13.1 分式及其性质 讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册

本讲义聚焦分式及其性质核心知识点，系统梳理分式概念（强调分母含字母且不化简判断）、有意义/无意义/值为零的条件（分子分母取值规则）、基本性质（含变号法则）及约分与最简分式（因式分解基础），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过12类分层题型（如概念辨析、值为整数取值范围）及跟踪训练，结合上海各区期中期末真题，培养抽象能力（分式与分数对比）、推理意识（约分变形逻辑）和应用意识（阅读理解题拆分分式）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13.1 分式及其性质 知识点一、分式的概念 一般地，对于两个整式A、B(B是非零整式),A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母.本章主要讨论分母中含有字母的分式. 要点： （1） 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. （2） 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3） 分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 知识点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点： （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 知识点三、分式的基本性质 1、分式的分子和分母乘(或除以)同一个整式，当该整式的值不为0时，分式的值不变，即 这个性质叫做分式的基本性质. 2、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四、分式的约分，最简分式 1.约分 2x是分式分子、分母的一个公因式，运用分式的基本性质，可以把分子、分母中的2xy约去.像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的过程，叫作约分. 2.最简分式 分式、、的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的分式叫作最简分式.与都是最简分式，习惯上，在结果中将化为. 注意：如无特殊说明，本章出现的分式的变形与运算，总是在分式有意义的前提下进行. 3.约分可以化简分式.如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式.有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分.分式的约分一般要使结果成为最简分式. 要点： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 题型01：分式的概念辩析 【例1】在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练】 1．下列式子中不是分式的是（    ） A． B． C． D． 2.下列代数式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在，，，，，中，分式的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 题型02：分式有意义无意义的条件 【例2】要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【跟踪训练】 1．若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 3. 当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 题型03：分式的值为0 【例3】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【例4】若分式的值为，则的值为 ． 【跟踪训练】 1.分式，则 ． 2．若分式的值等于，则 ． 3.当 时，分式在实数范围内有意义，当 时，分式的值为0． 4.当x取什么值时，分式满足下列要求： (1)无意义(2)有意义；(3)值为0． 题型04：分式的值为正（负）数时字母的取值范围 【例5】分式的值是正整数，则正整数的值是 ． 【跟踪训练】 1.若分式的值为正数，则（   ） A． B． C． D． 2.已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 题型05：分式的值为整数时字母的取值范围 【例6】对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【例7】若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练】 1．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 2．使得为整数的自然数的个数为 个． 题型06：分式扩大或缩小倍数问题 【例8】把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【跟踪训练】 1．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 2．若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（    ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 3.如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 题型07：约分 【例9】约分： (1)；(2)；(3)；(4)． 【例10】化简： （1） ； （2） ； （3） ． 【跟踪训练】 1．约分： ． 2．化简： ． 3．化简： ， 4．化简： (1) (2) 题型08：辨析分式变形是否正确 【例11】下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③     ④，错误的是 ．（填序号） 【例12】若成立，则的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1.在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 2．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3.下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4.下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 5.若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 题型09：最简分式 【例13】在分式，，，中，最简分式有 个． 【跟踪训练】 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各分式中，最简分式是（       ） A． B． C． D． 3．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 4.把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 题型10：分式求值 【例14】先化简，再求值：，其中，． 【例15】如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【例16】若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练】 1.当时， ． 2.已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 3.若，则分式的值 4.已知，则 ． 题型11：将分式的分子分母最高次项化为整数、正数 【例17】不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【跟踪训练】 1.不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2.不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3.不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 题型12：阅读理解题 【例18】阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【跟踪训练】 1．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 2．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 一、选择题 1.（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在式子，，，中，分式有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）要使分式的值为零，则应满足条件是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26七年级上·上海宝山·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 2、 填空题 7．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，中，分式的个数是 个． 8．当x的取值满足 时，分式有意义 时，分式无意义 时，式子的值为0． 9．（24-25七年级上·上海松江·期末）若，则 ． 10．（24-25七年级上·上海闵行·期末）整数 为 时，式子为整数． 11．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 12．不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 13．（24-25七年级上·上海松江·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 14．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）分式化成最简分式为 ． 15．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 16．（2023春·江苏·八年级期中）分式的值是整数，则正整数的值等于______． 17.（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是________ 18.（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是————————— 三、解答题 19．（2023春·全国·八年级专题练习）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 20．约分： (1)；(2)；(3)；(4)． 21．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）约分： (1)； (2)． 22．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 23．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式． （1）当m为何值时，该式的值大于零？ （2）当m为何整数时，该式的值为正整数？ 24．（24-25七年级上·上海宝山·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 25．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题13.1 分式及其性质 知识点一、分式的概念 一般地，对于两个整式A、B(B是非零整式),A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母.本章主要讨论分母中含有字母的分式. 要点： （1） 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. （2） 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3） 分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 知识点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点： （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 知识点三、分式的基本性质 1、分式的分子和分母乘(或除以)同一个整式，当该整式的值不为0时，分式的值不变，即 这个性质叫做分式的基本性质. 2、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点四、分式的约分，最简分式 1.约分 2x是分式分子、分母的一个公因式，运用分式的基本性质，可以把分子、分母中的2xy约去.像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的过程，叫作约分. 2.最简分式 分式、、的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的分式叫作最简分式.与都是最简分式，习惯上，在结果中将化为. 注意：如无特殊说明，本章出现的分式的变形与运算，总是在分式有意义的前提下进行. 3.约分可以化简分式.如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式.有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分.分式的约分一般要使结果成为最简分式. 要点： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 题型01：分式的概念辩析 【例1】在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个 ，是整式． 故选B． 【跟踪训练】 1．下列式子中不是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的定义，逐个判断得结论． 【详解】解：解：选项A、C、D的分母中都含有未知数，故它们都是分式； 是整式．所以不是分式的是B． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的定义．分式需同时满足三个条件：（1）的形式；（2）分子、分母都是整式；（3）分母中含有字母． 2.下列代数式、、、、中，是分式的共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：、、中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式， 、的分母中含有字母，因此是分式，共2个． 故选：B． 3．在，，，，，中，分式的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式定义是解题的关键，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式。 【详解】解：由此可得，不是分式，，，， 是分式，共4个分式， 故选B 题型02：分式有意义无意义的条件 【例2】要使得分式有意义，则x满足的条件是（　　） A． B． C． D．x≠1 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 即． 故选：B． 【跟踪训练】 1．若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程，解方程即可． 【详解】∵分式无意义，         ∴， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 2．若分式无意义，则的值为（       ） A．1 B． C．或1 D．0 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， 故选：C． 3. 当x 时，分式有意义；当x 时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义和没有意义，由于分式有意义，则；由于分式没有意义，故． 【详解】解：当时，分式有意义， 所以； 当时，分式没有意义． 所以． 故答案为：；． 题型03：分式的值为0 【例3】若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 【例4】若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：分式的值为， 且， 解得：， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.分式，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确掌握分式的值为零的条件是解题关键． 直接利用分式的值为零，则分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为：． 2．若分式的值等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，涉及绝对值方程、分式有意义的条件等知识，根据题意得到，且，求解即可得到答案．熟记分式值为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：分式的值等于， ，且， 解得， 故答案为：． 3.当 时，分式在实数范围内有意义，当 时，分式的值为0． 【答案】 取一切实数 值为1 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）确定分母恒大于0，则分子取一切实数即可； （2）根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0 求解． 【详解】解：∵， ∴，则分母始终不为0， ∴取一切实数； ∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为：取一切实数；值为1． 4.当x取什么值时，分式满足下列要求： (1)无意义 (2)有意义； (3)值为0． 【答案】(1) (2) (3)当时，分式的值为0 【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解； （2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解； （3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解． 【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得： ，即，解得， 当时，分式无意义； （2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得： ，即，解得， 当时，分式有意义； （3）解：当分式，则， 即，解得， 当时，分式值为零． 【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键． 题型04：分式的值为正（负）数时字母的取值范围 【例5】分式的值是正整数，则正整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 【跟踪训练】 1.若分式的值为正数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号，据此列不等式（组）解答． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， ∴． 故选C． 2.已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 题型05：分式的值为整数时字母的取值范围 【例6】对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 【例7】若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 【跟踪训练】 1．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 2．使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 题型06：分式扩大或缩小倍数问题 【例8】把分式中的x和y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的10倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，将原分式中的x和y均扩大为原来的5倍，代入化简后与原式比较，判断分式值的变化． 【详解】原分式为，当x和y均扩大为原来的5倍时，代入得： ， ∴式中的x和y都扩大为原来的5倍后的值为原来的5倍． 故选A． 【跟踪训练】 1．