C 在Rt△BCA中，由tan∠BCA=5 4B=h, ∠BCM=45°， DE A 得CA=AB tan456=hEA=CA+EC=h+3. 9题答图 10.(153+1)[解析]如答图，EN即为建筑物的高，直线 答：EA的长为(h+35)m. CD与EN的交，点为M.由题意，得四边形MNBD、四边形 ②如答图，过点D作DF⊥AB,垂足为F. DBAC、四边形MNAC均为矩形，.CD=AB=30,MN=AC= B 1.:∠ECD=30°，∠EDM=60°，∠DEC=30°=∠ECD, D=0=30在△0M中器=血60，即0- D <127 .EM=155,.EN=EM+MW=15√5+1，即建筑物的高 30°人45° 是(155+1)m. E E 3题答图 根据题意，得LAED=∠FAE=∠DFA=90°， .四边形DEAF是矩形， .DF=EA=h+33,FA=DE=3, D ∴.BF=AB-FA=h-3. B 在△BDF中，m∠BDF-8s,∠BDP=27, 10题答图 11.(30-53)[解析]点A是CD的中点，.AC=AD.如 ∴.BF=DF·tan∠BDF,即h-3=(h+35)×an27°， 答图，过点E作EM⊥AB于点M,过点F作FN⊥AB于点 25 N,则四边形ACEM和四边形ADFN都是矩形，.AM=CE:15.解：(1)如答图，过点D作DE⊥BC于点E, =15.FD =AN,EM=AC AD=FN...BM=AB-AM=15. 由题意可得∠DCE=30°， 在Rt△BEM中，∠BEM=45°，∠BME=90°，∴.FN=EM= BM=15.在Rt△BFW中，∠BFN=30°，∴.BN=FN·tan30° DE=2cD=5(米) =55,.FD=AN=(30-55)米 答：点D到地面BC的距离为5米 45y 30 E 美 雅 30c,D 楼 C A D 11题答图 60>a B 12.13.8 [解析]在R△ADB中，D BD an30°=￥ 3,BD= 15题答图 (2)如答图，过点D作DF⊥AB于点F,则四边形DFBE为 90在△A0c中，0=m6的=，C0=万AD, 矩形， .BF=DE=5米，DF=BE. 6c=BD+D-4g5A0≈13.8m 易得CE=√102-52=55（米）. 13.50[解析]如答图，由题意知AN∥BM,∠MBA=180 设AB=a米，则AF=(a-5)米 -∠NAB=180°-60°=120°，.∠ABC=∠ABM-∠MBC 在Rt△ABC中，∠ACB=60°， =120°-30°=90°，.AC=√AB2+BC2=√302+402= ∴CB=,AB= 50(km). tan60= 3a(米)， C ,∴，DF=BE= +5米 在Rt△ADF中，∠ADF=30°， M A加=m0(+56)×号-（宁+9米）， B 1 . 3+5=a-5, A 13题答图 解得a=15,即AB=15米. 14.18.2[解析]如答图，过点F作FM⊥AB于点M,交DC 答：该建筑物的高度AB为15米. 于点N,则FN=CE=10米，MN=AC=20米，.FM=AE=16.(1)证明：AB=AC=AD, 0来.由题毫知CD∥AB,△FND∽△PMB,-Bm FN DN .∠B=∠ACB,∠ADC=∠ACD, CD=7米，CN=EF=1.4米，.DN=CD-CN=5.6米， &LBCD=LACB+LACD=(LACB+∠B+∠ACD+ 8-品屏得B=168来又AM=R=14来， LADC)=2 1 ×180°=90°， .AB=BM+M=16.8+1.4=18.2(米)，即塔的高度为 .DC⊥BC. 18.2米. (2)解：如答图，过点E作EF⊥BC于点F 在△BCD中，osB-8SBC=1.8, .BD=BC1.8 cos B0s550≈3.16， .BE=BD+DE=3.16+2=5.16. C 在Rt△EBF中，sinB-F, 14题答图 26 .EF=BE·sinB=5.16×sin55°≈4.2. 答：雕塑的高约为4.2m. LAEB=LDME=2∠BMD,LBCF=2∠BCD, E .∠AEB=∠BCF,.AE∥CF. 又AF∥CE, D .四边形AECF是平行四边形. (2)解：如答图，过点C作CH⊥AD于点H, 则∠CHD=90 B C F 16题答图 17.解：(1)如答图，过点D作DH⊥AB于点H,则四边形DHBC 为矩形， B E .∴.DH=BC=10. 3题答图 在Rt△AHD中，∠DAH=90°-45°=45°， :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, .AD=√2DH=102≈10×1.41≈14. .∠ADC+∠BCD=180°， 答：AD的长度约为14千米. .∠BCD=180°-∠ADC=180°-60°=120 ! CF是LBCD的平分线， 450 B ∠DcF=7LBcD=3x120°=60， .∠ADC=∠DCF=60° 60° .△CDF是等边三角形， CD=DF-2.DH-DF=1. 17题答图 在Rt△CHD中，由勾股定理，得CH=√CD2-D= (2)如答图，在Rt△AHD中，AH=DH=10,AD=102. √22-17=5， ,四边形DHBC为矩形，∴.BH=CD=14, ∴.AB=AH+BH=10+14=24 .SAc=DF CH2x 在Rt△ABE中，∠ABE=90°-60°=30°， 由(1)得四边形AECF是平行四边形， BB=4B。=24-165, c0s300= 3 CE-AF--DF-2x2=1. AD∥BC,.△DGF∽△ECC, .EE85. FG DF 2 ·CG-EC=T 线路①的长度为AD+DC+CB=10√万+14+10≈14.1+ 14+10=38.1; G=号cR, 线路②的长度为AE+EB=8√5+16√5=245≈ S AGDF =3 SACDF -23 3 24×1.73=41.52. 4.C5.6cm 41.52>38.1, 6.解：如答图，：四边形ABCD是平行四边形， ∴.小明应选择线路① .AB∥CD,∠1=∠2. 第五章四边形 又.DF平分∠ADC,.∠1=∠3，.∠2=∠3 第20讲平行四边形与多边形 ∠A=40°，.∠2=∠3=70° 基础集训 又BE∥DF,∴.LABE=∠2=70° 1.C2.C E 3.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， D ,.AD∥BC,∠BAD=∠BCD, 37 ∴.∠AEB=∠DAE. F B .AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线， 6题答图 27—中专123 第19讲 锐角三角函数及其应用 基础集训 [答案P24] ⊙命题点1特殊角的三角函数计算 1.(2025·营口模拟)tan45的值等于 ( A.2 B.1 C② D 3 2.（2025·大庆模拟)sin30°= ⊙命题点2解直角三角形 3.(2025·齐齐哈尔模拟)如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,则边AB的长为() A.3W2 B.35 C.37 D.62 B D 3题图 4题图 4.(2024,抚厦模拟)如图，在I△MBC中，∠C=0,BC=5,点D是AC上一点，连接BD.若mA=分， am乙ABD=号则cD的长为 () A.25 B.3 C.5 D.2 ⊙命题点3解直角三角形的实际位用 5.（2025·长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n米的点A处，测得 山峰顶端B的仰角为α，则A、B两点之间的距离为 () A.(m-n)sina米 B.m-n米 C.(m-n)cosa米 D.m-r米 sin o cos a B E海平面 C51 D 5题图 6题图 6.(2025·辽宁)如图，为了测量树AB的高度，在水平地面上取一点C,在C处测得∠ACB=51°，BC= 6m,则树AB的高约为 m.（结果精确到0.1m.参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63， tan51°≈1.23) -91- 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 [答案P24] ⊙模型一背靠背型 1.(2025·河南模拟)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正 方形，AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D,A与树顶E 在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m,到树EG的距离AF=11m,BH= 20cm.求树EG的高度（结果精确到0.1m). E G 1题图 ⊙模型二母子型 2.(2025·贵州模拟)贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修 建观光索道.设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道， 最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC,BC长50m.索道AB与AF的夹角为 16°，CD与水平线夹角为45°，A,B两处的水平距离AE为576m,DF⊥AF,垂足为点F.(图中所有点 都在同一平面内，点A,E,F在同一水平线上) (1)求索道AB的长（结果精确到1m); (2)求水平距离AF的长（结果精确到1m). (参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，√2≈1.41) D B459 A160 E 2题图① 2题图② -92 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式 第四章三角形 ⊙模型三拥抱型 3.(2025·四平模拟)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.如图，塔AB前有一座高为DE 的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测 得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. (1)求DE的长； (2)设塔AB的高度为h(单位：m), ①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）； ②求塔AB的高度(tan27取0.5，√3取1.7，结果取整数). B ⊕ D127 ⊕ 30°人45° E C A 3题图 中考集训 [答案P25] 满分：100分 一、选择题（每小题4分，共24分） 1.(2025·深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为 ( 4.22 B.3 0.② D. 3 4 P D月 B ■ 5 d A 55X 125° A B R 1题图 2题图① 2题图② 3题图 2.(2025·玉林)如图，△ABC底边BC上的高为h1,△PQR底边QR上的高为h2,则有 A.h=h2 B.h<h2 C.h>h2 D.以上都有可能 3.（2025·广元)如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A,B,C,D都在格点处，AB与 CD相交于点P,则cos∠APC的值为 () A号 c.3 D.⑤ 一93— 数学·精练本1 4.（2025·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知 ∠BAC=,则A,C两处相距 () A.x米 B.x米 C.x·sina米 D.x·c0sa米 sin a cos a 北 B 水平地面 BQB 4题图 5题图 6题图 5.(2024·十堰)如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线成 45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为m,则大树AB的高为 () A.m(cos a-sin a) B.m(sin a-cos a) C.m(cos a-tan a) D.mm sin a cos a 6.(2024·随州)如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶 端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成 角为B,已知sina=cosB=号，则梯子顶端上升了 () A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 二、填空题（每小题5分，共40分） 7(2024:盖阳)如图，在△ABC巾，LC=90,若mA=号，则sB 3 D ■ D B 7题图 8题图 9题图 10题图 8.(2025·上海)某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，如图，已知扫描仪 (线段AB)的竖直高度为2.7米，某人（线段CD)身高为1.8米，只有当∠CAB=53°时，该人才能开 门，那么该人与扫描仪的水平距离为 米（精确到0.1米）.（备用数据：sin53°≈0.8，cos53°≈ 0.6,tan53°≈1.33) 9.新考法(2025·武汉模拟)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点0与尺下沿 的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm.若按相同的方式将37° 的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 cm.（结果精确到 0.1cm.参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 10.(2025·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A, 在点A和建筑物之间选择一点B,测得AB=30m.用高1m(AC=1m)的测角仪在A处测得建筑物 顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是 m -94 11.（2024·黄网)综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面CD的中点 A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E处的俯角为45°，尚美楼顶部F处的俯角为30°.已 知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米.（结果保留根号）》 B B 45y 30 609 博 0 雅 楼 CA D 11题图 12题图 14题图 12.(2024·荆州)如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人 机与旗杆的水平距离AD为6m,则该校的旗杆高约为 m.（√3≈1.73，结果精确到0.1m) 13.（2025·东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行 40km至C港，则A,C两港之间的距离为 km. 14.(2025·潍坊)在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高 度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB,CD,EF在同一平面内，点A,C, E在一条水平直线上.已知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶B,视 线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度，根据以上信息，塔的高度为 米 三、解答题（共36分）》 15.(12分)(2024·随州)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜 坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物 顶端A的仰角为30°.（已知点A,B,C,D在同一平面内，B,C在同一水平线上) (1)求点D到地面BC的距离； (2)求该建筑物的高度AB. 309cD 60>@ C 15题图 -95 16.(12分)(2025·江西模拟)图①是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意 图，已知点B,A,D,E均在同一直线上，AB=AC=AD,测得∠B=55°，BC=1.8m,DE=2m.(结果保 留小数点后一位) (1)连接CD,求证：DC⊥BC; (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）： (参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43) E D C 16题图① 16题图② 17.(12分)(2024·重庆A卷)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线 路，如图，①A一D一C一B,②A一E一B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米 处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点 B的南偏西60°方向.（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) (1)求AD的长度（结果精确到1千米）； (2)时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②. 北 N 西→东 南 60° 17题图 —96—