专题13.1 分式及其性质（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题13.1 分式及其性质 教学目标 1. 知道分式的概念及有意义的条件； 2. 学会分式的求值； 3. 掌握分式的基本性质、最简分式、约分等．。 教学重难点 1.重点 （1）学会判断分式，根据分式有意义的条件求参数范围； （2）掌握分式的基本性质及其应用； （3）了解约分的过程，利用约分将分式化为最简分式。 2.难点 （1）利用分式的基本性质求解有关化简、变形、求值问题等； （2）分式的基本性质的综合应用。 知识点1 分式 一、分式的概念 一般地，对于两个整式A、B(B是非零整式),A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母.本章主要讨论分母中含有字母的分式. 要点： （1） 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. （2） 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3） 分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点： （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 【即学即练】 1．下列各式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的定义：分母中含有未知数的式子即为分式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．据此判断即可． 【详解】解：，，分母中都不含有字母，都不是分式， 分母中含有字母，是分式， 观察四个选项，选项A符合题意． 故选：A． 2．使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件为，即可求得x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义，   ∴， 解得：． 故选：B． 3．若分式的值为0，则 ． 【答案】0 【分析】考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】解：由分式的值为零的条件得，， 解得，得， ∴． 故答案为：0． 4．若分式的值为0，则x应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0的条件”是解本题的关键．分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，根据原理列方程与不等式，从而可得答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ 解得：． 故选：A． 5．分式的值是正整数，则正整数的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式的值，根据题意确定符合题意的正整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值是正整数， ∴或2， ∴或， 又x为正整数， ∴， 故答案为：1． 知识点2 分式的基本性质 一、分式的基本性质 分式的分子和分母乘(或除以)同一个整式，当该整式的值不为0时，分式的值不变，即 这个性质叫做分式的基本性质. 二、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 三、分式的约分，最简分式 1.约分 2x是分式分子、分母的一个公因式，运用分式的基本性质，可以把分子、分母中的2xy约去.像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的过程，叫作约分. 2.最简分式 分式、、的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的分式叫作最简分式.与都是最简分式，习惯上，在结果中将化为. 注意：如无特殊说明，本章出现的分式的变形与运算，总是在分式有意义的前提下进行. 3.约分可以化简分式.如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式.有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分.分式的约分一般要使结果成为最简分式. 要点： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 【即学即练】 1．将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 将原分式中的和均扩大为原来的2倍，代入后化简新分式，观察其与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和均扩大为原来的2倍时，新分式为， 分式化简得，与原分式完全相同， 故选：A． 2．化简分式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练应用分式的基本性质是解答此题的关键． 按照分式的基本性质对分式进行化简即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 4．若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分母一定含有字母，且最简分式的分子和分母没有公因式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，中必须有字母，且分子分母不能还有公因式， 选项B、C中没有字母，代入后表达式不是分式，故排除； 选项D代入后，分式为，分子分母有公因式4，不是最简分式，故排除． 只有选项A满足题意． 故选A． 5．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的化简，掌握分式的约分成为解题的关键． （1）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可； （2）先对分子、分母分别进行因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 题型01 判断分式 【典例1】．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分母中含有字母的代数式即为分式成为解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，分母为常数2025，不含字母，因此是分数，不是分式，不符合题意； B．，分母为字母，符合分式的定义，是分式，符合题意； C．，分母为常数2，不含字母，因此是单项式，不是分式，不符合题意； D．，无分母，属于整式中的多项式，不是分式，不符合题意． 故选B． 【变式1】．在代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义：形如的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，这样的式子是分式，根据定义解答即可． 【详解】解：在代数式，，，中，分式有，共2个， 故选：B 【变式2】．下列各式中：，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子即为分式，需逐一判断各式的分母是否含字母，即可作答． 【详解】解：分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母为字母a，符合分式定义，是分式； 分母为，含字母x和y，是分式； 分母为数字2，不含字母，是整式，不是分式； 分母π为常数，不含字母，是整式，不是分式； 综上，分式共有2个， 故选：D． 题型02 分式有意义的条件 【典例1】．若有意义，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零解答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：B 【变式1】．使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件为，即可求得x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义，   ∴， 解得：． 故选：B． 【变式2】．