第4章 第18讲 相似三角形(含位似)(精炼本)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（辽宁专版）

中专123 第18讲 相似三角形（含位似） 基础集训 [答案P22] ⊙命题点1比例的性质 1.(2024·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在AB上，EF∥AD交CD于点F,若AE:BE= 1:2,DF=3,则FC的长为 () A.6 B.3 C.5 D.9 G A D C 1题图 2题图 2.(2025·绥化模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是AD上一点，且AF=2FD,连接BF并延长，交 CD的延长线于点G,则的值为 () B C. ⊙命题点2相似三角形的判定及性质 3.（2025·盘锦模拟)如图，AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点，MN∥AC,交BD于点N.若 DO:OB=1:2,AC=12,则MN的长为 () A.2 B.4 C.6 D.8 D B 3题图 4题图 5题图 4.(2024·辽宁)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点0，且△AOB与△D0C的面积比是1：4，若AB=6,则 CD的长为 5.(2024·营口模拟)如图，在△ABC中，延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连 接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF= 6.(2025·长春模拟)在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点E在边CD上，且CE=4,点P是直线BC上的 一个动点.若△APE是直角三角形，则BP的长为 -85 ⊙命题点3位似图形 7.（2024·绥化模拟)如图，△ABC与△DEF位似，点0为位似中心，相似比为2：3.若△ABC的周长为 4,则△DEF的周长是 () A.4 B.6 C.9 D.16 D' B B 7题图 8题图 8.(2025·齐齐哈尔模拟)如图，以点0为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D',已知A A' 3,若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'CD'的面积是 () A.4 B.6 C.16 D.18 9.(2025·绥化)在平面直角坐标系中，把△ABC以原点0为位似中心放大，得到△A'B'C'.若点A和它 的对应点A'的坐标分别为(3,7)，(-9，-21)，则△ABC与△A'B'C的相似比为 微专题6相似三角形的常考模型 [答案P22] ⊙模型一平行线模型 1.（2025·哈尔滨模拟)如图，一路灯G距离地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点0）5米 的A处沿OA所在直线走了7.5米到达点C处，那么小方在点A处影长的端点B到在点C处影长的 端点D的距离BD为 ) A5米 B.5.5米 C.7米 D.10.5米 D E 0 AB C D 1题图 2题图 3题图 4题图 2.(2024·台州二模)如图，在口ABCD中，点E在边AD上，且AE=ED,连接BE并延长交CD的延长线 于点F,则△FED与口ABCD的面积之比为 () A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 ⊙模型二斜交模型 3.(2025·长春换拟)如图，AB是⊙0的直径，弦AC,BD相交于点E,若ABD=60,则4吧的值为 SAABE () A. B.g c 4.(2025·锦州猴拟)如图，在△ABC中，AB=12,4C=15,D为AB上一点，且AD-弓4B,在AC上取- 点E,使以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于 -86 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式 第四章三角形 ⊙模型三 一线三等角模型 5.（2025·东营二模)如图，在四边形ABCD中，AD=4,AB=10,点E是AB的中点，连接DE,CE,若∠A =∠B=LpBC,则脱的值为 4 c D33 2 5题图 6.(2025·通化模拟)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是DC延长线上一点，连接BE,过点E作EF ⊥BE,与AD的延长线交于点F.若CE=2,则DF的长为 B 6题图 7题图 8题图 9题图 ⊙模型四手拉手模型 7.(2024·宜宾二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2,将△ABC绕点C顺时针旋转后得 到△EDC,连接AE,BD相交于点F,则∠BFE的度数为 8.(2025·营口模拟)如图，在△ABC中，AB=5,AC=3,将△ABC绕着点A旋转后与△AB'C'重合，连接 BB',CC',则的值为 ⊙模型五对角互补模型 9.(2024:随州三概)如图，在四边形8CD中，∠A+∠C=180,A0=2DC,若Sm=2m则 BC 的值为 中考集训 [答案P22] 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.（2025·贵阳模拟)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD,AC:AB=1:2,则△ADC与 △ACB的周长比是 () A.1:2 B.1:2 C.1:3 D.1:4 C --- D 1题图 2题图 2.(2025·南充)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后 向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端。已知小菲的眼 —87 数学·精练本1 睛离地面高度为1.6m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2m,镜子与旗杆的水平距离为10m,则旗 杆高度为 () A.6.4m B.8m C.9.6m D.12.5m 3.(2024·东营)如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC, DE=2.4,则AD的长为 A.1.8 B.2.4 C.3 D.3.2 D E B F D C 3题图 4题图 5题图 6题图 4.(2024·豫州)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2,D为AB的中点.若点E在边AC上，且 ABBC,则AE的长为 AD DE () A.1 B.2 C. D.1或2 5.(2025·达州)如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点 F处，若CD=3BF,BE=4,则AD的长为 () A.9 B.12 C.15 D.18 6.(2025·绍兴)如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B,C重合）.过点D作DE∥AB交AC于 点E,过点D作DF∥AC交AB于点F.N是线段BF上的点，BN=2NF,M是线段DE上的点，DM= 2ME.若已知△CMN的面积，则一定能求出 () A.△AFE的面积 B.△BDF的面积 C.△BCW的面积 D.△DCE的面积 二、填空题（每小题5分，共30分） 7(225·北家模)如图，直线40,6C交于点0,4B/EF/CD.若40=2,0F=1,FD=2,则能的值为 B E F D 7题图 8题图 9题图 B.(2024·乐山)如图，在口ABCD中，点E是线段B上一点，连接AC,DE交于点R若托-子，则恤 S AAEF = 9.(2024·武汉)如图，DE将等边三角形ABC分为面积相等的两部分，折叠△BDE得到△FDE,AC分别 与DF,EF相交于G,H两点.若DG=m,EH=n,用含m,n的式子表示GH的长是 —88— 10.（2025·台州)如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB=5,AE=DG =1,则BF= GD 10 D E 6 B F 10题图 11题图 12题图① 12题图② 11.（2024·广东)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则 图中阴影部分的面积为 12.(2025·常德)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6,D是AB上一点，且AD=2,过点 D作DE/BC交AC于点么将△ADE绕A点顺时针旋转到图②的位置，则图②中0的值为 三、解答题（共40分） 13.新趋势(12分)(2025·盐城)如图，在△ABC与△A'B'C'中，点D,D'分别在边BC,B'C'上，且△ACD ∽△A'CD',若 _,则△ABDM△A'B'D'. 请认2品8那：@2品-界：⑧∠BD=∠BD这3个选项中选择-个作为条作（写序号），并 加以证明. B D B'D' 13题图① 13题图② —89 14.（14分)(2024·泰安)如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE,AC与BD相交于点0，BE与AC 相交于点F. (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC; (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由； (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度. 14题图 15.(14分)(2024·烟台)点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作 等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE. (1)如图①，求证：DE=BF; (2)如图②，若AD=2,BF的延长线恰好经过DE的中点G,求BE的长 E 15题图① 15题图② 一90—AE=AF, 第18讲相似三角形（含位似） ∠EAD=∠FAD,.△ADE≌△ADF(SAS) 基础集训 AD=AD, 1.A (2)解：：∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， 2.C[解析]四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD, .∠EAD=40° AARP ADGE,品-品=2AB=D=2nc, 由作图知AE=AD,.∠ADE=70°. AB=AC,AD为△ABC的角平分线， cG=-c0+nG=30c28-号Ad/cD,△ME ∴，AD LBC(依据：等腰三角形性质的“三线合一”)， ∴∠ADB=90°，.∠BDE=20. △cGE,既-2-号故选C 15.(1)解：∠A=90°，AB=AC,BC=√2AB. 3.B4卫536}或学或67B&D9寸 BC =AB+BD, 微专题6相似三角形的常考模型 ∴，V2AB=AB+BD,即(2-1)AB=BD. 1.D2C3A410或号5.C (2)证明：如答图①. 6.3[解析]由题意可知，∠BCE=∠EDF=∠BEF=90°（正 A 方形的性质)，：.∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC+∠DEF= 90.∠CBE=∠DEF,△BCE∽△EDF,0=R .BC=CD=AB=4,CE=2,..DE DC +CE=2+4=6, D .DF=3. 15题答图① 7.135°[解析]如答图，设AC与BD交于点G,由旋转的性质 .CE=CB,∠1=∠2，CF=CD, 可知，CD=DE=AB=BC=2,CE=AC=22(旋转前后的图 ∴.△CEF≌△CBD,∴.∠E=∠DBC,∴.EF∥BD. BD⊥AB,∴.EF⊥AB. 形会等，对应边和时应角相学)，心品-侣=万：上DCE (3)证明：如答图②，延长EF,CH交于点G. =∠ACB=45°，∴.∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD,即 G ∠ECA=∠BCD,.△CAE∽△CBD,∴.LEAC=∠DBC. LDGA=∠BGC,.∠AFB=∠ACB=45°，∴∠BFE =135° D 15题答图② .·EF⊥AB,AC⊥AB, 7题答图 .GE∥AC,.LCGE=∠ACG 8. 25 [解析]：△ABC和△AB'C'绕着点A旋转能够重合， :CH平分∠ACE,∠ACG=∠ECG, ∴.∠CGE=∠ECG,∴.EG=EC,∴EG=BC 5B=极=5,4AC=4C=3怨-招=号 .'△CBD≌△CEF,∴.EF=BD ·∠BAC=∠B'AC',.∠BAC+∠BAC=∠BAC+ BC=AB+BD,EG=FG+EF. LBAC',∠BAB'=LCAC,△ABB∽△ACC.4 AC ∴.AB+BD=FG+EF,∴.FG=AB=AC 5 S△ABB AB225 AC∥FG,∴.∠HAC=∠HFG AC) 9 在△AHC和△FHG中， ∠HAC=∠HFG, 中考集训 ∠AHC=∠FHG, LAC=FG, :1.B 2.B[解析]如答图，根据光的反射定理，得∠AOB=∠COD, ..△AHC≌△FHG(AAS), .AH FH. tan LA0B=anLC0D,又LAB0=∠CD0=90°，0 22 6品即0C0=8,高度为8m C 9.√m2+n2[解析]如答图，：三角形ABC是等边三角形， .∠B=∠A=LC=60°.由折叠可知∠F=∠B=60°， w S△FDE=S△DE,:DE将三角形ABC分为面积相等的两部 分，S四边形ADEC=S△BDE=S△FDE,.S1=S2+S3:易证 B o 2题答图 △G.受-器·品①条 3.C[解析]：△ABC为等边三角形，.∠B=∠C=60 ∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC,∠ADE=6O°， -②（关键点：由相似把面积之比转化为线段长度 LB0E=∠DC△4C△nB0- .BD= 业款是 之比的牛，0+②得忍+忌=1，C=+, .HG=m2+n2. 4D〔解折]：店D是AB的中点，铝=器0B= A 2BC=1.易知当点E为AC的中点时满足条件，记为E, D ! 如答图，此时DE:是△ABC的中位线，∴DE1∥BC, .∠ADE1=∠B=90°，.AE1=2DE1=2.以点D为圆心， B E C DE1为半径作孤，交AE1于点E2,此时DE2=DE1=1. 9题答图 '∠AE1D=90°-∠A=60°，.△DE1E2为等边三角形， .E1E2=1,AE2=1.综上，AE=1或2. 10. 11.15[解析]如答图，由题意可知AB=BC=10,CH=CE= EI=6,EG=4,∴.CG=10,BG=20.易知AB∥CD∥EF, D △BG△c0G△BMG8C-gG-G即奇 FE 10 DC C 10'2010 ,解得EF=2,CD=5,∴.FI=EI-EF=4,DH 4题答图 5.C =CH-CD=1,六Sm影=S释卷DF=2×(1+4)×6=15. 6.D[解析]如答图，连接ND.DE∥AB,DF∥AC, .∠ECD=LFDB,LFBD=∠EDC,.△FBD△EDC, 10 ∠Nm=∠NMEc,g8-2:BN=2r,DM=2WEr =即，w=号n品-能0-品又：∠Nm D =LMEC,.△NFD∽△MEC,·∠ECM=∠FDN. ∠FDB=∠ECD,∴∠NDB=LMCD,∴MC∥ND, B C Sae=Se,DM=2ME,Sac=之AMx 11题答图 之SG,片SaaE=子Sanc,故该D 3。 12. 4 5 [解折]随国①中，0E/BC侣-怨由均既定 理，得AC=√AB2+BC=√⑧2+6=10.题图②中，由旋 证A把△ABD一 转的性质，得LBAD=LCAE,又40=AB, △ACE(依据：两边成比例且夹角相等的两个三角形相 B D BD AB 8 4 6题答图 似)，CEAC=10=5 -23— 13.解：选择①B-B'D EF =AD,AD CD,.'.EF=CD. CD C'D :三角形BCE是以BC为底的等腰三角形， 证明：△ACD△A'CD', ∴CE=BE,.△DCE≌△FEB,.DE=BF LAc=∠ADC,品品， CD (2)解：如答图，取CE的中点H,连接GH. .∠ADB=∠A'D'B 点G是DE的中点， 又BD=BD'BD-CD CDCDB'DC'D GH-CD-AD=1.CH//CD. 则0品品 设BE=a,则CH=EH=2CB=号BB=7a :.△ABD∽△A'B'D' :BR=A0=-2FH=2a-2 或选择③LBAD=∠BA'D' 证明：，△ACD∽△A'C'D', 'CD∥BE,GH∥CD,.GH∥BE, .∠ADC=∠A'D'C,∠ADB=∠A'D'B △FGH∽△FBE, ∠BAD=∠BA'D',.△ABD∽△A'B'D'. 2a-2 14.(1)证明：如答图，四边形ABCD为矩形， 器日 a 2， .0C=0D,AB∥CD,∴.∠2=∠3=∠4. ∴a=2+22(负值已舍)， DE=BE,.∠1=∠2，∴.∠1=∠3. .BE=2+22 又：BE平分∠DBC,∴.∠1=∠6，∴.∠3=∠6. 又：∠3+∠5=90°，.∠6+∠5=90°，.BF⊥AC. (2)解：△ECF,△BAF与△OBF相似.理由如下： 如答图，由(1)知∠1=∠2， AB∥CD,∴.∠2=∠3=∠4，.∠1=∠4. 又：∠OFB=∠BFO,∴.△OBF∽△BAF. B :∠1=∠3，∠OFB=∠EFC,∴.△OBF∽△ECF 15题答图 第19讲锐角三角函数及其应用 D E 3天 基础集训 6 4 1.B2号3D4.C5B674 B 14题答图 微专题7解直角三角形的实际应用的常考模型 (6)屏：△0BF△BCP,器-品 1.解：·四边形ABCD为正方形，点D,A,E在一条直线上， .∠EAB=90° 0F=3,EF=2, 由题意知，∠FAH=90°， 号-品30P=2BR .∠EAF=∠BAH, ..OA =OC,..OA=OF+CF, .tan EAF=tan∠BAH. ∴30A=3CF+30F,.30A=2BF+9.① 在△AI中，mLB4-器-品号 :△0Br△BP,g器-架. 在Rt△EAF中，.tanLEAF-EF_EF .BF2=0F·AF,.BF2=3(0A+3).② AF-11 由①②，得BF=1+√19（负值已舍去）， ∴.DE=BE=2+1+√19=3+√19. 由题意知，FG=1.8, 15.(1)证明：由题意知AD=CD,.∠A=∠DCA. 又：∠A=∠CBE,∴.LDCA=∠CBE, BG=Ef+FG=号+1.8≈9.1(m ∴.CD∥BE,∴.∠DCE=∠BEF 答：树EG的高度约为9.1m. 24