精品解析：海南省三亚市2025-2026学年高一上学期秋季检测数学试题

绝密*启用前 2025—2026学年（上）高一年级秋季检测 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由交集运算即可求解. 详解】， 所以， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系， 可得命题“”的否定为“”. 故选：D. 3. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由元素与集合的关系以及集合与集合的关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，空集不含任何元素，故，故A错误； 对于B，空集是任何集合的子集，而集合含有元素0，故B错误，C正确； 对于D，，故D错误； 故选：C 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先证明由“”可推出“”，再举例说明由“”不能推出“”，根据充分条件和必要条件的定义判断结论即可. 【详解】由“”可推出“”，又， 所以由“”可推出“”， 取，，此时，但， 所以由“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可得出集合. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的基本性质以及取特殊值排除错误选项，即可得答案. 【详解】由，得到， 又因为，所以，故C正确； 当时，，故AD错误； ，故B错误. 故选：C 7. 已知集合，且，则的非空子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A的元素，可得到集合A的非空子集的个数. 【详解】因为，且， 所以当时,；当时,；当时,；当时,. 所以集合，且. 所以集合A的非空子集有：,共15个. 故选：C. 8. 已知表示中的最大者，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设，由最值性质建立的不等式，求出的范围，得到最小值. 【详解】设， 则. 因为，所以. 所以，所以， 所以，解得， 所以的最小值为，即的最小值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A 若集合中只有一个元素，则 B. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“” D. “”是假命题 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据方程只有一个解，按照和分类讨论求解判断A；根据必要不充分判定可判断B；结合充要条件的概念将1代入方程求解判断C；举反例即可判断全称量词命题的真假判断D. 【详解】对于A，由题意得方程只有一个解，显然当时，有唯一解， 当时，，解得，综上或，错误； 对于B， 中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，正确； 对于C，当即时，是方程的一个实数根， 当方程有一个根为1时，代入得即， 故“是方程的一个实数根”的充要条件是“”，正确； 对于D，当时， ，故“”是假命题，正确； 故选：BCD 10. 已知，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时可判断A选项；当时可判断B选项；C选项利用不等式的性质即可判断；当时可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，，则，故A错误； 对于B选项，若，则当时，，故B错误； 对于C选项，若，则，两边同时乘以得，故C正确； 对于D选项，当时，满足，此时，故D错误. 故选：ABD. 11. 已知集合，则下列说法正确是（ ） A. 所有的奇数都是中的元素 B. 所有的偶数都是中的元素 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合中元素的性质，结合代数式的变形，运算可判断AC， 根据特殊值可判断BD. 【详解】设奇数为，则可变形为，其中， 满足集合中元素的形式，所以所有奇数都是中的元素，故A正确； 取偶数，若，则， 所以或或或， 解得或或或，不满足， 故，故B错误； 因为，所以设， 则 ，其中，所以，故C正确； 取，由A选项知，此时，由B知，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】移项并通分，并利用一元二次不等式的解法可得答案. 【详解】移项并通分得： ， 因此，等价于， 解得：. 故答案为：. 13. 若，则的最小值为___________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 14. 设集合，则中元素的个数为___________. 【答案】81 【解析】 【分析】由集合描述法转换成列举法，再由交集运算即可求解. 【详解】, ， 所以， 又， 所以中元素的个数为， 故答案为：81 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1） （2），或. 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合A和B，再由交集的定义求； （2）根据集合的补集交集和并集的运算，直接求解即可； 【小问1详解】 ， ， 所以． 小问2详解】 因为，, 所以， 又，所以． 由（1）知， 所以或. 16. 已知集合. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若“”是“”必要条件等价于是的子集，即可求出实数的取值范围. （2）根据交集的运算性质运算即可得出答案； 【小问1详解】 因为“”是“”的必要条件，所以是的子集， 因为， 所以 解得，即的取值范围是. 【小问2详解】 因为，所以. 若，则，可得； 若，要使，则该不等式组无解. 综上，的取值范围是. 17. 设是关于的方程的两个实数根. （1）若，求； （2）若，求的值； （3）若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 【答案】（1）（写也对） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入已知方程，利用分解因式法求方程的根； （2）由已知可得已知方程的判别式大于等于，由此可得，结合根与系数关系化简，解方程可得结论； （3）由条件可得，，，结合根与系数关系可得结论， 【小问1详解】 若，则方程为， 即，故.（写也对） 【小问2详解】 由，可得. 因为， 所以，整理得，且， 解得或，经检验符合题意. 【小问3详解】 因为是两个不相等的正数， 所以， 解得，所以或， 即的取值范围是或 18. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）24 （3）50 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式 “1”的巧用求解最值即可； （2）由可得，利用分式的性质变形结合基本不等式求解最值即可； （3）由，可得，又，从而将所求最值转化为即可得最值. 【小问1详解】 因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以； 【小问2详解】 由可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为24； 【小问3详解】 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 又，所以， 则的最小值为50. 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式； （3）求证：且. 【答案】（1）； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到； （2）作差法比较大小即可； （3）先得到，先证明出右边，再证明左边，得到结论. 【小问1详解】 提炼出的不等式为. 【小问2详解】 . 因为都是正数，且， 所以，可得，所以. 【小问3详解】 由（2）可知. 取 ，则 ，故有 ， 则有， 先证明右边： 因为， 所以 ， 故. 再证明左边： 因为， 所以 ， 故. 综上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密*启用前 2025—2026学年（上）高一年级秋季检测 数 学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C D. 7. 已知集合，且，则的非空子集的个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 8. 已知表示中的最大者，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确有（ ） A. 若集合中只有一个元素，则 B. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 C. “是方程的一个实数根”的充要条件是“” D. “”是假命题 10. 已知，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知集合，则下列说法正确的是（ ） A. 所有的奇数都是中的元素 B. 所有的偶数都是中的元素 C. 如果，那么 D. 如果，那么 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为______. 13. 若，则的最小值为___________. 14. 设集合，则中元素的个数为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，． （1）求； （2）求，． 16. 已知集合. （1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. 设是关于方程的两个实数根. （1）若，求； （2）若，求的值； （3）若是两个不相等的正数，求实数的取值范围. 18. 已知正数满足. （1）求证：； （2）求的最小值； （3）求的最小值. 19. 假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜. （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式； （2）证明你提炼出的不等式； （3）求证：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $