5.1.2 函数的表示方法（教学课件）数学沪教版2020必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的解析法、列表法、图像法及分段函数，通过复习函数定义搭建基础，结合自由落体运动、GDP数据等实例展开新知，搭配典例分析与变式训练，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于以“用数学的眼光观察现实世界”“用数学的思维思考现实世界”为核心，融入高斯函数、高考真题等实例，采用分层题型与结构化小结，助力学生发展抽象能力和推理意识，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

5.1.2 函数的表示方法 第一章 函数的概念、性质及应用 沪教版(2020)必修第一册·高一 章节导读 2 学 习 目 标 1 掌握函数的解析法、列表法、图像法的定义与特征. 2 会绘制简单函数大致图像,体会“数形结合”思想. 3 能判断图形是否为函数图像. 4 理解分段函数，会写简单分段表达式. 重点 函数的解析法、列表法、图像法、分段函数的定义与特征 难点 运用“数形结合”的思想通过图像分析函数性质 重难点分析 4 【定义】：设是一个_________________,如果按照某种确定的对应关系,使对集合中的任意给定的,都有_______的实数与之对应,就称这个对应关系为集合上的一个函数(function),记作________________. 其中,叫做_________,其取值范围(数集)称为该函数的__________. 此时,就称是的函数.当自变量取值时,由对应关系所确定的对应于的值,称为函数在处的函数值,记作_____________. 非空的实数集 唯一 自变量 定义域 知识回顾 5 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应关系,这种表示函数的方法称为解析法. 例如,),等都是用解析法表示的函数. 新知探究 6 作自由落体运动的物体的位移与时间满足是重力加速度),也是用解析法来表示的函数. 新知探究 7 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法称为列表法,列表法通常用在定义域为有限集的情况. 年份 GDP/亿元 年份 GDP/亿元 2000 100280 2009 348518 2001 110863 2010 412119 2002 121717 2011 487940 2003 137422 2012 538580 2004 161840 2013 592963 2005 187319 2014 641281 2006 219439 2015 685993 2007 270092 2016 740061 2008 319245 - - 例如,表5-1列出了《中国统计年鉴-2019》发布的2000年至2016年的国内生产总值(GDP). 表5-1 2000年至2016年中国GDP变化表 注：未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的地区生产总值数据. 从表5-1中可以看出,当自变量年份(2000至2016中的整数)确定时,可按照表中所给出的对应关系,查到该年度我国的GDP值作为函数值. 该函数的定义域为,是一个有限集. 新知探究 8 我们知道,对于函数,其定义域中每一个的值都有唯一的一个值与之对应.把这两个对应的数构成的有序实数对作为点的坐标,记作.所有这些点组成的集合叫做函数的图像(graph),即 . 可以看出,如果对定义域中的实数,有,那么点一定在该函数的图像上；反之,如果点在该函数的图像上,那么必有,且. 新知探究 9 例4：作出函数的大致图像. 【解析】取自变量的值分别为、、、、、、、、、、、、,计算出相应的函数值.在平面直角坐标系中标出相应的点,并用光滑的曲线连接这些点,得大致图像如图所示. 利用函数的图像来表示函数的方法称为图像法. 典例分析 10 例5：以下图形中,哪些是函数的图像,哪些不是？ 【解】(1)这是函数的图像,该函数的定义域是由有限个数构成的集合,定义域中每个自变量的值对应的函数值唯一确定. (2)这是函数的图像,该函数的定义域是区间,定义域中的每个自变量的值所对应的函数值唯一确定. (3)这不是函数的图像,如图5-1-3,对应了和,不满足“一个自变量对应唯一函数值”的函数定义. (4)这是函数的图像,该函数的定义域是区间,定义域中的每个自变量的值所对应的函数值唯一确定. x0 y1 y2 典例分析 11 前文中2000年至2016年中国国内生产总值(GDP)关于年份的函数,也可以用图像法表示,如图5-1-4所示. 函数图像上所有点的横坐标的集合就是该函数的定义域,而纵坐标的集合就是该函数的值域. 新知探究 12 在用解析法表示函数时,有一些函数在不同的区间上可以有不同的表达式.例如,函数就是通过来定义的,这样表示函数的方法叫做分段表示法. 分段表示法也是一种解析法,用分段表示法表示一个函数时,其定义域就是每一部分中自变量的取值范围的并集. x y O 新知探究 13 【解析】由题意,当时,；当时,；当时,；当时,；当时,. 可以用如下的分段表示法表示与之间的函数关系： x y O 2 4 6 8 1 2 3 4 数学上,常用表示不大于的最大整数(不大于的最大整数,称为实数的整数部分).注意到当)时,,从而.使用此符号,例中的函数可以简洁地表示为. 例6：某车辆装配车间每2h装配完成一辆车.按照计划,该车间今天生产8h.用解析法和图像法分别表示从当天开始生产的时刻起所经过的时间(单位：h)与装配完成的车辆数(单位：辆)之间的函数. 典例分析 14 【变式】函数的函数值表示不超过的最大整数, 例如, , . 当时, 写出函数的解析式_____________. 【分析】分, 和三种情况, 结合已知, 可得函数的解析式. 【解析】解: 由题意得, 当时, , 当时, ,当时, , 所以函数的解析式为. 变式训练 题型一 15 (教材练习5.1(2).1) 作下列函数的大致图像: (1) (2) (3) (4) 函数的图象与图象的变换 x y O x y O -2 x y O 1 x y O 1 题型探究 题型一 16 (1)； (2). 【变式1-1】作下列函数的大致图像: x y O x=2 3 x y O 1 变式训练 题型一 17 (教材练习5.1(2).2) 根据下图的函数图像，用解析法表示y关于x的函数. 解析法表示函数 【解析】由题意，当时，设函数为,由图像过(-3,1),(-2,4)可得，y=3x+10; 当时， 当时，设函数为y ),由图像过(3,1),(2,4)可得，y=-3x+10. 综上可得，函数解析式为. 题型探究 题型二 18 【变式2-1】若函数 ． (1) 写出当时，的解析式； (2) 在给定的坐标轴上，画出的图像； (3) 试讨论函数的图像与直线的交点个数． 【解析】(1)当时，的解析式为． (2)由(1)知，当时，， 如图所示，为所求函数图像． (3)由(2)可得，当时，． 结合(2)所画图像，函数图像与直线的交点个数情况如下： ①当时，，函数图像与直线有1个交点； ②当时，，函数图像与直线有2个交点； ③当时，，函数图像与直线有3个交点． 变式训练 题型一 19 函数解析式的求解及常用方法 (教材习题5.1.A组.2) 设、是常数，函数的表达式为.若，求 【解析】，， 则，解得，， 故，. 题型探究 题型三 20 【变式3-1】已知函数(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一解,则函数f(x)的解析式为____________. 【解析】因为,且a≠0,可知x≠-, 令f(x)==x,整理可得,解得x=0或x=, 若方程f(x)=x有唯一解,则或,解得b=1, 又因为f(2)=,解得a=, 所以. 变式训练 题型一 21 【变式3-2】已知二次函数满足，则函数的解析式为__________________. 【解析】设， 因为 ， 所以，解得， 所以. 变式训练 题型一 22 分段函数 (教材习题5.1.B组.2) 已知函数的表达式为，求，及，其中为实数． 【解析】， 则； ， 当时，，； 当时，，． 题型探究 题型四 23 【变式4-1】已知函数，则( ) A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【解析】由, 则. 又，所以. C 变式训练 题型一 24 (2017·新课标Ⅲ)设函数 则满足的的取值范围是_____________. 【解析】若, 则, 则等价为, 即, 则, 此时, 当时, , , 当即时, 满足恒成立, 当, 即时, , 此时恒成立,综上. 高考真题 25 课堂小结 感谢聆听! 27 $