5.1.2 函数的表示方法 课件-2025-2026学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

追 本 源 溯 函数的表示方法 3 行走步数 电费 周长 边长 万物在变 函数的概念 初中函数的概念 函数的概念 引例 函数的概念 不对，列车匀速运行时间为半小时. 函数的概念 函数的概念 它们不是同一个函数 函数的概念 函数的概念 函数的概念 函数的概念 函数的概念 函数的概念 函数的概念 问题5：上述问题1到问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 问题1 问题2 问题3 问题4 自变量的取值范围 对应关系 函数值 所在的 集合 函数值 的集合 图3.1-1 表3.1-1 非空数集 非空数集 对应关系 函数的概念 函数的概念 莱布尼茨 约翰·伯努利 欧拉 狄利克雷 函数的概念 莱布尼茨 （1694） 约翰·伯努利 (1718) 函数的概念 欧拉 狄利克雷 (1837) 狄利克雷函数 当自变量取有理数时，函数值为1； 当自变量取无理数时，函数值为0. 函数的概念 李善兰 写一封信a 写一封信b 写一封信c 收信人1 收信人2 朋友圈所有的朋友 函数的概念 A B 一对一 多对一 一对多 √ √ × 函数的概念 函数的概念 …… 函数的概念 函数的概念 函数的概念 A. B. C. D. C 一对一 多对一 一对多 √ √ × 函数的概念 A 一对一 多对一 一对多 √ √ × √ × × × √ √ 函数的概念 √ × × √ 函数的概念 初中学习过的函数 定义域 对应关系 值域 函数的三要素 函数的概念 引例 是 不同 是 函数的三要素：定义域、对应关系、值域 （1） （2） 函数的概念 通过今天的学习，你有哪些收获呢？ 课堂总结 函数的概念 课后练习 函数的概念 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是的函数（function），其中是自变量. （1）正方形的周长与边长之间的对应关系是,是的函数吗？如果是函数，那它与正比例函数相同吗？ （2）是函数吗？ 是的函数. （２）如果列车运行１小时，它行进的路程是350kｍ，你觉得对吗？ 没有关注到的取值范围 （１）这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间 (单位：h)的关系可以如何表示？这是一个函数吗？ 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. 对于任一时刻的都有唯一确定的与它对应 对于任一时刻的都有唯一确定的与它对应 的变化范围是数集 的变化范围是数集 对于数集中的任一时刻，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的路程和它对应. 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. （３）那你认为如何表述与的对应关系才能更精确呢？ (2)我们发现问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ (1)你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资(单位：元)是他工作天数的函数吗？ 问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工作标准是每人每天350元，而且每周付一次工资. 对于任一个工作天数，都有唯一确定的工资与它对应 工资是一周工作天数的函数. (3)你可以仿照问题1用更精确的语言描述与之间的对应关系吗？ 问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工作标准是每人每天350元，而且每周付一次工资. 的变化范围是数集 的变化范围是数集 对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的工资和它对应. 问题3：图3.1-1是某市某日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻 h的空气质量指数（AQI）的值？你认为这里的是的函数吗？ 对于任一时刻的，都有唯一确定的值与它对应，因此是的函数. 值的变化范围 的变化范围是数集 值都在数集中， 对于数集中的任一时刻，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的AQI的值和它对应. 问题4：国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表3.1-1是我国城镇居民恩格尔系数变化情况. 你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 对于任一年份都有唯一确定的与它对应，所以是的函数. 对应关系是表3.1-1. 对于数集中的任意一个年份，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应，所以是的函数. 由恩格尔系数的定义可知， 对应关系是表3.1-1. 对于数集中的任意一个年份，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应，所以是的函数. 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 首次将“function”一词作为专门的数学术语，用来表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等 把函数定义为由变量和常量以任意一种方式构成的量，强调函数要用公式表示. 提出：“如果对于x中的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数.” 1734年引入了现在的函数符号 1755年将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”. 强调函数是变量之间的依赖关系，不再强调函数一定要用解析式表示. 1859年首次将function翻译成“函数”一词， “凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”. 在古代，“函”也指信函、信封之意. 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 对应的函数值 对应的函数值 对应的函数值 一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 例1.下列图象中，表示函数关系的是（ ）. 例2.如图所示，其中是函数的个数为（ ）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 一个自变量，是否会有唯一的因变量与它对应 一个对应了两个 一个对应了两个 例3.如图所示，某加油站地下圆柱体储油罐示意图.已知储油罐长度为，截面半径为(，为常量)，油面高度为，油面宽度为，储油量为，（为变量） 则下列说法中正确的选项序号是 . 1 是的函数 2 是的函数 3 是的函数 4 是的函数 ①④ （1）正方形的周长与边长之间的对应关系是,是的函数吗？如果是函数，那它与正比例函数相同吗？ （2）是函数吗？ 定义域是，值域也是. (1)与初中学习过的函数概念相比，你对函数有哪些新的认识？ (2)结合本节课的函数概念的学习，你有哪些体会？ 3.下列函数哪个与函数是同一个函数？ 1.下列图象中，表示函数关系的是（ ）. 2.求下列函数的定义域. ； (2) . $$