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，解题的关键是掌握分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：将分式中的x，y都扩大10倍，得 ∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变， 故选：D． 2．若把分式中的和都扩大倍，那么该分式的值（    ） A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，通过分式的基本性质可对变形后的分式进行化简．先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：分式中，和都扩大倍，则分式的值为：， 即该分式的值缩小为原来的 故选：C． 3.如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．不变 D．不能确定 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为 ， 所以分式的值扩大为原来的2倍， 故选：A． 题型07：约分 【例9】约分： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． （1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【例10】化简： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的约分； （1）直接约分即可求解； （2）先把分子分母因式分解，再约分； （3）先把分子分母因式分解，再约分． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． （3） 故答案为：． 【跟踪训练】 1．约分： ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．把分子分母都约去公因式即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 2．化简： ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的基本性质，结合因式分解化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．化简： ， 【答案】 / 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 4．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 题型08：辨析分式变形是否正确 【例11】下列分式的变形中：①（c≠0）②＝，③     ④，错误的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【详解】解：③原式= ，故③错误； ④原式= ，故④错误； 故答案为③④． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【例12】若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求使分式变形成立的条件 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解； （4）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：    （2）； 故答案为： （3）； 故答案为：     （4）． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解；分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变． 【详解】选项A： 分子分母同时加2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等。故A错误． 选项B： 分子分母同时减2，除非，否则不成立．但． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故B错误． 选项C： 左边为，右边为，仅当或时成立． 但，且时虽成立，但非普遍情况． 例如，取，，左边为，右边为，不等． 故C错误． 选项D： 计算左边：，右边为，显然左边=右边． 故D正确． 故选：D． 3.下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原变形错误； B．当b不为0时， ，故原变形错误； C．，故原变形正确； D．，故原变形错误； 故选：C． 4.下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，正确利用分式的基本性质求出是解题关键．根据分式的性质，可化简变形． 【详解】解：A. ，故此选项不符合题意； B. ，故此选项不符合题意； C. ，故此选项不符合题意； D. ，故此选项符合题意； 故选：D． 5.若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件、求使分式变形成立的条件 【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即， ， 又分式的分母不能为0， ， x应满足的条件是且， 故选C． 【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0． 题型09：最简分式 【例13】在分式，，，中，最简分式有 个． 【答案】2 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】其中的是整式， ∵， ∴不是最简分式， ∴最简分式有2个； 故答案为：2. 【点睛】此题考查了最简分式的定义，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意 【跟踪训练】 1．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，据此逐项判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】、，不是最简分式，不合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 、是最简分式，符合题意； 、，不是最简分式，不合题意； 故选：． 2．下列各分式中，最简分式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断分式是否是最简分式，看分式的分子分母能否进行因式分解，是否能约分． 【详解】解：A项可化简为，故错误； B项可化简为，故错误； C项可化简为，故错误； D项是最简分式，故正确． 故选D． 【点睛】此题考查了最简分式，掌握分式在化简时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式是解题的关键． 3．下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 4.把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分子分母同除以即可得； （2）先分别利用平方差公式和十字相乘法对分子分母进行因式分解，再分子分母同除以即可得； （3）分子分母同除以即可得． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质、因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 题型10：分式求值 【例14】先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的分子分母进行因式分解，再约分，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【例15】如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，利用整体代入法求值是解题的关键．由可得，将其代入分式中化简即可． 【详解】解：∵，   ∴， ∴． 故选：A． 【例16】若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 【跟踪训练】 1.当时， ． 【答案】1 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式求值， 把代入分式中求解即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 2.已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，可将分式转化为关于的表达式，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选C． 3.若，则分式的值 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的求值，变换代入是解题的关键． 首先得到，然后代入求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ． 故答案为：． 4.已知，则 ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】考查了分式的求值，找出的关系，代入所求式进行约分．由，得，再代入所求得式子化简即可． 【详解】， ， ， 故答案为： 题型11：将分式的分子分母最高次项化为整数、正数 【例17】不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【跟踪训练】 1.不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2.不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3.不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型12：阅读理解题 【例18】阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 【跟踪训练】 1．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 2．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是________分式（填“真”或“假”）； (2)先将假分式化为带分式________，再当的值为整数，求x的整数值．（写出过程） (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或 (3)最小值为 【分析】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． （1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）解：， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3）解： ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 一、选择题 1.（25-26七年级上·上海嘉定·期中）在式子，，，中，分式有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，关键是抓住分母中是否含有字母，注意常数（如或数字）作为分母时，不是分式；根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式，逐项判断分母是否含有字母． 【详解】解：对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数（圆周率），不含字母，不是分式； 对于，分母含有字母，是分式； 对于，分母是常数，不含字母，不是分式． ∴ 分式有2个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）当时，分式没有意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式没有意义的条件，熟知当分母为零时分式没有意义是解题的关键． 根据分母等于0时分式没有意义即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式没有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 3．（25-26七年级上·上海闵行·期中）要使分式的值为零，则应满足条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 分式的值为零需分子为零且分母不为零，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴分子且分母， 解得（此时，满足条件）． ∴应满足， 故选：A． 4.（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，根据最简分式的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是最简分式，符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意． 故选：A． 5.（25-26七年级上·上海宝山·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，掌握知识点是解题的关键． 分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． 【详解】解：， 故选C． 6．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）如果把分式中的，都扩大到原来的倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．扩大到原来的倍 C．缩小到原来的 D．扩大到原来的倍 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由分式中的，都扩大到原来的倍， 则， ∴扩大到原来的倍， 故选：． 2、 填空题 7．（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）在，，，，中，分式的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，且，那么式子叫做分式逐个判断各式即可求． 【详解】解：在，，，，中，，，是分式，共3个， 故答案为：3． 8．当x的取值满足 时，分式有意义 时，分式无意义 时，式子的值为0． 【答案】 ； ； ． 【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 由题意得：， 解得：， 由题意得：，且， 解得：； 故答案为：，，． 【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 9．（24-25七年级上·上海松江·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．先将，化成，再代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海闵行·期末）整数 为 时，式子为整数． 【答案】 【分析】由式子为整数可知或或或，从而可解得m的值．考查的是分式的值，根据式子为整数确定出的值是解题的关键． 【详解】∵， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子和分母同时乘（或除以）一个不等零的整式，分式的值不变，即可得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：当时，即时， ， 故答案为：． 12．不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 【答案】． 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可； 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确计算是解题的关键． 13．（24-25七年级上·上海松江·期中）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 ． 【答案】 【分析】把分子分母同时除以，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变是解题的关键． 14．（24-25七年级上·上海奉贤·课后作业）分式化成最简分式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可. 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 16．（2023春·江苏·八年级期中）分式的值是整数，则正整数的值等于______． 【答案】2或3或5 【分析】根据分式的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：或或， ∴或3或5， 故答案为2或3或5． 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键． 17.（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，然后解这两个不等式组即可求出结论． 【详解】解∶ ， ∵分式的值为正数， ∴， 解得且． 故选∶B． 【点睛】此题考查的是根据分式的值的取值范围，求字母的取值范围，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 18.（24-25七年级上·上海嘉定·期中）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 三、解答题 19．（2023春·全国·八年级专题练习）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，． 【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可． 【详解】（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或． （2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． （3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义． （4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． 【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么． 20．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）分子分母约去即可； （2）分子分母约去即可； （3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可； （4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 21．（2025七年级上·上海奉贤·专题练习）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． （1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）把分母和分子因式分解，找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； 【详解】（1）解：； （2）． 22．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知． (1)若y的值为正数，求x的取值范围； (2)若y的值为整数，求整数x的所有可能值． 【答案】(1) (2)或或或或或 【分析】本题考查了分式的值，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的值为正数得出，即可求出x的取值范围； （2）根据y的值为整数得出或或或或或，即可求出整数x的所有可能值． 【详解】（1）解：的值为正数， ， ； （2），y的值为整数， 或或或或或， 或或或或或． 23．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：代数式． （1）当m为何值时，该式的值大于零？ （2）当m为何整数时，该式的值为正整数？ 【答案】（1）m＞1；（2）2，3，5 【分析】（1）根据分式值大于0的条件计算即可； （2）根据值为整数进行判断求解即可； 【详解】解：（1）∵0， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1，即，当m＞1时，该式的值大于零； （2）∵为正整数，m为整数， ∴m﹣1＝1或m﹣1＝2或m﹣1＝4， 解得：m＝2，3，5． ∴当m为2，3，5时，该式的值为正整数． 【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出不等式或方程是解题的关键． 24．（24-25七年级上·上海宝山·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 25．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $