2.5 三角函数的应用 课时训练 2025-2026学年 鲁教版（五四制）九年级数学上册

第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第2课时 利用解直角三角形解坡角问题 认知基础练 练点1 只含单一坡角的应用 1.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD,AE,DF 为梯形的高，其中迎水坡 AB的坡角α=45°，坡长米，背水坡CD的坡度 则背水坡的坡长CD为( ) A.20米 米 C.10米 米 2.如图①，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图②，梯子与地面所成的角α为75°，梯子AB长3m ，求梯子顶部离地竖直高度BC(结果精确到0.1m). 练点2 多个坡角的应用 3.如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 BC 的长为m,则大树 AB 的高为( ) A.m(cosα-sinα) B.m(sinα-cosα) C.m(cosα-tanα) 4.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE =10 m,其坡度为 将步梯 DE 改造为斜坡 AF，其坡度为i₂ = 1:4,则斜坡 AF 的长度是______________m.(结果精确到0.01 m,参考数据: 思维发散练 发散点 利用坡角、视角测高 5.市政府为实现5G 网络全覆盖,2021~2025年拟建设5G基站三千个.如图，在斜坡 CB上有一建成的基站塔AB，斜坡 CB 的坡比为1：2.4.小芳在坡脚 C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面 CB行走了 13米到达 D处，在D处测得塔顶A 的仰角为53°.(点A、B、C、D均在同一平面内，CE为地平线)(参考数据： (1)求D处的竖直高度； (2)求基站塔AB 的高. 参考答案 1. A 【点拨】∵迎水坡AB的坡角α=45°,坡长AB=米, (米),∴DF=AE = 10 米. ∵背水坡 CD的坡度 ∴DC=2DF=20米,故选 A. 2.【解】在 Rt△ABC 中,AB=3m ,∠BAC=75°, 答：梯子顶部离地竖直高度 BC 约为 2.9 m. 3. A 【点拨】如图,过点 C作水平线与AB的延长线交于点 D，则AD⊥CD,∴∠BCD=α,∠ACD=45°.在 Rt△CDB 中,CD = m·cosα,BD = m·sinα,在 Rt△CDA 中,AD = CD× tan45°=m×cosα×tan 45°=mcosα,∴AB=AD-BD=m·cosα-m·sinα=m(cosα-sinα).故选 A. 4.20. 62 【点拨】∵ DE 的坡度为 5m .∵四边形ABCD为矩形,∴ AB = CD = 5m . ∵斜坡AF的坡度为i₂=1:4,AB=5m ,∴BF=4AB=20 m, 在Rt△ABF中,20.62(m), ∴斜坡AF的长度约为20.62 m. 5.【解】(1)如图,过点 D作 DM⊥CE,垂足为M. ∵斜坡 CB的坡比为1:2.4, 设DM=5k米,则 CM=12k米,在 Rt△CDM 中,CD=13米,由勾股定理得CM²+DM²=CD², 即(12k)²+(5k)²=13²,解得k=1(负值舍去),∴DM=5米,CM =12 米. ∴D处的竖直高度为5米. (2)如图,延长AB交CE于点E,过点 D作DF⊥AE,垂足为点 F,则 DF=ME,DM=EF. 由斜坡 CB的坡度i=1:2.4,可设 DF=12a米,则 ME = 12a米,BF=5a米. ∵∠ACE=45°,∴∠CAE=∠ACE=45°,∴AE=CE=(12+12a)米, ∴AF=AE-EF=AE-DM=12+12a-5=(7+12a)米. 在 Rt△ADF中,∵DF=12a米,AF=(7+12a)米,∠ADF=53°, 解得 (米), (米), (米). 答：基站塔AB的高为 米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直角三角形的边角关系 5 三角函数的应用 第1课时 利用解直角三角形解视角、方向问题 目标一 利用解直角三角形仰角、俯角问题 认知基础练 练点1 仰角的应用 1.如图，某火箭从地面P处发射，当火箭达到A点时，从位于地面Q处雷达站测得A、Q 的距离是 500米，仰角∠AQP为α，则发射点 P与雷达站Q之间的距离是( ) A.500sinα米 B.500cosα米 米 米 2.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB 的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点 A 的仰角为 22°,再向前 70 m至D点，又测得最高点A 的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB 的高度约为( )(精确到1 m.参考数据:sin 22°≈0.37, tan 22°≈0.40, sin 58°≈0.85, tan 58°≈1.60) A.28 m B.34 m C.37 m D.46 m 练点2 俯角的应用 3.如图，有甲、乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物 D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，BC为两座建筑物的水平距离，已知乙建筑物的高度 CD为6m，则甲建筑物的高度AB约为______________m.(sin 58°≈0.85, cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60.结果保留整数) 4.如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A 的俯角为 30°.小青计算后得到如下结论:①AB≈18.8米;②CD≈8.4米;③若直接从点A 处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点 A 8 米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害. 其中正确的是______________.(参考数据： 1.7 思维发散练 发散点 利用视角测量距离 5.汽车盲区是指驾驶员位于驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.如图，△ABC、△FED分别为汽车两侧盲区的示意图，已知视线PB 与地面BE的夹角 ∠PBE=45°,视线PE与地面 BE 的夹角∠PEB=20°,点A,F分别为PB,PE与车窗底部的交点,AF∥BE,AC,FD垂直于地面 BE,A点到 B点的距离为米.(参考数据:sin 20°≈0.3, cos 20°≈0.9, tan 20°≈0.4) (1)求盲区中 DE 的长度; (2)点M在ED上，MD=1.8米，在M处有一个高度为0.3米的物体，驾驶员能观察到物吗? 请说明理由. 目标二 利用解直角三角形解方位角问题 认知基础练 练点1 同一点的方位角的应用 1.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处,在C处观测到 B 在 C 的北偏东60°方向上，则 B、C之间的距离为( ) A.20海里 海里 海里 D.30海里 2.“龙舟故里”赛龙舟，丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点 P 处观看 200 米直道竞速赛.如图，赛道AB为东西方向，赛道起点A 位于点P的北偏西 30°方向上，终点B位于点 P的北偏东60°方向上,AB=200 米,则点 P到赛道 AB的距离约为_________米.(结果保留整数) 练点2 不同点的方位角的应用 3.上午9时，一条船从A处出发，以每小时40 海里的速度向正东方向航行，10 时到达B处(如图).从A，B 两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东 15°方向，那么船在 B处时与小岛M 的距离为( ) 海里 海里 C.40 海里 海里 思维发散练 发散点 利用方位角解运动距离的应用 4.如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动.小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点 D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C 处航行到 D处的距离.(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,tan68°≈2.48) 参考答案 目标— 利用解直角三角形解仰角、俯角问题 1. B 【点拨】由题意得,AQ=500米,在 Rt△APQ中,解得 PQ=500cosα米,∴发射点P与雷达站Q之间的距离是500cosα米.故选B. 2. C 【点拨】在 Rt△ABD中, = 在 Rt△ABC中,∵tan∠ACB= 解得AB≈37 m.故选C. 3.16 【点拨】如图,过点 D作DE⊥AB于点E,则BE=CD=6m ,∠ADE =45°,∠ACB =58°,在 Rt△ADE中,∠ADE=45°,设AE=xm,则 DE=xm,∴BC=xm,AB=AE+BE=(6+x)m,在Rt△ABC中,tan∠ACB=解得x≈10,∴AB≈16 m. 4.①③④ 【点拨】如图,过点D作DE⊥AB,垂足为点E,则AE=DC,DE =AC =12米. 在 Rt△ADE中,6.8(米). ∴AD=2AE≈13.6米,CD=AE≈6.8米,故②不正确. 在 Rt△BED中,BE=DE·tan 45°= 12米,∴AB= BE +AE≈12+6.8 = 18.8(米),故①正确. ∵AD≈13.6米,AB≈18.8米,∴AB>AD.∴若直接从点A 处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响,故③正确. ∵18.8-8 = 10.8(米),10.8<12，∴若第一次在距点 A8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害，故④正确. 5.【解】(1)∵FD⊥EB,AC⊥EB,AF∥BE,∴DF=AC. 在Rt△ACB中, 米, (米),∴DF=AC=1米. 在 Rt△DEF中,∵∠FDE=90°,∠PEB=20°,(米). 答：盲区中 DE 的长度约为2.5米. (2)驾驶员能观察到物体. 理由如下:过点M 作 NM⊥ED,交 PE于N,如图. ∵ED≈2.5米,MD=1.8米,∴EM≈0.7米. 在 Rt△EMN中,MN=EM·tan∠PEB≈0.7×0.4=0.28(米), ∵0.3>0.28,∴在 M 处有一个高度为0.3米的物体，驾驶员能观察到物体. 目标二 利用解直角三角形解方位角问题 1. C【点拨】如图,∵∠ABE=15°,∠DAB=∠ABE,∴∠DAB=15°,∴∠CAB =∠CAD+∠DAB=90°.又∵∠FCB =60°,∠CBE=∠FCB,∠CBA +∠ABE =∠CBE,∴∠CBA =45°. ∴在 Rt△ABC中,sin∠ABC海里.故选C. 2.87 【点拨】过点P作PC⊥AB,垂足为 C.设PC=x米,在 Rt△APC中,∠APC =30°,∴AC = PC· 米.在 Rt△CBP中,∠CPB=60°,∴BC=米,∵AB=200米, 点P到赛道AB 的距离约为87米. 3. D 【点拨】如图,过点 B作BN⊥AM于点 N.由题意得,AB=40×1=40(海里),∠ABM=105°,在直角三角形 ABN中, (海里),在直角三角形BNM 中, ∠MBN= 105°-45°=60°,∴∠M=30°,∴BM=2BN=40 ;海里.故选D. 4.【解】如图,过点 C作 CF⊥DE于点 F. 由题意得,∠D=40°,∠ACB=68°, 在 Rt△ABC中, ∴AB=CB×tan 68°≈200×2.48 =496(米). ∴BE =AB-AE≈496-200 =296(米). ∵∠CFE=∠FEB =∠CBE=90°,∴四边形 FEBC 为矩形.∴CF=BE≈296 米. 在 Rt△CDF中,∠DFC=90°,(米) 答：观光船从 C 处航行到D处的距离约为 462.5米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $