2.5三角函数的应用 同步习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

2.5三角函数的应用 同步习题 一、单选题 1．某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距50海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠BAP=（　　） A． B． C． D． 2．海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这是测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（　　） A．5 B．6 C．6 D．8 3．如图，在离铁塔150米的处，用测角仪测得塔顶的仰角为，测角仪的高为米，则铁塔的高为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m m，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于    (　　) A．m·sinαm B．m·tanαm C．m·cosαm D．m 5．如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是(　　) A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 6．某校数学“综合与实践”小组的同学想要测量校园内文化长廊（如图）的最高点到地面的高度．如图是其测量示意图，五边形关于直线对称，与，分别相交于点，．测得，，，，则文化长廊的最高点离地面的高度约为（    ）（结果保留一位小数，参考数据：，，） A． B． C． D． 7．如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为300，看这栋高楼底部C的俯角为600，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（ ） A．40m B．80m C．120m D．160m 二、填空题 9．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比，顶部A处的高为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度为 米．    10．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为 m（精确到0.1m）．（可能用到的数据≈1.41，≈1.73） 11．如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端D与点C、B在同一条直线上．已知AC＝32米，CD＝16米，则荷塘宽BD为 米(取≈1.73，结果保留整数)． 12．一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援，海警船到达事故船处所需的时间大约为 小时（用根号表示）． 13．如图，在平地和在山坡上树木的株距（相邻两棵树之间的水平距离）均为，已知山坡的坡度为，则山坡上相邻两棵树之间的坡面距离为 ． 14．在中，∠C=90°，AB=13，AC=5， ． 三、解答题 15．如图，一枚运载火箭从地面A处发射．当火箭到达B点时，从位于地面D处的雷达站测得BD的距离是4km，仰角为30°；当火箭到达C点时，测得仰角为45°，这时，C点距离雷达站D有多远（结果保留根号）？ 16．如图，斜坡AC的坡度为1：，AC=8米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=8米，试求旗杆BC的高度． 17．如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度． 18．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB．（结果保留整数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A B C C A D 1．A 【详解】试题分析：∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距50海里，∴PA＝50， ∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处， ∴∠APB＝90°　BP＝60×＝40， ∴tan∠BAP=，故选A． 2．B 【详解】试题分析：作AC⊥BD于点C， ∠ABD=90°-75°=15°， ∵∠ADC=90°-60°=30°，  ∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°-15°=15°， ∴∠ABD=∠BAD， ∴BD=AD=12（海里）， 在直角△ADC中，AC=AD=×12=6（海里）．故选B． 3．A 【分析】本题考查了与仰角俯角有关的解直角三角形的应用；过点A作于E，则可由仰角的正切值求得，再加上的长即为的长． 【详解】解∶ 过点A作于E， 根据题意，得米，米， ∵塔顶的仰角为， ∴， ∴米， ∴米， 故选∶A． 4．B 【详解】∵tanα=，∴AB=mtanα米. 故选B. 点睛：熟记三角函数公式. 5．C 【分析】连接，由题意得：，，，，，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，，，，， ， ， ， ， ， 即处在处的北偏东方向， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，过点作于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，得到，求出，再解直角三角形得出的长，再由计算即可得出答案熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 由题意，得，， ∵垂直平分，垂足为，垂直平分，与交于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 7．A 【详解】则另一条直角边为 ，根据正切=对边：邻边，即tanθ=. 故选A. 8．D 【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解． 【详解】解：过A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∵∠BAD=30°，AD=120m， ∴BD=AD•tan30°=120×m， 在Rt△ACD中，∵∠CAD=60°，AD=120m， ∴CD=AD•tan60°=120×=120m， ∴BC=BD+CD=m． 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 9．8 【分析】根据坡比即可求解． 【详解】解：由题意结合坡比，代入， ∴米， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了坡比的定义，属于基础题，熟练掌握坡比定义即可． 10．2.3 【分析】利用特殊直角三角形中的三角函数值，三角函数定义，即可求解 【详解】解：∵∠BCA=90°， ∴cos∠BAC=． ∵∠BAC=30°，AC=2， ∴AB=≈2.3． 答∶相邻两棵树的斜坡距离AB约为2.3m． 故答案为：2.3 11．39 【详解】根据题意可得：∠B=30°， 在Rt△ABC中，tan∠B=tan30°=， 则BC=32≈55米， 则BD=BC-CD=55-16=39米． 故答案为：39 12． 【分析】过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=（海里），然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D． 在Rt△ACD中， ∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=60海里， ∴CD=AC=30海里． 在Rt△CBD中， ∵∠CDB=90°，∠CBD=90°-37°=53°， ∴BC=（海里）， ∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：20÷40=（小时）． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13． 【分析】本题考查坡度的计算，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 利用坡度求出竖直高度，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：山坡的坡度为，， ， 在中，， 故答案为：． 14． 【分析】先根据勾股定理求出的长，再利用余切公式． 【详解】解：中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理以及余切定理，掌握这两个定理是解题的关键． 15．C点距离雷达站D是km． 【分析】先通过cos∠BDA求出AD的长,再通过cos∠CDA求出CD的长即可． 【详解】在Rt△ABD中,cos∠BDA＝, ∴AD＝4×＝ (km)； 在Rt△ACD中,cos∠CDA＝, ∴CD＝＝ (km)． ∴C点距离雷达站D是km． 【点睛】本题考查解直角三角形和三角函数应用,关键在于通过图象结合． 16．旗杆BC的高度为8米 【分析】如果延长交于点，则，要求的高度，就要知道和的高度，就要先求出的长度．直角三角形中有坡比，由的长，那么就可求出的长，然后求出、的高度，，即可得出结果． 【详解】解： 延长交于点，则． 在中，AC=8，由坡度为可知：， ， ． 在中，． ， （米． 答：旗杆的高度为8米． 【点睛】本题考查了三角函数和解直角三角形，熟悉相关性质是解题的关键． 17．（16+5）米． 【详解】设AG=x．在Rt△AFG中， ∵tan∠AFG=， ∴FG=，在Rt△ACG中， ∵∠GCA=45°， ∴CG=AG=x， ∵DE=10， ∴x﹣=10，解得：x=15+5， ∴AB=15+5+1=16+5（米）． 答：电视塔的高度AB约为(16+5)米． 18．塔高AB大约为58米 【分析】先判断△ACE为等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根据AB=AF－BF即可得出答案． 【详解】解：依题意可得：∠AEB=30°，∠ACE=15°， 又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE， ∴∠CAE=15°． ∴△ACE为等腰三角形． ∴AE=CE=100米． 在Rt△AEF中，∠AEF=60°， ∴EF=AEcos60°=50（米），AF=AEsin60°=50（米）． 在Rt△BEF中，∠BEF=30°， ∴BF=EFtan30°=（米）． ∴（米）． 答：塔高AB大约为58米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $