2.5 三角函数的应用 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

2.5 三角函数的应用 同步训练 一、单选题 1．如图，滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为50米，若这个滑雪道坡度（即），则滑雪道长为（    ）米 A．150 B． C． D． 2．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若的长都为，当时，人字梯顶端离地面的高度约是___________．（结果精确到0.1m，参考依据： ，（　　） A．2.1 B．1.9 C．1.8 D．1.6 3．如图，两建筑物水平距离为米，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为，则较低建筑物的高为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 5．为倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点为跷跷板中点，支柱垂直于地面，垂足为，跷跷板的一端落到地面时与地面的夹角，且，则点与地面的距离是（    ） A． B． C． D． 6．如图，老师带领数学小组测量河里面一颗大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 7．如图，一艘客船从码头点出发，沿北偏东方向航行，速度为海里时，小时后一艘快艇也从同一码头出发，向正北方向航行小时后，此时客船在快艇的正东方向，则快艇航行的速度为（    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 二、填空题 8．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度 ． 9．如图，在离铁塔底部米的处，用测角仪从点处测得塔顶的仰角为，测角仪高为米，则铁塔的高为 米． 10．如图，水平地面上护林员与树根的距离，护林员的眼睛与地面距离，在此处观测到树梢点D的仰角为，则树高 m． 11．如图，一艘船从处向北偏西的方向行驶3海里到处，再从处向正东方向行驶5海里到处，此时这艘船与出发点处相距 海里. 12．如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 ． 三、解答题 13．如图，在电线杆上的处引拉线、固定电线杆，拉线和地面所成的角，在离电线杆9米的处安置高为米的测角仪，在处测得电线杆上处的仰角为． (1)若时求拉线的长；（结果保留根号） (2)如果拉线与视线恰好相等时，求的值； (3)若，请你比较从点到点的两种连接方式：方式一：和方式二：．哪种方式长度更短．（） 14．如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东方向上，乙留在原地休息，甲继续向前走了100米到处，此时测得乙在其北偏东方向上．求道路的宽是多少米（结果保留根号）． 15．如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果精确到0.1千米）； (2)甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？ 16．如图，某校数学兴趣小组为了测得学校旗杆的高度，在点D处用高为1.2米的测角仪，测得旗杆顶端A的仰角为，又测得米，求这根旗杆的高度． （已知：,,结果精确到0.1米．） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查的是直角三角形的应用-坡度坡比问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：∵滑雪道的坡度为，即， 米， 米， 由勾股定理得：米， 故选：C． 2．C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数的定义求出顶端离地面的高度，再与选项对比得出答案． 【详解】解：过点作于点． ∵ ，， ∴ 是直角三角形，． 在中，，， ∵ ， ∴ ． 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的实际应用，矩形的判定和性质，正确理解俯仰角是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，米，，，在直角三角形中，利用正切值，求出，米， 在中，米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，米，，， 米，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （米）， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 5．D 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．求出，过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 在中，， 如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， ∴， ∴， 点O为跷跷板的中点， ∴， 是的中位线， ， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定及解分式方程，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据题意可得，，，，，根据，得出是等腰直角三角形，设，根据的正切函数可得，解方程求出的值，根据即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，连接，由题意可得，，海里，即得海里，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得，，，海里， ∴海里， ∴快艇航行的速度为海里时， 故选：． 8． 【分析】本题考查了求坡度． 根据坡度的定义，坡度是铅垂高度与水平距离的比，即． 设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，利用勾股定理可求水平距离，再计算坡度． 【详解】解：设沿一斜坡向上走3米，水平距离为米，根据勾股定理： （米） 坡度， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了解直角三角形，特殊角的正切值．解题的关键在于构造直角三角形． 如图所示，过点作，则四边形为矩形，米，米，在中，，求出的值，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作， 则四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． 过作于，则，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则，， 在中，， ∴， ∴ 故答案为： ． 11． 【分析】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答． 根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， ，海里， 海里，海里， （海里）， （海里）， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键．先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度． 【详解】解：在中，，， ，， ． 在中，， ． 故答案为： ． 13．(1)拉线的长为米 (2) (3)方式二的长度更短 【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）过点A作于点H，可得四边形是矩形，因此米，米，在中，解直角三角形得到米，因此（米），在中，解直角三角形得到（米），即可解答； （2）在中，解直角三角形得到（米），米，从而米，在中，解直角三角形得到∴米，因此（米），再由在矩形得到（米），即可解答； （3）方式一的长度为，方式二的长度为，分别求出它们的长度，再进行比较即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点H， 由题意得，， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∵在中，， ∴（米）， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）． 答：拉线的长为米． （2）解：∵在中，米，， ∴（米）， 米， ∴米， ∵在中，，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴在矩形中，（米）， 即a的值为． （3）解：由（2）可得米，（米） ∴当时，米， ∴方式一的长度为（米）． ∵在中，，米， ∴（米）， ∵，， ∴米， ∴方式二的长度为（米）， ∵， ∴方式二的长度更短． 14． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 作于点，设，由题意得，，进而得，在中，可利用正切函数列方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：作于点，设， 由题意知， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， 答：道路的宽是． 15．(1)的长度约为2.5千米 (2)甲选择的路线比较近，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握等腰直角三角形和含30°角的直角三角形三边的关系． （1）过B作于E，由，可得，，故（千米），（千米），而C在B的北偏西方向，得是等腰直角三角形，从而（千米），（千米）； （2）过C作于F，由千米，千米，得千米，在中，求出，，根据D在C的北偏西方向，知，可得，进而可得，即可得，，比较即得答案． 【详解】（1）解：过B作于E，如图： 根据已知得， ∵， ∴， ∴（千米），（千米）， ∵C在B的北偏西方向， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米），（千米）， ∴的长度约为2.5千米； （2）解：过C作于F，如图： 由（1）知千米，千米， ∴千米， 在中，（千米），（千米）， ∵D在C的北偏西方向， ∴， ∴ （千米），（千米）， ∴（千米）；（千米）， ∴； ∴甲选择的路线比较近． 16．米 【分析】本题主要考查解直角三角形，作于点E，可得米，米，解，求出米，根据可得结论． 【详解】解：作于点E，如图， 则四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∵， ∴（米）， ∴（米）. 所以，这根旗杆的高度约为13.3米． 学科网（北京）股份有限公司 $