第2章 第6讲 一元二次方程及其应用(精炼本)-【中考123】2026年中考基础章节总复习数学（辽宁专版）

中春123 第6讲一元二次方程及其应用 基础集训 [答案P4] ⊙命题点1一元二次方程的解法 1.(2025·哈尔滨模拟)若x=-1是方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是 () A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2024·沈阳模拟)已知x=1是一元二次方程(m-2)x2+4x-m2=0的一个根，则m的值为 A.-1或2 B.-1 C.2 D.0 3.(2025·齐齐哈尔)解方程：x2-7x=-12. ⊙命题点2一元二次方程根的判别式 4.(2025·天门二模)若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是() A.36 B.9 C.6 D.-9 5.（2024·龙东地区)关于x的一元二次方程(m-2)x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是 () A.m≤4 B.m≥4 C.m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2 6.新趋势(2025·锦州模拟)请填写一个常数，使得关于x的方程2x2-4x+ =0有两个不相等 的实数根， ⊙命题点3一元二次方程根与系数的关系 7.(2024·岳阳三模)已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3, 则m的值为 () A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3 8.(2025·齐齐哈尔模拟)关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两根，其中一根为x=1,则这两根 之积为 () B号 C.1 -19- 9.（2024·吉林模拟)已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为 ) A.0 B.-10 C.3 D.10 10.(2025·绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2025x+1=0的两个根，则(m+1)(n+1)= 11.（2025·永州二模)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+2+1=0有两个不等实数根x1,x2: (1)求k的取值范围； (2)若x1x2=5,求k的值. ⊙命题点4一元二次方程的实际应用 12.（2024·牡丹江)一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则 每次降价的百分率为 () A.20% B.22% C.25% D.28% 13.（2025·龙东地区模拟)如图，在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若 余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m,则小路的宽是 A.5 m B.70m C.5m或70m D.10m 13题图 14.传统文化(2025·大连模拟)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣 人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试 问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是 () A.3(x-1)x=6210 B.3(x-1)=6210 C.(3x-1)x=6210 D.3x=6210 15.(2025·龙东地区模拟)张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月 份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是 —20 见此图标弱即刻扫码解锁高效备考新模式 第二章方程（组）与不等式（组） 中考集训 [答案P4] 满分：100分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.(2024·天津)方程x2+4x+3=0的两个根为 A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3 2.(2024·新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是 A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 3.(2025·北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为 A.-4 B.-1 C.1 D.4 4.(2025·广安)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则 A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6 c%=名 D.x1x2=7 5.(2025·南通)李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元.若从1月到3月，每月盈利 的平均增长率都相同，则这个平均增长率是 A.10.5% B.10% C.20% D.21% 6.(2025·攀枝花)若关于x的方程x2-x-m=0有实数根，则实数m的取值范围是 A.m<4 BRm≤ C.m≥- 4 D.n>- 7.（2024·兰州)关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2-2(1+2c)= A.-2 B.2 C.-4 D.4 8.(2024·云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲 种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的是() A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 9.(2025·黔东南州)已知关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则 a-x好-号的值为 () A.7 B.-7 C.6 D.-6 -21 数学·精练本1 10.(2025·衡阳)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1<x2),关于x的方 程x2+2x-3-n=0的解为x3,x4(x?<x4),则下列结论正确的是 () A.x3<x1<x2<x4 B.x1<x3<x4<x2 C.x1<x2<x3<x4 D.x3<x4<x1<x2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.(2025·梧州)一元二次方程(x-2)(x+7)=0的根是 12.(2025·*州)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1,则 x2=」 13.(2024·贵州)若一元二次方程x2-3x+1=0有两个相等的实数根，则k的值是 14.(2024·黄风)已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实 数k= 15.(2024·那州)若实数a,6分别满足。2-4a+3=0,-46+3=0,且a≠6，则+名的值 为 16.(2024·宜昌)已知1，是方程2x2-3x+1=0的两根，则代数式+的值为 1+x1x2 17.（2025·乐山)若两个连续正奇数的积是143，则这两个奇数的和是 18.(2025·连云港)若关于x的一元二次方程mx2+nx-1=0(m≠0)的一个解是x=1,则m+n的值是 三、解答题（共46分） 19.(6分)(2025·贺州)解方程：x2+4x-1=0. -22— 20.(8分)(2024·南充)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x-3m2+m=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； (2)若是方程的两个实数根，目要+名=一多，求m的值 X1 x2 21.(8分)(2024·荆州)已知关于x的一元二次方程kx2-(2k+4)x+k-6=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)当k=1时，用配方法解方程. —23— 22.（12分)(2024·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万 元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%， (1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； (2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8,9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七 天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8,9月份营业额的月增长率 23.(12分)(2025·东营)如图，老李想用长为70的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个 矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）， (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到6502吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由 B 23题图 —24—18.解：(1)设没打折时，一件A商品x元，一件B商品y元， 1,2,.1+x2=2m-1,x1为2=m2.(x1+1)(x2+1)= r6x+3y=108, 名1为2+x+名2+1=3，m2+2m-1+1=3,解得m1=1,m2= 由题意，得 5x+y=84, -3.:方程有两实数根，.△=(2m-1)2-4m2≥0，解得m 解得*=16， ≤行m=1不合题意，合去m=-3 ly=4. 答：没打折时，一件A商品16元，一件B商品4元. 8.D[解析]方程的其中一个根是1，∴.3-2+m=0,解得m (2)设做活动时，商场商品打m折，由题意，得 =1两根的软为号两报的积为-号 50×16×0.1m+50×4×0.1m=960,解得m=9.6. 9.A[解析]m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的两个 答：做活动时，商场商品打9.6折。 根，.mm=-5,m2+2m-5=0.m2+2m=5, (3)100×16+100×4-100×16×0.96-100×4×: ∴m2+mn+2m=m2+2m+mn=5-5=0. 0.96=80(元). 10.2027 答：做活动时买100件A商品和100件B商品，比不做活 动时少花80元钱。 山解：(1的取值范固为太>子 19.解：(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量 (2)k=2 分别为22mg,40mg 12.C13.A (2)这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为2kg 14.A[解析]设这批椽的数量为x株，根据题意，得3(x-1) 20.解：(1)设豆沙棕的单价为x元，则肉粽的单价为2x元. =6210,即3(x-1)x=6210. 根据题意，得10x+12×2x=136,解得x=4,则2x=8. 15.20% 答：豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元， 中考集训 (2)①设豆沙粽优惠后的单价为α元，肉粽优惠后的单价 1.D 为b元， :2.D[解析]一元二次方程x2-6x+8=0,移项，得 r20a+306=270, 列方程组，得 x2-6x=-8.等式两边同时加9，得x2-6x+9=1.配方，得 30a+20b=230, (x-3)2=1.故选D. 解得厂=3， 3.C4.A5.B6.C 1b=7. 7.A[解析]：关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个 答：豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为相等的实数根，.4=b2-4c=0,.b2-2(1+2)=b2-2- 7元. 4c=b2-4c-2=0-2=-2. ②[3m+(40-m)×7]×(80-4m)+[3×(40- 8.B9.B m)+7m]×(4m+8)=17280, 10.B[解析]如答图①，设直线y=m与抛物线y= 解得m=19或m=10. x2+2x-3交于A,B两点，直线y=n与抛物线y= m≤子(40-m),m≤9， .40 x2+2x-3交于C,D两点.m>n>0,关于x的方程x2+ 2x-3-m=0的解为x1,x2(x1<2),关于x的方程x2+2x .m=10. -3-n=0的解为3，x4(<x4),1,x2,出，x4分别是点A, 第6讲一元二次方程及其应用 B,C,D的横坐标，1<x3<x4<x2,故选B 基础集训 y=x2+2x-3 1.B2.B B y=m 3.解：整理，得x2-7x+12=0. D y=n 因式分解，得(x-4)(x-3)=0, 所以x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,为=3. 4.B5.D6.-1(答案不唯-) 7.A[解析]方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为 10题答图① -4 :总结归纳 22=-各整理，得5m-7m+2-0, -3m2+m 抛物线y=x+2x-3-m是由抛物线y= x2+2x-3向下平移m个单位长度得到的，抛物线y= 解得m=1或加=子（结果已检验， x2+2x-3-n是由抛物线y=x2+2x-3向下平移n 「k≠0， 个单位长度得到的，如答图②所示，所以x1<x3< 21.解：(1)依题意，得 L4=40k+16>0, x4<x2: 太>-号且0 y=x2+2x-3 (2)当k=1时，原方程变为x2-6x-5=0, y=x2+2x-3-n 则有x2-6x+9=5+9, y=x2+2x-3-m 无4. (x-3)2=14,.x-3=±√/14， %2 .方程的根为x1=3+√4,2=3-√4. 22.解：(1)450+450×12%=504（万元） 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为 504万元. (2)设该商店去年8,9月份营业额的月增长率为x, 10题答图② 依题意，得350(1+x)2=504, 11.x1=2,x2=-7 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 12.-3[解析]x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x- 答：该商店去年8,9月份营业额的月增长率为20%， m=0的两个实数根，x1+名=-2.又：x1=1,2=23.解：设AB=xm,则BC=70-2x+2=(72-2x)m. -2-x1=-2-1=-3. (1)根据题意，得x(72-2x)=640, 13.}[解析]根据一元二次方程的定义和根的判剥式，得 化简，得x2-36x+320=0, 解得x1=16,x2=20. 4=(-3)2-46=0且6≠0,6=号 当x=16时，72-2x=72-32=40; 当x=20时，72-2x=72-40=32. 14.-5[解析]易得名1+名2=3，x12=k提示：一元二次方 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为20m 时，能围成一个面积为640m2的羊圈. 程ax2+bx+c=0的根与系数的关系为x1+x2=- b a (2)不能. 。心为+2+22=名+2(1+)= ·名=c】 理由：令x(72-2x)=650. 化简，得x2-36x+325=0. k+6=1,.k=-5. :△=(-36)2-4×325=-4<0， 15号 .该一元二次方程没有实数根， ∴羊圈的面积不能达到650m2 16.1[解析]根据一元二次方程根与系数的关系，得 第7讲分式方程及其应用 +=弓，=号1+新为=号原式=1 1 基础集训 17.2418.1 1.B2C3-号40（答案不唯-）5C6A 19.解：原方程的解为x1=-2+5,x2=-2-√5. 7.A8.-19.C 20.(1)证明：：4=[-(2m-1)]2-4(-3m2+m) 10.解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度 =16m2-8m+1=(4m-1)2≥0， 为1.25x米/秒. ,∴.无论m为何值，方程总有实数根 由题意，得800-800=40， (2)解：由根与系数的关系，得x1+2=2m-1, x1.25x 12=-3m2+m 解得x=4, :色+++)2-2， 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意 1x2 答：小林跑步的平均速度为4米/秒. 5—