5.4一元一次方程与实际问题（动点问题专题）2025-2026学年青岛版数学七年级上册

5.4 一元一次方程与实际问题 （动点问题专题） 2025-2026学年青岛版数学七年级上册 一、单选题 1．已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（   ） A． B． C．或8 D．或8 2．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是-6和4，动点M从A点以每秒3cm的速度匀速向右移动，动点N同时从B点以每秒1cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒，当动点N到原点的距离是动点M到原点的距离的2倍时，t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，数轴上有、两点（O为原点），两点距离为9个数轴单位长度，动点、分别从、两点同时出发，向右运动，点的速度为3个单位长度/，点的速度为1个单位长度，设运动时间为，若点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知数轴上，点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B．8 C．或8 D．或8 5．点，在数轴上对应的数分别为，，且满足．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，秒后两点到原点的距离相等，则的值为（ 　） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 6．如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 7．数轴上的点对应的数是，一只蚂蚁从点出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即原路原速返回点，共用去11秒，点对应的数是 ． 8．如图，已知数轴上的点A表示的数为，点C表示的数为6，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度. 9．如图，在数轴上点、表示的数分别为、，若点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点、同时出发，运动时间为秒，经过 秒后，、两点间的距离为个单位长度． 10．如图，数轴上有，，，，五个点，点为原点，点在数轴上表示的数是，线段的长度为个单位，线段的长度为个单位，且，两点之间的距离为个单位．若线段、同时从原来的位置出发，线段以每秒个单位的速度向右匀速运动，线段以每秒个单位的速度向左匀速运动，把线段的中点记作，则 秒时，点与线段的一个端点的距离为个单位． 三、解答题 11．点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为4，点为坐标原点． (1)如图，在数轴中，点与点___________所表示的数互为相反数，点与点___________所表示的数互为相反数； (2)若点为一个动点，从点出发，向点运动，速度为3个单位每秒，点到达点后立即反向继续按原来的速度运动；点为一个动点，从点出发，沿数轴正方向运动，速度为1个单位每秒．两个点同时出发，设：运动时间为秒． ①用含的代数式分别表示动点，动点； ②用含的代数式分别表示线段的长，线段的长； ③当时，直接写出的值． 12．如图所示，点在数轴上对应的数分别为，其中a是最大的负整数，满足，且． (1) ； ； ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C 以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值． 13．（动点问题）如图，数轴上有A、B、C三点，点C表示的数是6，，． (1)求数轴上点A、B表示的数； (2)动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，设运动时间为t（）秒． ①当时，求P、Q两点之间的距离； ②当t为何值时，P、Q两点相遇？ 14．如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为40，动点从点出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点从点出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点回到点时，三点停止运动． (1)当运动时间为3秒时，点、点之间的距离是______，单位；当运动时间为______秒时，点与点相遇． (2)当个单位时，求三个点的运动时间． (3)是否存在常数，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出的值以及该定值；若不存在，请说明理由． 15．如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到 B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． (1)直尺的长为______个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为______； (3)当A点对应的数为20时.作为起始位置，直尺以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为______； ②当时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由点B表示的数点A表示的数的长度，可求出点B表示的数，当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：点A表示的数是，点B在点A的右侧8个单位长度处， 点B表示的数是 当运动时间为t秒时，点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 运动时间t的值为或 故选：D 2．C 【分析】分点M原点左边或右边两种情况讨论，由题意列出方程可求解． 【详解】解：当点M在原点左边， 由题意得：2（6-3t）=4+t， 解得：t=； 当点M在原点右边， 由题意得：2（3t-6）=4+t， ∴t=， 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 3．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离．分当点在点的左侧和点在点的右侧时，两种情况讨论，根据点、两点之间的距离为7个单位长度，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：当点在点的左侧时，由题意得，解得； 当点在点的右侧时，由题意得，解得； ∴点、两点之间的距离为7个单位长度，则t为或； 故选：D． 4．D 【分析】根据等量关系：MN=2BM，列出方程计算即可求解． 【详解】解：依题意有|-2+4t-（-2+8-3t）|=|-2+8-（-2+4t）|×2， 解得t=或8． 故当MN=2BM时，运动时间t的值为或8． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 5．A 【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用，先求出，，从而可得点，在数轴上对应的数分别为，，结合题意得出秒后，点表示的数为，点表示的数为，根据秒后两点到原点的距离相等列出一元一次方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点，在数轴上对应的数分别为，， ∴点，在数轴上对应的数分别为，， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动， ∴秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵秒后两点到原点的距离相等， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故选：A． 6．或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由点A，B，C位置间的关系，可求出点C在数轴上表示的数为4，当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且， ， ， ， ∴点C在数轴上表示的数为． 当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为， ， ， 即或， 解得：或， 点P运动秒或秒，， 故答案为：或． 7．8 【分析】本题考查数轴、数轴上两点间的距离公式，设点对应的数为，则、两点间的距离为，根据“2 倍的距离”列出方程，求解即可； 【详解】解：∵一只蚂蚁从点出发沿着数轴以每秒 2 个单位长度的速度爬行，当它到达数轴上的点后，立即沿原路原速返回点，共用去 11 秒， ∴蚂蚁爬行的路程为（个单位长度）， 设点对应的数为， 则、两点间的距离为， 由题意得：， 解得：或， ∵沿数轴的正方向运动， ∴点对应的数为8． 故答案为：8． 8．5或2 【分析】本题考查了数轴上动点问题，先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时P、Q两点表示的数，然后根据点P与点Q之间的距离为3个单位长度列方程，求解即可． 【详解】解：∵数轴上的点A表示的数为，点C表示的数为6，点B是的中点， ∴点B表示的数为， ∴运动时间为t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P与点Q之间的距离为3个单位长度， ∴，即， ∴或，解得：或2， ∴当t为5秒或2秒时，点P与点Q之间的距离为3个单位长度． 故答案为：5或2． 9．或/18或2 【分析】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间的线段的距离表示方法是解题的关键．用含有时间的代数式表示的距离，利用方程求解即可． 【详解】解：分两种情况， ①当点沿着数轴向右移动，则点表示的数为，点表示的数为， 由得，， 解得，（舍去），或； ②当点沿着数轴向左移动，则点表示的数为，点表示的数为， 由得，， 解得，（舍去），或； 故答案为：2或18． 10．或或或 【分析】本题考查了有理数与数轴，两点间距离，一元一次方程的应用，先根据题意求出点在数轴上表示的数，进而表示出运动秒时点在数轴上表示的数，然后分点到点的距离为个单位和点到点的距离为个单位两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上表示的数是，线段的长度为个单位， ∴点在数轴上表示的数是， ∵，两点之间的距离为个单位， ∴点在数轴上表示的数是， ∵线段的长度为个单位， ∴点在数轴上表示的数是， ∵点是线段的中点， ∴点在数轴上表示的数是， 设运动秒，点与线段的一个端点的距离为个单位， 则此时点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 当点到点的距离为个单位时，则， 整理得，， ∴或， 解得或； 当点到点的距离为个单位时，则， 整理得，， ∴或， 解得或； 综上，当运动或或或秒时，点与线段的一个端点的距离为个单位， 故答案为：或或或． 11．(1)C，D (2)①当时，点P表示的数是，当时，点P表示的数是，点Q表示的数是；②当时，，当时，，；③1或4 【分析】此题考查了一元一次方程的应用及数轴上两点间的距离，动点问题，列代数式，关键是利用数形结合思想，根据题目中的数量关系，列出方程． （1）根据相反数的定义求解即可； （2）①根据点P和点Q的速度以及初始位置列式即可； ②分两种情况，根据两点间的距离求解即可； ③两种情况，根据列方程，然后解方程求解即可． 【详解】（1）点与点C所表示的数互为相反数，点与点D所表示的数互为相反数． 故答案为：C，D； （2）①秒， 当时，点P表示的数是， 当时，点P表示的数是， 点Q表示的数是； ②当时，， 当时，， ， ③当时，，解得， 当时，，解得， 综上可知，当时，直接写出的值为1或4． 12．(1)；9；12；15；3 (2)t的值为12或1 【分析】本题考查了非负数的性质、数轴上两点的距离、一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据题意以及非负数的性质可求出，用点C表示的数减去点B表示的数求出的长，再结合求出的值，即可解答； （2）运动t秒后点A表示的数为，点C表示的数为，根据两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可． 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；9；12；15；3； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点C表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， ∴t的值为12或1． 13．(1)点A表示，点B表示2 (2)①4；②秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）①求出时P、Q表示的数，进而根据两点间的距离公式计算即可； ②相遇时P、Q表示的数相等，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C表示6，，且B在C左侧， ∴点B表示的数为； ∵，A在B左侧， ∴点A表示的数为； （2）解：①依题意得，当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为； ∴； ②依题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当相遇时，P、Q表示的数相等，得：， 解得； ∴当秒时，P、Q两点相遇． 14．(1)21；或10 (2)或4或8 (3)当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）①根据路程速度时间即可求解；分类讨论，列方程求解； （2）、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，到的时间为10秒．到前，所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为．分三种情况：①、相遇前；②、相遇后，到前；③、相遇后，到后．分别根据列出方程； （3）根据题意分3情况讨论，分别根据列出方程，然后根据在为定值求解即可． 【详解】（1）解：①三个动点运动秒时，则、、三点在数轴上所表示的三个数分别为，，， 当时，、两点在数轴上所表示的两个数分别为，， ； ②当时，由题意得，解得，符合题意； 时，由题意得，解得，符合题意， ∴当运动时间为或10秒时，点与点相遇， 故答案为：21；或10； （2）解：、相遇的时间为秒，到的时间为10秒，到的时间为5秒，回到的时间为10秒． 到前，所表示的数为；所表示的数为． ①、相遇前：，解得， ②、相遇后，到前，，解得， ③、相遇后，到后： 所表示的数为；所表示的数为， ，解得， 综上所述：当个单位时，三个点的运动时间或4或8； （3）解：①当、相遇前，即时， ∵所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ②当、相遇后，到前， 根据题意得， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时； ③当、相遇后，到后， 根据题意得， 所表示的数为；所表示的数为；所表示的数为， ，， ∴ ∵为定值， ∴ 解得，此时． 综上所述，当时，为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，数轴上动点问题，列代数式等知识，正确进行分类讨论是解题的关键也是本题的难点． 15．(1) (2)或 (3)①4，② m值为，，，3， 【分析】（1）由题可知：，所以，则； （2）利用图形直观得出，根据等量关系式，列式可求解； （3）①先计算点B移动到点C所用时间，进而求得速度，即可求得m的值； ②分分别为，，的中点，根据距离相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，B点初始位置与C点的距离=直尺的长度=A点初始位置与O点的距离 ∴， ∴可将分成三等分，其中一份为直尺的长度，即， ∴单位长度． 故答案为：； （2）解：设B点表示的数为b， 则： 由题意可知： 即： 可得：或 解得：或 ，， 所以A点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：①A点对应的数为时，B点对应的数为 所以， 当B和C重合时，t值为秒 此时P点运动的距离为，P点对应的数为： 又因为此时P点与C点也重合，即： 解得：， 故答案为：4； ②当时， B点对应的数为，C点对应的数为60，P点对应的数为 i．时，，整理得： 即：，无解 或，解得 所以，m值为； ii．时，，整理得： 即：，解得 或，解得 所以，m值为或 iii．时，，整理得： 即：，解得 或，解得 所以，m值为1或3 综上：m值为，，，3，． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $