第4章 第16讲 特殊三角形(精炼本)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（辽宁专版）

中专123 第16讲 特殊三角形 基础集训 [答案P19] ⊙命题点1等腰三角形的有关判定与性质 1.(2025·鞍山模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=24°，延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则 ∠D的度数为 () A.39° B.40° C.49° D.51° BL2250 45 C 1题图 3题图 4题图 6题图 2.（2025·大庆模拟)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形” 若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ⊙命题点2等边三角形的有关判定与性质 3.(2025·龙东地区模拟)如图，面积为1的等边三角形ABC中，D,E,F分别是AB,BC,CA的中点，则 △DEF的面积是 () A.1 c号 D 4.(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为() A.30° B.45o C.60° D.120° ⊙命题点3直角三角形的有关判定与性质 5.(2024·大庆模拟)下列说法不正确的是 A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形 B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形 C.有两个角互余的三角形是直角三角形 D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形 6.(2025·绥化模拟)如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=2,则△ABC的面积是() A.3+2 2 B.1+√2 C.22 D.2+√2 一73一 ◎命题点4 勾股定理及其逆定理 7.(2024·荆门二模)有下列说法：①一个直角三角形的两条直角边长分别为 $$1 ， \sqrt 3 ，$$ ，则它的斜边长是2； ②一个直角三角形的两边长分别是3，4，则它的第三条边长是5；③“一个三角形的三条边长分别是 2，3，4，因为 $$2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } e { 4 ^ { 2 } } ，$$ 所以这个三角形不是直角三角形”，这里推断的依据是勾股定理的逆定理.其 中，正确的个数是 () A.3 B.2 C.1 D.0 8.(2024·吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意 图如图②，其中 AB=AB'，AB⊥B'C 于点 C，BC=0.5 尺 B'C=2 尺(1尺 ≈0. .33米).设AC的长度为 x 尺，可列方程为. B B 诗文：波平如镜一湖面，半尺高 C 处生红莲.亭亭多姿湖中立，突遭 狂风吹一边.离开原处二尺远，花 贴湖面象睡莲. A 8题图① 8题图② 微专题2 角平分线的常考模型 [答案P19] ⊙ 模型一过角平分线上的点向角两边作垂线 1.(2024·西安二模)如图，在 Rt△ABC 中， $$\angle A C B = 9 0 ^ { \circ } ， \angle B A C = 3 0 ^ { \circ } ， A D$$ 平分 ∠BAC，E 为AD的中点， EF⊥AD 交AB于点F.若 CD=3， ，则 AF= () C D E A B F 1题图 $$A . 3 \sqrt 3$$ $$B . 3 \sqrt 2$$ C.6 D.5 ⊙ 模型二截取线段构造对称全等 2.(2025·济宁三模)如图，在 △ABC 中， ∠C=2∠B，AD 平分 ∠BAC， ，求证： ：AB=AC+CD. A C B D 2题图 74— 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式 第四章三角形 ⊙模型三平行线构造等腰三角形 3.(2024·武汉二摸)如图，在矩形ABCD中，BC=6,E为CD上一点，CE=2,DE=1.将矩形ABCD沿 BE折叠，G是C的对应点，BG与AD交于点F,则AF= B 3题图 ⊙模型四垂线构造等腰三角形、全等三角形 4.（2025·鄂州二模)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC,∠EBC=∠E =60°，若BE=10cm,DE=4cm,则BC的长为 () A.7 cm B.12 cm C.14 cm D.16 cm B 4题图 5题图 5.(2025·铜仁三模)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD,若AC=8,BC= 5,则BD的长为 微专题3特殊三角形中的分类讨论 [答案P19] ⊙类型一等腰三角形中的分类讨论 1.（2025·泰安一模)等腰三角形的一个外角度数为80°，则顶角度数为 2.(2024·恩施州二模)如果一个等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm,那么此三角形的周长是 A.12 cm B.15 cm C.18 cm D.12cm或15cm ⊙类型二直角三角形中的分类讨论 3.（2024·张掖一模)知直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 A.√5 B.√13 C.1 D.√5或13 4.(2025·南充模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8.点D是BC上的中点. 点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP= 4题图 —75— 数学·精练本1 微专题4中点常考模型 [答案P19] ⊙模型一中点构造中位线 1.(2025·齐齐哈尔模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点N是BC边上一点，点M为 AB边上的动点，点D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小值为 N M E 1题图 2题图 3题图 4题图 ⊙模型二垂线过中点构造中垂线 2.(2025·鞍山模拟)如图，在△ABC中，∠A=105°，AC的垂直平分线MN交BC于点N,交AC于点M, 且AB+BN=BC,则∠B的度数是 () A.45° B.50° C.55 D.60° ⊙模型三等腰三角形构造“三线合一” 3.(2024·抚顺模拟)如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,且AB=8, MN=3,则AC的长为 A.12 B.14 C.16 D.18 ⊙模型四直角三角形构造斜边上的中线 4.(2024·大庆模拟)如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，0为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC, ∠BAE=15°，则∠AE0= ⊙模型五倍长中线构造法 5.（2025·哈尔滨模拟)在△ABC中，AB=5,AC=7,则中线AD的取值范围是 中考集训 [答案P19] 满分：100分 一、选择题（每小题5分，共30分） 1.（2024·宿迁)若等腰三角形的两边长分别为3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 () A.8 cm B.13 cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 2.(2024·贵州)有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m,则底边上 的高是 A.4m B.6m C.10m D.12m B 2题图 4题图 3.(2025·菏泽)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+√2a-b-3+1c-3√21=0，则△ABC是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2024·安徽)如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,点D在AB的延长线上，且CD=AB,则BD的长是 A.√10-√2 B.√6-√2 C.2√2-2 D.22-√6 -76— 5.(2025·南充)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E, DF⊥AB于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9 C:B B ..1..i.. 5题图 6题图 6.新考法(2024·济宁)如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A,B,C,D,E 均在小正方形的顶点上，线段AB,CD交于点F,若∠CFB=,则∠ABE等于 () A.180°-a B.180°-2a C.90°+α D.90°+2a 二、填空题（每小题5分，共30分） 7.(2024·新疆)如图，在△ABC中，若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°，则∠C= B D D B D E 7题图 8题图 9题图 10题图 8.(2024·荆州)如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= 9.（2025·济宁)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上，若∠DAE=30°，tan∠EAC =号，则80= 10.（2025·江西模拟)将含30角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B,C 表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段AB的长为 cm. 11.传统文他(2025·安徽模拟)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出 的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形， 得了-个结论：如图，A0是锐角三角形AC的高，则BD-号引2C+1份cC当B=7,BC=6, AC=5时，CD= 弦(c) 勾( 股b) 11题图 12题图 12.传统文化(2025·扬州)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之 为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边 长分别为a,b,斜边长为c.若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为 —77- 三、解答题（共40分） 13.（12分)(2024·荆州)如图，BD是等边三角形ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC 的延长线于E,连接DE.求证：CD=CE. 13题图 14.（13分)(2024·武汉)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=∠D,点E在BA的延长线上，连接CE. (1)求证：∠E=∠ECD; (2)若∠E=60°，CE平分∠BCD,直接写出△BCE的形状 14题图 15.(15分)(2024·长沙)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至E,使得CE=CA, 连接AE. (1)求证：∠B=∠ACB; (2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积 B D 15题图 —78一3.C[解析]如答图，过点0作OQ⊥MN,则∠C0Q=∠D0Q AE=AC, =90°.又·∠A0Q=∠B0Q(提示：入射角等于反射角)， 在△AED和△ACD中， ∠1=∠2， .∠B0D=∠AOC=35°.又PD⊥CD,∴.∠OBD=90°- LAD=AD, ∠B0D=55°.故选C. .△AED≌△ACD(SAS), 0 .∠AED=∠C,ED=CD ∠C=2∠B,且∠AED=∠B+∠BDE, .∠B=∠BDE, .BE DE, C777 MON D .AB=AE+BE=AC+DE=AC+CD 3题答图 4.C[解析]DE是△ABC的中位线，BC=6,DE∥BC, DB=3,△DEFn△BwP,器-器：DF=2B,a 3 E =-2NB=是CM=Bc+aM=5 B D 5.B[解析]：AE∥CD,∴∠1=∠2=35°.CA平分 2题答图 LBCD,.∠BCD=2∠1=70°.又∠D=60°，∠B=3.44.C5.1.5 180°-∠BCD-∠D=50°. 微专题3特殊三角形中的分类讨论 6.B7.4(大于2小于8的数即可)8.139.18 1.100°2.B 10.55[解析]DE∥BC,∠BDE=120°，∴.∠B= :3.D[解析]当3和2为两直角边长时，第三边长为√13；当 180°-∠BDE=60°.：FG∥AC,∠DFG=115,∴∠A= 3为斜边长，2为直角边长时，第三边长为5.综上，第三边 180°-∠AFG=65°，.∠C=180°-∠A-∠B=55. 长为5或√3.故选D. 11.12:15:10 12.(1)证明：，BD是△ABC的角平分线， 45或当 .∠CBD=∠EBD 微专题4中点常考模型 DE∥BC, 1.号2B3B430051<40<6 .∴.∠CBD=∠EDB ∴.∠EBD=∠EDB. 中考集训 (2)解：CD=ED.理由如下： 1.D2.B3.D4.B5.A 6.C[解析]如答图，取格点G,H.易知GD=EH=1,CG=BH :AB=AC,∴∠C=∠ABC. =4,∠CGD=∠BHE=90°，'.△CGD≌△BHE,∴.∠GCD= DE∥BC, ∠HBE.:CG∥BD,.∠CAB=∠ABD.∠CFB=∠CAB+ ∴.∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, ∠GCD=a,.∠ABD+∠EBH=a,∴.∠ABE=∠ABD+ ∴.∠ADE=∠AED, ∠DBH+∠HBE=9O°+a.故选C. .AD =AE,.'.CD=BE. 由(1)得∠EBD=∠EDB, ∴BE=DE,∴CD=ED 第16讲特殊三角形 基础集训 1--1--1--1--1--1 E 1.A2.63.D4.C5.A6.D7.B 6题答图 8.x2+22=(x+0.5)2 7.52[解析]：AB=AC,AD=BD,.∠DAB=∠B=∠C.:∠B 微专题2角平分线的常考模型 +∠C+∠DAB+24°=180°，.∠C=52. 1.c 8.3[解析]：CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD=5, 2.证明：如答图，在AB上取点E,使得AE=AC, ∴.AB=2CD=10(依据：直角三角形斜边上的中线等于斜边 -19- 的一半)，.BC=√102-82=6.E为AC的中点，D为AB ∴BE∥CD,.∠E=∠ECD. 的中点，DE是△ABC的中位线，DE=7BC=3(依揭： (2)解：等边三角形 15.(1)证明：：AD⊥BC, 三角形中位线的性质) ∴.∠ADB=∠ADC=90° 9.3-5[解析]如答图，过点A作AH⊥BC于H. 在△ABD和△ACD中， :△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=6,∠BAC=60. AD =AD, AH⊥BC,BH=3(提示：等腰三角形“三线合一”)， ∠ADB=∠ADC, AH=35,∠HAC=30°，∠HAE+∠EAC=30°.∠DAE= BD =CD, 30°，.∠DAH+∠EAH=30°，，∠DAH=∠EAC(提示：等量 .△ABD≌△ACD(SAS), ∴.∠B=∠ACB 代换)，m∠DA=m∠BAC=子，DM=号AM=5, (2)解：，△ABD≌△ACD,AB=5,∴.AC=AB=5. .BD =BH-DH=3-3. CE=CA,∴.CE=5. AB=5,AD=4,AD⊥BC .BD=AB2 -AD2 =3. BD CD,.'.CD=3, .∴.BE=BD+CD+CE=3+3+5=11, DE=CD+CE=3+5=8. B D HE .AE=√AD2+DE=√42+82=45， 9题答图 则△ABE的周长为AB+BE+AE=5+11+45=16+45, 10.2[解析]：点B,C表示的刻度分别为1cm,3cm,∴.BC =3-1=2(cm).:∠a=60°，直尺的对边平行，∴.∠ACB Ss=号BE:A0=子×11x4=2 =∠a=60°.又.·∠A=60°，.△ABC是等边三角形，.AB 第17讲全等三角形 =BC=2 cm. 基础集训 11.1[解析]AB=7,BC=6,AC=5,BD= :1.A2.∠A=∠D(答案不唯一) (c2C）-7×676）-5m-1 3.证明：：B是线段AC的中点， .AB BC. 12.96[解析]由题意知，a2+62=c2,b-a=4,c=20,.a2+ 又AD∥BE,BD∥CE, (a+4)2=202,解得a=12或a=-16(舍去)，.b=16, .∠A=∠EBC,∠DBA=∠C, .△ABD≌△BCE. :每个直角三角形的面积为2b=96,。 4.C5.B 13.证明：如答图，：BD为等边三角形ABC的中线， 6.证明：点0是AB的中点， ∴BD⊥AC,∠1=60°，.∠3=30° .A0=B0. BD=DE,.∠E=∠3=30°. .·四边形ABCD是平行四边形， ∠2+∠E=∠1=60°，∠2=30°=∠E, .AD∥BC,即DE∥BC, ∴.∠EAO=∠CBO. .CD CE. 又∠AOE=∠B0C, ∴.△A0E≌△B0C, .AE BC. D 7.(1)证明：四边形ABCD是矩形， 2 ∴.AB=CD,∠B=∠C=90 12 ∠BAE=∠CDF, 13题答图 在△ABE和△DCF中，AB=DC, 14.(1)证明：AD∥BC,.∠EAD=∠B. 1∠B=∠C=90°， ∠B=∠D,.∠EAD=∠D, .∴.△ABE≌△DCF(ASA). 20