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 解得：， 故选：D． 题型03 分式的值为0 【典例1】．若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 【变式1】．若分式的值为0，则x应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0的条件”是解本题的关键．分式的值为0的条件：分子为0且分母不为0，根据原理列方程与不等式，从而可得答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ 解得：． 故选：A． 【变式2】．若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式等于0的条件，掌握“分式的值等于0，分子等于0，分母不等于0”是解题的关键． 根据分式的值等于0，可得分子等于0，分母不等于0，进而即可求解． 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴ 或 ． ∵分母为0，分式无意义， ∴，即 ∴． 故选：D． 题型04 分式的值为正数 【典例1】．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值，根据分式的值为正数，则分子分母同号，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴分子分母同正或同负， ∴或 解得或， 故选：C 【变式1】．若分式的值为正数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号，据此列不等式（组）解答． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， ∴． 故选C． 【变式2】．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 题型05 分式的值为整数 【典例1】．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的性质，首先把分式整理可得：，因为分式的值是一个整数，所以是整数，所以可得或或，又因为为正整数，可得或，所以可能取值的个数是. 【详解】解：， 分式的值是一个整数， 是整数， 或或， 、、、、、， 又为正整数， 或， 可能取值的个数是. 故选：B． 【变式1】．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，分离假分式是解题的关键．先将假分式分离可得出，根据题意可知是6的整数约数，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由题意可知，是6的整数约数， ∴，，，，1，2，3，6， 解得，，，0，1，，2，， 其中的值为整数为，0，1，2，共4个． 故选：B． 【变式2】．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 题型06 分式扩大或缩小倍数问题 【典例1】．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】A 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得，分式的值不变， 故选：A． 【变式1】．将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 题型07 约分 【典例1】．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （2）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （3）先提取公因式，再约分即可得到答案； （4）分子和分母分别利用提取公因式法和完全平方公式法分解因式，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． （1）直接约分即可得到答案； （2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． （1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）把分母和分子因式分解，找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； 【详解】（1）解：； （2）． 题型08 辨析分式变形是否正确 【典例1】．下列各式的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变；需逐一分析各选项是否符合该性质． 【详解】选项A：；分子分母同时约去，则，否则分式无意义；故A一定成立； 选项B：；右边为左边的平方，显然不相等（如，时，左边为，右边为），故B错误； 选项C：；分子分母同时乘以，根据分式基本性质，若，等式成立；若，则分式无意义，因此C不正确； 选项D：；分子分母同时减去，不符合分式基本性质（如，，时，左边为，右边为），故D错误； 故选：A． 【变式1】．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式化简的法则依次判断即可求解． 【详解】解：A、，所以正确，符合题意； B、当时，，所以不正确，不符合题意； C、，所以原式不正确，不符合题意； D、，所以原式不正确，不符合题意； 故选：A ． 【变式2】．下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A. ，可能为0，此选项错误，不符合题意；     B. ，此选项正确，符合题意；     C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型09 最简分式 【典例1】．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的概念及判断方法，解题的关键是掌握最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式），并能对分式的分子和分母进行因式分解以寻找公因式． 明确最简分式的定义：分子与分母没有公因式．对每个选项的分子和分母进行因式分解．检查分子分母是否存在公因式，若没有则为最简分式． 【详解】解：的分子分母有公因数 2，可化简为，因此不是最简分式，A错误． 的分母可因式分解为，分子分母有公因式，可化简为，因此不是最简分式，B错误． 的分母可提取公因式a，化为，分子分母有公因式a，可化简为，因此不是最简分式，C错误． 的分母无法因式分解，分子分母没有公因式，因此是最简分式，D正确． 故选：D． 【变式1】．要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化成最简分式． 找出分子分母的最大公因式即可． 【详解】解：分式存在最大公因式， ∴应将其分子分母同时约去的公因式为， 故选：C． 【变式2】．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式的定义． 判断分式是否为最简分式，需检查分子与分母是否存在公因式，若无，则为最简分式，逐一判断即可． 【详解】解：A：分子为，无法因式分解，分母为，分子与分母无公因式，故为最简分式； B：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； C：分子为，分母为，系数12与15有公因数3，可化简为，不是最简分式； D：分子为，分母为，分子与分母有公因式，可化简为，不是最简分式； 故选：A． 题型10 分式求值 【典例1】．已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，可将分式转化为关于的表达式，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选C． 【变式1】．如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，利用整体代入法求值是解题的关键．由可得，将其代入分式中化简即可． 【详解】解：∵，   ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】．若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 题型11 将分式的分子分母最高次项化为整数、正数 【典例1】．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式1】．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式2】．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 【变式3】．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 题型12 分式的综合应用 【典例1】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式的分子分母进行因式分解，再约分，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式1】．甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工 个零件（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意可得甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是，列出式子化简即可． 【详解】解：甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是． 则乙每小时加工的零件是：． 故答案是：． 【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是根据题意列出代数式． 【变式2】．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了分式的约分，因式分解，读懂题意是关键．根据题意对分母分解因式，从而可以求出相对应的a的值． 【详解】解：由题意可得可以分解因式，且a为整数， ∴，或， ∴ 当时，，符合题意； 当时，，可以约分，不符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 当时，，不可以约分，符合题意； 由以上可得：的值是6或． 故答案为：6或． 【变式3】．观察下列等式（式子中“！”是一种数学运算符号，n是正整数）：计算： . 【答案】[或] 【分析】根据题目给出的运算法则，代入分式计算即可． 【详解】原式= 【点睛】本题考查了分式的运算，读懂题意按照题目中的运算法则解题是关键． 一、单选题 1．在，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． 【详解】解：，，分母中含字母，是分式； ，分母中不含字母，不是分式； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键． 2．要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】分式有意义应满足分母不为0，即， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件（分母不等于零），正确把握定义是解题关键． 3．如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的25倍 B．扩大到原来的5倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】D 【分析】用和分别替换原分式中的x和y即可得出结果． 【详解】解：， 如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，那么分式的值缩小到原来的， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键，本题属于基础题型． 4．下列分式中，当取任何实数时，该分式总有意义们是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的有意义条件概念逐个进行判断即可． 【详解】解：A、当时，分母为，分式无意义； B、当时，分母为，分式无意义； C、当时，分母为，分式无意义； D、当取任何实数时，分母为，分式总有意义； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟记分式的有意义条件概念是解题的关键． 5．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分子分母不含公因式的分式叫做最简分式，对四个选项逐一检查是否还能化简即可求得结果． 【详解】A选项，故不是最简分式； B选项不能再化简，故是最简分式； C选项，故不是最简分式； D选项，故不是最简分式． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的约分，解决本题的关键是找到分子分母中的公因式． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据因式分解法对分式进行化简， 【详解】解： 故选A. 【点睛】标题主要考查了分式的约分，将分子进行正确因式分解是解答本题的关键， 7．分式值为0，则应满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分式的值为0的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵分式的值为0， ∴，解得： ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，以及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 8．下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、当时，等号右边的式子没有意义，选项错误，不符合题意； 故选：A 【点睛】此题考查了分式的性质，涉及了平方差公式，解题的关键是熟练掌握分式的有关性质． 9．下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式值是0的条件是分子等于0，分母不为0即可得到结论． 【详解】解：A、当时，无意义，故本选项不合题意； B、当x为任意实数时，的值总为正数，故本选项符合题意； C、当或2时，能得整数值，故本选项不合题意； D、当时，有意义，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 10．使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】把分式化简为，因分式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．由此即可解答. 【详解】, 要使分式的值为整数， ∵分子3一定， ∴x-1=±3或±1， ∴整数x可取的取值为4，-2，0，2，共,4个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键． 二、填空题 11．式子①，②，③，④，是分式的有 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据分式的定义对选项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式， 分式有①③， 故答案为①③． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题关键是掌握分式和整式的区别，分母中含有未知数的为分式． 12．化简： ． 【答案】 【分析】把分子分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分，解题的关键是掌握公因式的确定方法，如果分式的分子和分母都是单项式，数字取最大公约数，字母取相同的字母，字母的指数取最小的． 13．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件得，解之即可． 【详解】解：由题意，得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，函数自变量取值范围，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 14．如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么该分式的值 ． 【答案】缩小为原来的 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键． 直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故答案为：缩小为原来的． 15．填空： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不，从而求出答案． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题． 16．当x的取值满足 时，分式有意义 时，分式无意义 时，式子的值为0． 【答案】 ； ； ． 【分析】根据分母不为零时分式有意义，分母为零时分式无意义，分子且分母时分式的值为0，列方程或不等式可求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 由题意得：， 解得：， 由题意得：，且， 解得：； 故答案为：，，． 【点睛】此题主要考查了分式有意义和分式值为零的条件，分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 17．不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 【答案】． 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可； 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，准确计算是解题的关键． 18．约分： ； ； ； ； ； ； ； ； ． 【答案】 【分析】根据分式的性质，提公因式法因式分解或公式法因式分解，进行约分即可． 【详解】；；； ；； ； ； ； ． 故答案为： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 【点睛】本题考查了分式的约分，掌握因式分解是解题的关键． 三、解答题 19．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（2）（4）是整式，（1）（3）是分式 【分析】根据分式和整式的定义逐一判断即可得． 【详解】解：（1）的分母中含有字母，是分式； （2）的分母中没有字母，且，是由2个单项式的和构成的，是整式； （3）的分母中有字母，是分式； （4）是由单项式xy与单项式x2y的和构成的多项式，是整式． 【点睛】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式． 20．x满足什么条件时下列分式有意义？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，逐题列不等式计算即可． 【详解】解：（1）∵有意义 ∴3x≠0，即x≠0； （2）∵ ∴3-x≠0，即x≠3； （3）∵ ∴3x+5≠0，即； （4）∵ ∴≠0，即． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于0成为解答本题的关键． 21．在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解； （4）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：    （2）； 故答案为： （3）； 故答案为：     （4）． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 22．把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分子分母同除以即可得； （2）先分别利用平方差公式和十字相乘法对分子分母进行因式分解，再分子分母同除以即可得； （3）分子分母同除以即可得． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了分式的基本性质、因式分解，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 23．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）分子分母约去即可； （2）分子分母约去即可； （3）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可； （4）首先把分子分母分解因式，然后再约去分子分母的公因式即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． 24．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)； (2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值． 【答案】(1)②③④ (2)或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可； （2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ①，是“和谐分式”； ②，分式可以约分，不是“和谐分式”； ③，分式可以约分，不是“和谐分式”； ④，分式可以约分，不是“和谐分式”； 综上，不是“和谐分式”的是②③④； 故答案为：②③④； （2）解：∵为“和谐分式”， ∴可以进行因式分解，且不能有因式， ∴或或或， ∴或或． 【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键． 25．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题： （1）写出一个假分式为： ； （2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可） （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）；（2）1+；（3）x=0，1，3，4 【分析】（1）根据定义即可求出答案． （2）根据题意给出的变形方法即可求出答案． （3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值． 【详解】解：（1）根据题意，是一个假分式； 故答案为：（答案不唯一）． （2）； 故答案为：； （3）∵， ∴x2=±1或x2=±2， ∴x=0，1，3，4； 【点睛】本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.1 分式及其性质 教学目标 1. 知道分式的概念及有意义的条件； 2. 学会分式的求值； 3. 掌握分式的基本性质、最简分式、约分等．。 教学重难点 1.重点 （1）学会判断分式，根据分式有意义的条件求参数范围； （2）掌握分式的基本性质及其应用； （3）了解约分的过程，利用约分将分式化为最简分式。 2.难点 （1）利用分式的基本性质求解有关化简、变形、求值问题等； （2）分式的基本性质的综合应用。 知识点1 分式 一、分式的概念 一般地，对于两个整式A、B(B是非零整式),A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母.本章主要讨论分母中含有字母的分式. 要点： （1） 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母. （2） 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3） 分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果. 二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点： （1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 【即学即练】 1．下列各式是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若分式的值为0，则 ． 4．若分式的值为0，则x应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 5．分式的值是正整数，则正整数的值是 ． 知识点2 分式的基本性质 一、分式的基本性质 分式的分子和分母乘(或除以)同一个整式，当该整式的值不为0时，分式的值不变，即 这个性质叫做分式的基本性质. 二、分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 要点：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 三、分式的约分，最简分式 1.约分 2x是分式分子、分母的一个公因式，运用分式的基本性质，可以把分子、分母中的2xy约去.像这样，把一个分式的分子与分母中的公因式约去的过程，叫作约分. 2.最简分式 分式、、的分子与分母没有一次及以上的公因式，这样的分式叫作最简分式.与都是最简分式，习惯上，在结果中将化为. 注意：如无特殊说明，本章出现的分式的变形与运算，总是在分式有意义的前提下进行. 3.约分可以化简分式.如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式.有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分.分式的约分一般要使结果成为最简分式. 要点： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式. （2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分. 【即学即练】 1．将分式中的m，n的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的2倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的4倍 2．化简分式： ． 3．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 4．若是一个最简分式，则可以是（   ） A．x B． C．4 D． 5．化简： (1) (2) 题型01 判断分式 【典例1】．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．下列各式中：，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型02 分式有意义的条件 【典例1】．若有意义，则下列说法正确的是（　　） A． B． C．且 D． 【变式1】．使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 分式的值为0 【典例1】．若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【变式1】．若分式的值为0，则x应满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 题型04 分式的值为正数 【典例1】．若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A． B． 或 C． 或 D． 【变式1】．若分式的值为正数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 题型05 分式的值为整数 【典例1】．对于正整数，使分式的值是一个整数，则可能取值的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若取整数，则使分式的值为整数的值有（   ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【变式2】．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 分式扩大或缩小倍数问题 【典例1】．如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【变式1】．将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 题型07 约分 【典例1】．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．约分： (1)； (2)． 题型08 辨析分式变形是否正确 【典例1】．下列各式的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型09 最简分式 【典例1】．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．要将分式化成最简分式，应将其分子分母同时约去的公因式为 （    ） A． B． C． D． 【变式2】．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型10 分式求值 【典例1】．已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 【变式1】．如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】．若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型11 将分式的分子分母最高次项化为整数、正数 【典例1】．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 题型12 分式的综合应用 【典例1】．先化简，再求值：，其中，． 【变式1】．甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工 个零件（用含a的代数式表示）． 【变式2】．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“友好分式”．例如分式是友好分式．若为整数，且关于的分式是“友好分式”，则的值为 ． 【变式3】．观察下列等式（式子中“！”是一种数学运算符号，n是正整数）：计算： . 一、单选题 1．在，，，，中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．如果把分式中的x、y都扩大到原来的5倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的25倍 B．扩大到原来的5倍 C．不变 D．缩小到原来的 4．下列分式中，当取任何实数时，该分式总有意义们是（    ） A． B． C． D． 5．下列分式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 6．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．分式值为0，则应满足（　　） A． B． C． D． 8．下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列关于分式的判断，正确的是（    ） A．当时，的值为零 B．当x为任意实数时，的值总为正数 C．无论x为何值，不可能得整数值 D．当时，有意义 10．使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．式子①，②，③，④，是分式的有 ． 12．化简： ． 13．在函数中，自变量的取值范围是 ． 14．如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么该分式的值 ． 15．填空： （1）； （2）． 16．当x的取值满足 时，分式有意义 时，分式无意义 时，式子的值为0． 17．不改变分式的值，把的分子与分母中各项系数都化为整数为 ． 18．约分： ； ； ； ； ； ； ； ； ． 三、解答题 19．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 20．x满足什么条件时下列分式有意义？ （1）； （2）； （3）； （4）． 21．在括号中填上恰当的式子： （1）；     （2）； （3）；     （4）（且）． 22．把下列分式化为最简分式． （1）； （2）； （3）． 23．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)； (2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值． 25．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题： （1）写出一个假分式为： ； （2）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ；（直接写出结果即可） （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$