1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，通过复习向量刻画平行的旧知，以“能否用向量解决垂直问题”设问导入，构建从平行到垂直的知识脉络，为学生提供递进式学习支架。 其亮点在于以数学抽象提炼垂直关系的向量表示，通过坐标法（例1正方体证明线线垂直）、基向量法（例2平行六面体证线面垂直）等典例培养逻辑推理，用规范向量语言（如方向向量点积为0表线线垂直）系统小结。帮助学生发展空间观念与推理能力，为教师提供结构化教学资源与方法参考。

1.4.1-3空间中直线、平 面的垂直 新课程标准解读 核心素养 1.能用向量语言表述直线与直线、直 线与平面、平面与平面的垂直关系 2.能用向量方法判断或证明直线、平 面间的垂直关系 1.能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、平面与平面的垂直关 系. (数学抽象) 2.能用向量方法证明必修内容中 有关直线、平面垂直关系的判定定 理. (逻辑推理) 3.能用向量方法证明空间中直线、 平面的垂直关系. (逻辑推理) 复习回顾 · 用向量刻画空间中直线、平面的平行 线线平行： l₁//l₂ U₁ /u₂⇔λ∈ R, 使 得u₁=λu₂ 线面平行：l//a⇔u n⇔u·n=0 面面平行： a//β ⇔3λ∈R, 使 得n 二 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合. 情景引入 上节课我们用直线的方向向量和法向量，解决了线线，线面 平行，面面平行的问题，是否可以利用空间向量解决直线、平面 的垂 直 问题? 思考1:如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直? 设 直 线l₁ ,l₂ 的方向向量分别为ü₁,ü₂,则 l₁⊥l₂⇔ü₁⊥ü₂⇔ü₁·ü₂=0. a 探究新知 U₁ ly U2 思考2: 如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与 平面垂直关系? 设直线l的方向向量为ū,平面α的法向量为n, 则 lla⇔ül/n⇔3λ∈R, 使得ü= λn. 探究新知 个 n l u lla< a 思考3: 由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量 有什么关系? 设平面a,β 的法向量分别为n₁,n₂, 则 α⊥β⇔n₁ ⊥n₂ ⇔n·n₂=0. ⇔m//n₁⇔m=λn₁. 探究新知 a ⊥ β 运用新知 怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系? 提 示 ： (1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直； (2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行； (3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直. 转化 方向向量 法向量 直线 平面 D₁B₁的中点，求证：EF⊥DA₁ . 证明：如图示，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz, 设正方体的棱长为2,则有 E(2,2,1),F(1,1,2),D(0,0,0),A₁(2,0,2). 品EFa (一1,1,1),DA₁ ■(2,0,2). 品EFoDA₁ 二(-1,=1,1)o(2,0,2) 182+ (一1)80÷1832二0,A 品EF 上DA₁EF↓DA₁ . 典例分析 例1(课本P20-例2)如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，点E,F 分别是BB₁ , 规律方法 利用向量方法证明线线垂直的方法 (1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线 方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于 0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直. (2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律， 结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的 运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线 的方向向量互相垂直. 分析：根据条件，可以AB,AD,AA} 为基底， 并用基向量表示AC₁和平面BDD₁B₁, 再通过向量的运算证明₁C是平面BDD₁B₁的法向量即可 例2(课本P32-例4)如图示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ， ∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°,AB=AD=AA₁=1, 求证：直线A₁C⊥ 平面 【基底法】比【坐标法】更具有一般性 典例分析 BDD₁B₁. 则对于平面BDD₁B₁ 上任意一点P,存在唯一的有序实数对(λ,μ),使得 BP=λ ·BD+ μ ·BB₁ ∴A₁C·BP=A₁C·(λBD+μBB₁) =λA₁C·BD+μA₁C·BB =λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0 ∴A₁C是平面BDD₁B 的法向量.所以A₁C⊥平 面BDD₁B₁ . 典例分析 例2(课本P32- 例 4 )如图示，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ， ∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°,AB=AD=AA₁=1, 求证：直线A₁C⊥ 平 面 证 明：设AB=a,AD=b,AA₁=c, 则{a,b,c} 为空间的一个基底， 且A₁C=a+b-c,BD=b-a,BB₁=c, ∵AB=AD=AA₁=1, ∠A₁AB=∠A₁AD=∠BAD=60°, ∴a²=b²=c²=1,a·b=b·c=c·a= 二. 在平面BDD₁B₁上，取BD,BB 为基向量， BDD₁B₁. 规律方法 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)利用线线垂直 (判定定理) :①将直线的方向向量用坐标表示； ②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断 直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直； (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平 面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行. 另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥a,lcβ, 求证： a⊥β. 证 明：取直线l的方向向量u, n ∵lla, ∴ü是平面α的法向量 . ∵lcβ, 而 n 是平面β的法向量， → → ∴uln. ∴α⊥β. 典 例 分 析 例3(课本P32- 例 5) 证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过 利用空间向量证明面面垂直的方法： 1、 利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直 进而转化为线线垂直； 2、直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂 直 . 说明：向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位 置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到 要证明的结果，思路方法“公式化”,降低了思维难度. 规律方法 空间中直线与平面的垂直 u是直线l的方向向量， n是平面α的法向量，则 lla⇔ulln⇔3λ∈R,使得ü=λn. 空间中平面与平面的垂直 设n,n 分别是平面α,β的法向量，则 a⊥β⇔n⊥n⇔n ·n=0 空间中直线与直线垂直 设直线l₁ ,l₂ 的方向向量分别为u,u₂,则 课堂小结 · 利用空间向量解决平行与垂直问题时 ①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的 点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； ②通过向量的运算，研究平行与垂直问题； ③把运算结果“翻译”成相应的几何意义. 说明：向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形 的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算 就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”,降低了思维难 度 . 课堂小结 课 后 练 习 1.已知ü=(3,a+b,a-b)(a,b∈R) 是直线l的 方 向 向 量 ，n=(1,2,3) 是平面α的法向量 . (1)若1//a, 求a,b的关系式；(2)若lLa, 求a,b的值. 解：(1)由L/lα,得ü⊥n, 即ü ·n=0, ∴3+2(a+b)+3(a-b)=0, 即5a-b+3=0. (2)由lla, 得 ül/n, 设 ü =tn(t≠0), ,解得 课后练习 2.已知正方体 ABCD-A₁ B₁ C₁ D₁ 的棱长为1,以 D 为原点，{DA,DC,DD 为单位正交基 底建立空间直角坐标系，求证： A₁C BC₁. 解：由题意得A₁(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),C₁(0,1,1). ∴A₁C=(-1,1,-1),BC₁=(-1,0,1). ∴A₁C·BC₁=(-1)×(-1)+1×0+(-1)×1=0. ∴A₁C⊥BC₁, 即A₁C⊥BC₁. 课 后 练 习 3.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中 ，AB=2,BC=CC₁=1,E 是CD 的中点， F 是BC的 中点，求证：平面EAD₁ ⊥ 平面EFD₁ . 解：如图示，以D 为原点建立空间直角坐标系，则有 ∴平面EAD₁的一个法向量为m=(1,1,1). 平面EFD₁ 的一个法向量为 ∴m·n=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,∴m ⊥n, ∴平面EAD₁⊥ 平面EFD₁. E(0,1,0),D₁(0,0,1),A(1,0,0), ∴ED₁=(0,-1,1),EA=(1,-1,0), $