1.4 1.4.1 第3课时　空间中直线、平面的垂直-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“空间向量的应用——空间中直线、平面的垂直”，通过门框、旗杆等生活实例导入，以自主学习问题链（如“无数条直线垂直是否线面垂直”）衔接知识，结合合作探究任务（线线、线面、面面垂直）构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以向量法为核心，通过典例（正方体、直三棱柱等）和分层练习（基础到创新），培养数学眼光（观察现实垂直现象）、数学思维（逻辑推理证明）。PPT可编辑适配教学，助力学生提升空间观念与运算能力，教师高效开展分层教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第一章 空间向量与立体几何 3 目 录 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 47 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1．4　空间向量的应用 1．4．1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第3课时　空间中直线、平面的垂直 学习目标　1.理解线面的位置关系与向量的联系，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.会用向量法判断并证明空间中的垂直关系，以提升逻辑推理能力．(重点、难点) 如图，装修用的门框，广场上竖立的国旗杆与地面，直立在水平桌面上打开书的书脊与桌面等都展示了直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直的形象． 提示：一定． 问题3　如果向量n是平面α的法向量，则向量n和平面α内任意向量都一定垂直吗？ 提示：一定． 问题1　如果一条直线l和一个平面α内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α一定垂直吗？ 提示：不一定． 问题2　如果一条直线l和一个平面α内的两条相交直线都垂直，则直线l和平面α一定垂直吗？ 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P31～32，分析思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面有怎样的位置关系？ 提示：这两个平面是垂直关系．直线l的方向向量与平面β的法向量共线，说明直线l垂直于平面β，又直线l在平面α内，所以平面α和平面β垂直． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两个平面的法向量垂直是两个平面垂直的充要条件．(　　 ) (2)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　 ) (3)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．(　　 ) (4)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．(　　 ) 提示： (1)√　(2)×　(3)×　(4)× 　直线与直线垂直 小明利用纸盒折了一个正六棱柱，如图，根据正棱柱的定义可知AB⊥AE. 问题4　图中AE与CD，AB与CD 是什么位置关系？ 提示：AE∥CD，AB与CD是异面直线，且垂直． 问题5　如何用向量法证明AB与CD垂直？ 提示：证明直线AB，CD的方向向量的数量积为0. 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔ ⇔ . u1⊥u2 u1·u2＝0 温馨提示 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 证明：方法一：坐标法．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E，B(1，1，0)． 则＝(1，1，0)，＝， 所以＋0＝0， 所以⊥，所以DB⊥CE. 例1　(链接教材：人A版教材P33练习T2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，求证：CE⊥BD. 方法二：基向量法．；， 所以＝·＝－＝0. 所以⊥，所以DB⊥CE. 类题通法 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 【迁移运用】 1.如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.求证：AP⊥BC. 证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，分别以的方向为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)， 故＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)， ∴＝0×(－8)＋3×0＋4×0＝0，∴⊥，即AP⊥BC. 　直线与平面垂直 如图，这是绕直角三角形的一条直角边 OA 旋转一周形成的几何体(圆锥). 问题6　圆锥的旋转轴 OA 与底面上的任意一条直线是否垂直？为什么？ 提示：垂直，因为OA垂直于底面，所以OA垂直底面上的任意一条直线． 问题7　如何用向量法证明直线与平面垂直？ 提示：证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可． 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 ． u∥n u＝λn 温馨提示 证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可. 例2　(链接教材：人A版教材P32例4)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1为正方形，2AB＝BC＝2，E，F分别为AC，CC1的中点，BF⊥A1B1.证明：BF⊥平面A1B1E. 证明：因为三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，侧面BCC1B1为正方形， 所以BB1⊥AB，BB1⊥BC， 又因为BF⊥A1B1，AB∥A1B1， 所以BF⊥AB， 因为BB1∩BF＝B，BB1，BF⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥平面BCC1B1， 因为BC，BB1⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥BC， 所以BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，F(0，2，1)，A1(1，0，2)，B1(0，0，2)，E，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，A(1，0，0)， 因为＝(0，2，1)·(－1，0，0)＝0，＝(0，2，1)·＝2－2＝0， 所以⊥⊥， 因为A1B1，A1E⊂平面A1B1E，A1B1∩A1E＝A1， 所以BF⊥平面A1B1E. 类题通法 证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 【迁移运用】 2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 证明：方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)． 所以＝(－a，－a，a)，＝(0，2a，2a)，＝(－2a，2a，0)． 因为＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)·0＋(－a)·2a＋a·2a＝0， ＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 方法二　由方法一知＝(0，2a，2a)，＝(－2a，2a，0)． 设平面B1AC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝2a(y＋z)＝0，m·＝－2a(x－y)＝0. 取x＝1，则y＝1，z＝－1，故m＝(1，1，－1)． 所以＝(－a，－a，a)＝－a(1，1，－1)＝－am. 所以∥m，所以EF⊥平面B1AC. 方法三　设＝b，连接BD(图略)，则＝＝＝(b＋c－a)．因为＝a＋b， 所以(b＋c－a)·(a＋b)＝(b2－a2)＝＝0， 所以⊥，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 　 平面与平面垂直 铅垂线多用于建筑测量．用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线．铅垂线的作用是判断物体是否与地面垂直． 问题8　为什么利用铅垂线能检查所砌墙面是否与地面垂直？ 提示：由于铅垂线总是垂直于水平面，根据垂线的性质可用铅垂线来检查所砌墙面是否垂直． 问题9　用向量法如何证明两个平面垂直？ 提示：证明两个平面的法向量的数量积为0即可． 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔ ⇔ ． n1⊥n2 n1·n2＝0 例3　 (链接教材：人A版教材P33练习T3)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 证明：取AB的中点O，CD的中点M，连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 又PA＝PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设AP＝a，AD＝b，则A(0，－a，0)，B(0，a，0)，P(a，0，0)，C(0，a，b)，D(0，－a，b)， 所以＝(0，0，b)，＝(a，a，0)，＝(0，0，b)，＝(a，－a，0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则由得 则z1＝0，令x1＝1，则y1＝－1，即n1＝(1，－1，0)， 同理则z2＝0， 令x2＝1，可得y2＝1，即n2＝(1，1，0)． 因为n1·n2＝1－1＝0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 类题通法 利用空间向量证明面面垂直的两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直 【迁移运用】 3.如图，在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC三条侧棱两两垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC. 证明：如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点， 以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设PA＝PB＝PC＝3， 则P(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)． 于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)， 故，所以PA∥FG. 因为AP⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC. 又因为FG⊂平面GEF， 所以平面GEF⊥平面PBC. 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　 ) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 解析：选B.∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. 2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n＝(1，1，1)，则以n为方向向量的直线与平面ABC的位置关系是(　　 ) A．垂直 B．不垂直 C．平行 D．以上都有可能 解析：选A.由题意，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)，又n·＝0，所以以n为方向向量的直线与平面ABC垂直． 3．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________. 解析：∵平面α与平面β垂直， ∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5. 答案：5 4．在三棱锥S­ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 解析：如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则由AC＝2，BC＝，得B，S，C(0，2，0)，＝＝.因为＝0，所以SC⊥BC. 答案：是 【基础巩固】 1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　 ) A．4 B．－4 C．5 D．－5 解析：选D.因为α⊥β，所以a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，所以k＝－5. 2．已知直线l1的方向向量a＝(1，2，－2)，直线l2的方向向量b＝(－2，3，m)．若l1⊥l2，则m＝(　　 ) A．1 B．2 C． D．3 解析：选B.由于l1⊥l2，所以a⊥b，故a·b＝－2＋6－2m＝0，即m＝2. 3．已知点A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　 ) A．(1，0，－2) B．(1，0，2) C．(－1，0，2) D．(2，0，－1) 解析：选C.由题意知，＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)． 因为PA⊥平面ABC， 所以 解得 故点P的坐标为(－1，0，2)． 4．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(　　 ) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ 解析：选ABC.由题意知PA⊥平面ABCD， 所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确； 又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故⊥，C选项正确；D选项不一定成立． 5．(多选)已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则能使l⊥α的是(　　 ) A．m＝(1，2，1)，n＝(1，0，1) B．m＝(0，1，0)，n＝(0，3，0) C．m＝(1，－2，1)，n＝ D．m＝(1，－2，3)，n＝(－2，2，2) 解析：选BC.因为直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，要使l⊥α，只需m∥n. 对于A，m＝(1，2，1)，n＝(1，0，1)，因为≠≠，所以m，n不平行，故A错误； 对于B，m＝(0，1，0)，n＝(0，3，0)，因为m＝，所以m∥n，故B正确； 对于C，m＝(1，－2，1)，n＝，因为m＝－2n，所以m∥n，故C正确； 对于D，m＝(1，－2，3)，n＝(－2，2，2)，因为≠≠，所以m，n不平行，故D错误． 6．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t＝________． 解析：由题意知u∥v，所以.解得t＝－4. 答案：－4 7．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是_________． 答案：PM⊥AM 解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 依题意可得，D(0，0，0)，P，A，M，所以＝－＝()＝－＝ 所以＝·＝0，所以PM⊥AM. 8．在四面体A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点．则平面BEF与平面ABC是否垂直？________．(填“是”或“否”) 解析：建立如图所示空间直角坐标系Bxyz，取A(0，0，a)，则易得B(0，0，0)，C，D，E，F， 则有＝， ＝(0，0，a)，＝. 因为＝0， 所以EF⊥AB，EF⊥BC. 又因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以EF⊥平面ABC. 又因为EF⊂平面BEF， 所以平面ABC⊥平面BEF. 答案：是 9．在棱长为a的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. 证明：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a，0，a)，C1(0，a，a)． 设AE＝BF＝x，则E(a，x，0)，F(a－x，a，0)． ∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)． ∵＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， ∴⊥，即A1F⊥C1E. 【综合运用】 10．(多选)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AB，CC1，A1D1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　 ) A．A1E⊥AC1 B．BF∥平面ADD1A1 C．BF⊥DG D．A1E∥CH 解析：选BCD.设正方体的棱长为1，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，E，C(0，1，0)，F，C1(0，1，1)，H，G，A(1，0，0)，B(1，1，0)，所以＝＝(－1，1，1)，＝＝＝， 因为≠0，所以A1E与AC1不垂直，故A错误； 易知平面ADD1A1的一个法向量为v＝(0，1，0)，因为·v＝0，所以BF∥平面ADD1A1，故B正确； 因为＝0，所以BF⊥DG，故C正确； 因为，所以A1E∥CH，故D正确． 11．(2025·潍坊一中月考)如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在线段BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________. 答案：2 解析：如图，建立空间直角坐标系，则D(0，a，0)． 设Q(1，x，0)(0≤x≤a)，P(0，0，z)，则＝(1，x，－z)，＝(－1，a－x，0)． 由PQ⊥QD，得－1＋x(a－x)＝0，即x2－ax＋1＝0. 由题意知关于x的方程x2－ax＋1＝0只有一解， 所以Δ＝a2－4＝0，解得a＝2，这时x＝1，x∈[0，2]. 12．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________. 答案：a或2a 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，3a)，C，D. 设E(0≤z≤3a)，则＝＝＝. 又＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a. 13．如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．求证： (1)PB∥平面EFH； (2)PD⊥平面AHF. 证明：(1)因为E，H分别是线段AP，AB的中点，所以PB∥EH. 因为PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，所以PB∥平面EFH. (2)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)．＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， 所以＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. 所以⊥⊥，所以PD⊥AF，PD⊥AH. 因为AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，所以PD⊥平面AHF. 14．在直三棱柱A1B1C1­ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1. 已知G，E分别为A1B1和CC1的中点，D，F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点). 若GD⊥EF，求线段DF长度的取值范围． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则E，设F(x，0，0)，D(0，y，0)且x，y∈(0，1)， 则，由于GD⊥EF， 所以＝0，即x＋2y－1＝0，x＝1－2y， 所以＝， 又因为x，y∈(0，1)，所以1－2y∈(0，1)，得y∈， 所以，即线段DF长度的取值范围为[). 【创新探索】 15．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.设点E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，则λ＝________． 解析：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B，D(0，0，0)，C. 设PD＝a，则P(0，0，a)，＝(0，0，a)，＝(1，0，－a)，. 因为，所以＝＝(0，0，a)＋＝. 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量， 则即 令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1)． 因为DE∥平面PAB，所以·n＝0， 所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0. 因为a≠0，所以λ＝. 答案： 16．如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点． (1)求证：EF⊥CD； (2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB. 解：(1)证明：易知PD，DA，DC两两垂直，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图． 设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F， 所以＝(0，a，0)，所以＝0，所以⊥，即EF⊥CD. (2)设G(x，0，z)，则＝＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)， 若使GF⊥平面PCB，则需＝0且＝0， 由＝·(a，0，0)＝a＝0，解得x＝， 由＝·(0，－a，a)＝＝0，解得z＝0， 因为CB，CP为平面PCB内两条相交直线，故GF⊥平面PCB， 所以点G的坐标为，即G为AD的中点． $