第13讲 函数及其表示方法（2个知识点+7个要点+6种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第13讲 函数及其表示方法 （2个知识点+7个要点+6种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 4.通过函数表示的图象法培养直观想象素养． 5．通过函数解析式的求法培养运算素养. 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点) 4．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点) 知识点01函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 【即学即练1】（函数的概念）下列等量关系中，y是x的函数的是（　　） A．x2+y2＝1 B．|y|＝x2 C．2y＝x D．y2＝2x 【分析】利用函数定义进行判断即可． 【解答】解：对于A，当x＝0时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项A错误； 对于B，当x＝1时，y＝＝±1，不符合函数的定义，故选项B错误； 对于C，满足函数的定义，故选项C正确； 对于D，当x＝2时，y＝±2，不符合函数的定义，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了函数定义的理解与应用，属于基础题． 知识点02 函数相关概念 相同函数 如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）； 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数； 【即学即练2】（相同函数）下列各组函数是同一函数的是（ ） ①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝；③f(x)＝x0与g(x)＝； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②　　　 B．①③ C．③④ D．①④ 【提示】理解函数的定义与构成； 【答案】C； 【解析】①f(x)＝＝|x|与g(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数； ②g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数； ③f(x)＝x0与g(x)＝都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数； 由上可知是同一函数的是③④，故选C； 【即学即练3】（函数的解析式）求下列函数的解析式． ①已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝________. ②已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________. ③已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________. ④设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________． ⑤若f ＝x2＋，则f(x)＝________. 【提示】①③④可以设出函数解析式，用待定系数法求解；②可以把＋1看作一个整体来求解；⑤可以把x－看作一个整体来求解； 【答案】①－x＋3；②x2－1(x≥1)；③2x－或－2x＋1；④f(x)＝；⑤x2＋4； 【解析】①设f(x)＝ax＋b(a≠0)，f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，f(2x－1)＝a(2x－1)＋b， f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，所以解得 即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3. ②法一：令＋1＝t(t≥1)，则＝t－1，x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)． ③设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1， 则解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. ④由题意得解得故f(x)＝ ⑤f ＝x2＋＝＋4，∴f(x)＝x2＋4； 【解题策略】 求函数解析式的常用方法： 1、待定系数法：已知函数fx的函数类型，求fx的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可； 2、换元法：令t＝gx，注明t的范围，再求出ft的解析式，然后用x代替所有的t即可求出fx，一定要注意t的范围即为fx中x的范围； 3、配凑法：已知fgx的解析式，要求fx时，可从fgx的解析式中拼凑出“gx”，即用gx来表示，再将解析式两边的gx用x代替即可； 4、代入法：已知y＝fx的解析式求y＝fgx的解析式时，可直接用新自变量gx替换y＝fx中的x； 【即学即练4】（函数的表示方法）某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【解析】　①列表法如下： x(台) 1 2 3 4 5 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x(台) 6 7 8 9 10 y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 ②图象法：如图所示． ③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}； 【解题策略】 1、函数三种表示方法的选择：解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 2、应用函数三种表示方法应注意以下三点： ①解析法必须注明函数的定义域； ②列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系； ③图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”； 【即学即练4】（分段函数）已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)． ①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域． 【提示】注意：遇函数，起点是定义域； 【解析】①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2＜x＜0时，f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ ②函数f(x)的图像如图所示． ③由函数f(x)的图像知，f(x)在(－2，2]上的值域为[1，3)； 【解题策略】 1、分段函数求函数值的方法：（1）确定要求值的自变量属于哪一段区间；（2）代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值； 2、已知函数值求字母取值的步骤：（1）先对字母的取值范围分类讨论；（2）然后代入不同的解析式中； （3）通过解方程求出字母的值；（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内； 友情提示：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验； 3、当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画； 要点01 对函数概念的理解 （1）对数集的要求：集合A，B为非空数集； （2）任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （3）对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样； （4）一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值； （5）函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可； 要点02 掌握函数定义域的求法 （1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义； 要点03 注意函数相等问题的3个易错点 （1）函数值域是由定义域和对应关系决定的．因此判断两个函数是否相等，看定义域和对应关系即可； （2）当两个函数的对应关系和值域分别相等时，这两个函数不一定相等； （3）若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等；例如，函数f(x)＝x2，x∈R与函数f(t)＝t2，t∈R是相等函数． 要点04 掌握求函数值域的常用方法的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域； 要点05 掌握求函数解析式的方法的4种方法 （1）直接法(代入法)：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式，直接将g(x)代入即可； （2）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)； （4）解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法； 要点06 注意描点法画函数图像的3个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像； （3）要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点； 要点07 理解分段函数的理解关注2个易错点 （1）分段函数是一个函数而非几个函数：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集； （2）分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况； 题型01 函数的概念及其构成要素（共3小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解． 【解答】解：根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故不符合要求， 当时，，，故正确，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题． 2．（2023秋•奉贤区期末）以下图形中，不是函数图像的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义求解即可． 【解答】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意自变量只能有唯一的与对应， 选项中，出现了两个不同的和对应，不满足唯一性，而选项，，符合函数的定义． 故选：． 【点评】本题考查函数的定义，属于基础题． 3．（2023秋•普陀区校级期末）存在函数，满足对任意都有　　 A． B． C． D． 【分析】举例说明错误；利用换元法求解函数解析式判断正确． 【解答】解：对于，由，得，可知的值不唯一，不合题意； 对于，由，得或，，可知（1）的值不唯一，不合题意； 对于，，令，可得，，符合函数概念． 对于，由，得，可知的值不唯一，不合题意； 故选：． 【点评】本题考查函数解析式的求解及函数的概念，考查利用换元法求函数解析式，属于中档题． 题型02 判断两个函数是否为同一函数（共3小题） 4．（2024秋•浦东新区校级期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数． 【解答】解：对于，，与的定义域不同，不是同一函数， 对于，，与的定义域不同，不是同一函数， 对于，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数， 对于，，与的定义域不同，不是同一函数， 故选：． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题． 5．（2024秋•长宁区校级期中）下列四组函数中，两个函数相同的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】可看出选项，，的两个函数的定义域都不相同，从而判断选项，，的两个函数不相同，从而只能选． 【解答】解：的定义域为，的定义域为，定义域不同，两个函数不相同； ．的定义域为，的定义域为，定义域不同，这两个函数不相同； ．和的定义域都是，，时，对应的；时，对应的，对应关系相同，这两个函数相同； 的定义域为，的定义域为，定义域不同，这两个函数不相同． 故选：． 【点评】本题考查了函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看定义域和对应关系是否都相同，考查了计算能力，属于基础题． 6．（2023秋•虹口区期末）下列函数中与函数相同的是　　 A． B． C． D． 【分析】判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况． 【解答】解：函数的定义域为，对应关系为． 对于，函数，故与不是相同函数，故错误； 对于，函数解析式可化为，所以与是相同函数，故正确； 对于．定义域为，，，故错误； 对于，函数，该函数的定义域为，所以该函数与不相同． 故选：． 【点评】本题考查了函数相等的概念，主要是从定义域、对应关系两个方面来考虑，属于基础题． 题型03 函数解析式（共4小题） 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 【答案】 【分析】直接将表格法转换成分段函数解析式即可得解. 【详解】观察表格，用分段函数表示法可得所求即为. 8．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 【答案】 【分析】结合题意，分别计算出新墙、旧墙、及利用剩余的旧墙材料建新墙的费用，加起来即可. 【详解】结合题意：利用旧墙的一段米为矩形一面边长，则修旧墙费用为元， 将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元， 其余建新墙的费用为元， 故总费用为. 9.已知A，B两地相距，汽车以的速度由A地开往B地，求距离B的路程与行驶时间的函数关系式． 【答案】 【分析】先求得t小时后汽车行驶的路程，再用A，B两地相距减去汽车行驶的路程，即可得到距离B的路程解析式.定义域由时间和路程是非负数求解. 【详解】因为汽车以的速度由A地开往B地， 所以t小时后汽车行驶了km， 又因为A，B两地相距， 所以距离B的路程为， 又因为， 解得，且， 所以 所以距离B的路程与行驶时间的函数关系式为 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 10.已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求： （1）周长C关于边长x的函数解析式； （2）面积S关于边长x的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据周长的概念直接求解即可；（2）求出等边三角形的高，代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）； （2）如图，为等边三角形，，作于点D， ，. 【点睛】本题考查函数关系的建立，注意定义域，属于基础题. 题型04 函数的定义域及其求法（共4小题） 11．（2024秋•徐汇区校级期中）函数的定义域是 　且　． 【分析】由题意可得关于的不等式组，求解得答案． 【解答】解：由，解得且． 函数的定义域是且． 故答案为：且． 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题． 12．（2024秋•杨浦区校级期中）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　，　． 【分析】根据函数的定义域，令，解不等式组即可． 【解答】解：函数的定义域为，， 令， 解得， 所以函数的定义域为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了抽象函数的定义域应用问题，是基础题． 13．（2023秋•宝山区校级期末）函数的定义域是 　，　． 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答】解：令，则， 函数的定义域是，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了函数定义域的求法，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题． 14．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）证明函数为奇函数． 【分析】（1）由，得，进而求出的取值范围，得到答案． （2）证明，进而证明得出答案 【解答】（1）解：由，得出，且 有且或者且 解得第一个不等式有，第二个不等式不存在 函数的定义域 （2）证明 函数为奇函数 【点评】本题主要考查对数取值范围，求函数定义域．及利用或证明函数奇偶性． 题型05 函数的值域（共6小题） 15．（2024秋•徐汇区校级期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 　，　． 【分析】结合幂函数及对数函数的性质及分段函数的性质即可求解． 【解答】解：当时，， 当时，， 故函数的值域为，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了幂函数及对数函数性质及分段函数性质的应用，属于基础题． 16．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数的值域是，，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】分别求出，时的值域，然后根据题意建立不等式，由此即可求解． 【解答】解：当时，函数，， 当时，是单调递减函数， 且当时，， 所以当时，， 要满足题意，只需，解得， 所以实数的范围为，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了分段函数的与值域有关问题，考查了学生的运算转化能力，属于基础题． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，．已知，则函数的值域为 　，0，　． 【分析】先求出函数的值域，再根据高斯函数的定义即可得解． 【解答】解：， 又，则， 所以，则， 所以函数的值域为，0，． 故答案为：，0，． 【点评】本题考查函数值域的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 18．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数且的图象经过点，． （1）求实数，的值； （2）若不等式的解集记为，求时，函数的值域． 【分析】（1）根据函数过点，，把点代入方程，从而可求解． （2）求出集合，然后利用函数的单调性即可求解． 【解答】解：（1）由题知点，在函数上， 所以，解得， 故，． （2）由，得，则， 解得，即， 因为在，上单调递增， 故当时，， 当时，（4）， 所以的值域为． 【点评】本题主要考查了指数函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题． 19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数． （1）若，，时，求的值域； （2）当，时，求的最小值（a）． 【分析】（1）设，当时，问题可转化为求在，上的值域，再利用二次函数的性质求解； （2）当，时，，然后分，，三种情况求解即可． 【解答】解：（1）因为函数， 设，由，，可知，， 则，对称轴为， 当时，在，递增， 所以（1），（3）， 所以的值域是，； （2）因为函数的对称轴为， 当，时，， 当时，， 当时，， 当时，（a）（3）， 故． 【点评】本题主要考查函数值域的求解，考查换元法，分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题． 20．（2023秋•虹口区期末）若函数在区间，上的函数值的集合恰为，则称区间，为的一个“区间”．设． （1）若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； （2）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （3）求函数在，内的“区间”． 【分析】（1）去绝对值，即可求出函数的单调递增区间； （2）根据“区间”的定义，验证不成立即可； （3）根据“区间”的定义，列方程组，解此方程组即可求得结果． 【解答】解：（1）， 函数在区间单调递增． （2）函数在区间，单调递增，在区间上单调递减， （1）， 所以区间不是函数的一个“区间”． （3）当时，，且在上单调递减， 因为区间，为的一个“区间”， 所以，， 所以，化简得， 所以，解得或或（舍， 所以，． 所以函数在，内的“区间”为，． 【点评】本题考查新定义的理解，函数的单调性判断，属中档题． 题型06 函数的图象与图象的变换（共6小题） 21．（2023秋•嘉定区校级期末）函数的大致图象为　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数是偶函数，所以排除，．再由时，，故排除，从而得出结论． 【解答】解：，故函数是偶函数，所以排除，． 当时，，故排除， 综合以上可得应选， 故选：． 【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键，属于基础题． 22．（2024秋•浦东新区校级期中）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度与运动时间的函数图象如图2，则该小球的运动路程与运动时间之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【分析】由小球的运动状态即可得出答案． 【解答】解：小球从左侧的斜坡滚下是匀加速运动，运动的路程是的二次函数， 图象是先缓后陡， 在右侧上升时，情形与左侧相反． 故选：． 【点评】本题考查函数图象的运用，属于基础题． 23．（2024秋•嘉定区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的对称轴首先排除、选项，再根据、的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 【解答】解：根据指数函数的解析式为，可得，， 故二次函数的对称轴位于轴的左侧，故排除、． 对于选项，由二次函数的图象可得，且函数的零点，， 则指数函数应该单调递增，故不正确． 综上可得，应选． 故选：． 【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出、的正负情况是求解的关键，属于基础题． 24．（2023秋•杨浦区校级期末）函数的图象的对称中心是：　，2 　． 【分析】把原函数解析式变形得到，即，可设，得到为反比例函数且为奇函数，求出对称中心即可． 【解答】解：因为，即，可设，得到 所以与成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为即，得到， 所以函数的对称中心为，2 故答案为：，2 ． 【点评】考查学生灵活运用奇偶函数图象对称性的能力．考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神． 25．（2023秋•浦东新区校级期末）若函数的图像关于直线对称，则的值是 　　． 【分析】易知，则点与点，都在函数的图像上，由此可求出或，再结合函数图像的平移变换分别检验即可． 【解答】解：若，则，显然其图像不关于直线对称， 故， 函数的图像关于直线对称， 点与点，都在函数的图像上， ， 解得或， 若，则， 其图像可由反比例函数先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 所以其图像关于直线对称，符合题意， 若，则， 其图像可由反比例函数先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 所以其图像不关于直线对称，不符合题意， 综上所述，的值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数的图像变换，考查了函数图像的对称性，属于中档题． 26．（2023秋•闵行区期末）将函数的图像绕原点逆时针方向旋转角，在的变化过程中，每一个旋转角都对应一条折线，若该折线不是任何函数的图像，则的取值范围为 　或　． 【分析】根据函数的定义，画出函数的图象，旋转观察即可求解． 【解答】解：画出函数的图象如图， 根据函数的定义，可以得当该函数的图象绕原点逆时针旋转时， 当图象均在二、三象限或一、四象限，或在坐标轴上时，其图象就不是函数的图象， 所以旋转角度满足的条件是或，即或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了函数图象的变换，是基础题． 一、填空题 1．（2023上·上海松江·高一校考期末）函数的定义域为 （用区间表示）. 【答案】/ 【分析】根据定义域的定义即可列不等式求解. 【详解】由题意可得且， 故定义域为： 2．（2023上·上海松江·高一校考期末）设函数，则 . 【答案】6 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算作答. 【详解】函数，则， 所以. 故答案为：6 3．（2023上·上海·高一专题练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由对数的性质知，即可求出函数的定义域． 【详解】由有意义，则，即，故定义域为. 故答案为： 4．（2023上·上海·高一华师大二附中校考期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据两个函数的解析式可得出的表达式. 【详解】对于函数，有， 又因为，故. 故答案为：. 5．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论，在时由可得． 【详解】时，不合题意， 因此且，∴， 故答案为：． 6．（2023上·上海黄浦·高一卢湾高级中学校考期中）已知函数的表达式为，，则 . 【答案】或3 【分析】分段讨论解方程即可. 【详解】当时，则，解得； 当时，，解得，(舍负) 综上，或， 故答案为：或3． 7．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 . 【答案】 【分析】将函数表示为分段函数的形式，分段求值域即可. 【详解】当时，函数， 所以. 故答案为： 二、单选题 8．（2023上·上海嘉定·高一校考阶段练习）下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据函数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，定义域，定义域，不是同一个函数，故A错误； 对于B，定义域，定义域，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与定义域都是，且，两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，定义域，定义域，不是同一个函数，故D错误. 故选：C 9．（2023上·上海·高一专题练习）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是； 对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是； 对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是. 故选：C 10．（2023上·上海·高一专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对应关系若能构成从到的函数， 须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应， 对于①，，当时，，故不满足题意； 对于②，，当时，，故不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意； 对于④，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意． 故选：C. 三、解答题 11．（2022上·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知函数 (1)若其定义域是，求实数的取值范围； (2)若其值域是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得恒成立，分，两种情况解决即可；（2）根据题意得，令，分，，三种情况解决即可. 【详解】（1）由题知，，定义域是， 所以恒成立， 当时，恒成立， 当时，应满足，解得， 综上可得， 所以实数的取值范围为 （2）由题知，，值域是 所以， 令 当时， 不满足题意， 当时，，开口向下，不满足题意， 当时，应满足，解得， 综上可得， 所以实数的取值范围为 12．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）函数化成，结合均值不等式分别判断、的最值，从而得出值域. （2）由换元法将函数转换成二次函数的值域问题. 【详解】（1），， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立. 故函数值域为； （2）函数定义域为，令 ，则，故函数值域为. 13．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）通过对方舱隔离室的调查研究发现，一天中病毒污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，，其中a是与环境有关的参数，且.若用每天的最大值作为当天方舱隔离室的病毒污染指数，并记作. (1)令，，求t的取值范围； (2)按规定，每天方舱隔离室的病毒污染指数不得超过5，则环境参数a需要控制在什么范围？ 【答案】(1) (2)环境参数a需要控制在范围内. 【分析】(1)讨论，证明函数，的单调性，求时的取值范围； (2)由条件，分区间讨论求的最大值，由此列不等式求a的范围. 【详解】（1）因为，，所以时，， 当时，， 设，， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，即，所以函数在为增函数，同理可证函数在为减函数，当趋向0时，趋向无穷大，，所以当时，，所以， 所以函数，中，t的取值范围为； （2）因为，， 当时，， 当，， 又，所以且，又 所以，故环境参数a需要控制在范围内才能满足要求. 14．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 【答案】(1)函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“m级”性质的定义可说明在R上具有“1级”性质，利用特殊值可判断在R上不具有“1级”性质； （2）根据“m级”性质的定义即可证明结论； （3）任取，讨论是同时属于或，还是一个属于，另一个属于，结合“1级”性质的含义，说明在区间上满足定义，即可证明结论. 【详解】（1）函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由如下： 对于，任意，， 故在R上具有“1级”性质； 对于，，则， 故在R上不具有“1级”性质； （2）函数在R具有“m级”性质， 即对于任意，均有成立， 故对任意的实数a，，则， 设，则 ，（m为正整数）， 故函数具有“m级”性质； （3）函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质， 即对于任意，均有， 对于任意，均有， 故任取，若同时属于或，则成立； 若中一个属于，另一个属于，不妨设，， 则 ， 综合上述，对于任意，均有， 故函数在区间上具有“1级”性质． 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中证明函数在区间上具有“1级”性质，解答时要首先理解“1级”性质的定义，然后要分类讨论任取所处区间，分别说明均符合“1级”性质的定义，即可证明结论. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数及其表示方法 （2个知识点+7个要点+6种必考题型+强化训练） 课程标准 学习目标 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 4.通过函数表示的图象法培养直观想象素养． 5．通过函数解析式的求法培养运算素养. 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点) 2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点) 3.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点) 4．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点) 知识点01函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 【即学即练1】（函数的概念）下列等量关系中，y是x的函数的是（　　） A．x2+y2＝1 B．|y|＝x2 C．2y＝x D．y2＝2x 知识点02 函数相关概念 相同函数 如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个函数是相同的.（同一个对应法则可能有不同的表述形式）； 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数； 【即学即练2】（相同函数）下列各组函数是同一函数的是（ ） ①f(x)＝与g(x)＝x；②f(x)＝x与g(x)＝；③f(x)＝x0与g(x)＝； ④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．①②　　　 B．①③ C．③④ D．①④ 【即学即练3】（函数的解析式）求下列函数的解析式． ①已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝________. ②已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________. ③已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________. ④设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为________． ⑤若f ＝x2＋，则f(x)＝________. 【即学即练4】（函数的表示方法）某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来． 【即学即练4】（分段函数）已知函数f(x)＝1＋(－2＜x≤2)． ①用分段函数的形式表示该函数； ②画出该函数的图象； ③写出该函数的值域． 要点01 对函数概念的理解 （1）对数集的要求：集合A，B为非空数集； （2）任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （3）对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样； （4）一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值； （5）函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可； 要点02 掌握函数定义域的求法 （1）若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； （2）若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； （3）若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合； （4）若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集； （5）若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义； 要点03 注意函数相等问题的3个易错点 （1）函数值域是由定义域和对应关系决定的．因此判断两个函数是否相等，看定义域和对应关系即可； （2）当两个函数的对应关系和值域分别相等时，这两个函数不一定相等； （3）若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等；例如，函数f(x)＝x2，x∈R与函数f(t)＝t2，t∈R是相等函数． 要点04 掌握求函数值域的常用方法的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域； 要点05 掌握求函数解析式的方法的4种方法 （1）直接法(代入法)：已知f(x)的解析式，求f[g(x)]的解析式，直接将g(x)代入即可； （2）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （3）换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)； （4）解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做解方程组法或消元法； 要点06 注意描点法画函数图像的3个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像； （3）要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点； 要点07 理解分段函数的理解关注2个易错点 （1）分段函数是一个函数而非几个函数：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集； （2）分段函数的图像应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况； 题型01 函数的概念及其构成要素（共3小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•奉贤区期末）以下图形中，不是函数图像的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•普陀区校级期末）存在函数，满足对任意都有　　 A． B． C． D． 题型02 判断两个函数是否为同一函数（共3小题） 4．（2024秋•浦东新区校级期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2024秋•长宁区校级期中）下列四组函数中，两个函数相同的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 6．（2023秋•虹口区期末）下列函数中与函数相同的是　　 A． B． C． D． 题型03 函数解析式（共4小题） 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 8．（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 9.已知A，B两地相距，汽车以的速度由A地开往B地，求距离B的路程与行驶时间的函数关系式． 10.已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求： （1）周长C关于边长x的函数解析式； （2）面积S关于边长x的函数解析式． 题型04 函数的定义域及其求法（共4小题） 11．（2024秋•徐汇区校级期中）函数的定义域是 　 　． 12．（2024秋•杨浦区校级期中）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　 　． 13．（2023秋•宝山区校级期末）函数的定义域是 　 　． 14．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）证明函数为奇函数． 题型05 函数的值域（共6小题） 15．（2024秋•徐汇区校级期中）已知函数的表达式为，则函数的值域为 　 　． 16．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数的值域是，，则实数的取值范围是 　 　． 17．（2023秋•浦东新区校级期末）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，．已知，则函数的值域为 　 　． 18．（2023秋•普陀区校级期末）已知函数且的图象经过点，． （1）求实数，的值； （2）若不等式的解集记为，求时，函数的值域． 19．（2023秋•杨浦区校级期末）已知函数． （1）若，，时，求的值域； （2）当，时，求的最小值（a）． 20．（2023秋•虹口区期末）若函数在区间，上的函数值的集合恰为，则称区间，为的一个“区间”．设． （1）若函数在区间上是严格增函数，请直接写出区间（一个即可）； （2）试判断区间是否为函数的一个“区间”，并说明理由； （3）求函数在，内的“区间”． 题型06 函数的图象与图象的变换（共6小题） 21．（2023秋•嘉定区校级期末）函数的大致图象为　　 A． B． C． D． 22．（2024秋•浦东新区校级期中）如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度与运动时间的函数图象如图2，则该小球的运动路程与运动时间之间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•嘉定区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 24．（2023秋•杨浦区校级期末）函数的图象的对称中心是：　 　． 25．（2023秋•浦东新区校级期末）若函数的图像关于直线对称，则的值是 　　． 26．（2023秋•闵行区期末）将函数的图像绕原点逆时针方向旋转角，在的变化过程中，每一个旋转角都对应一条折线，若该折线不是任何函数的图像，则的取值范围为 　 　． 一、填空题 1．（2023上·上海松江·高一校考期末）函数的定义域为 （用区间表示）. 2．（2023上·上海松江·高一校考期末）设函数，则 . 3．（2023上·上海·高一专题练习）函数的定义域为 ． 4．（2023上·上海·高一华师大二附中校考期中）已知，，则 ． 5．（2023上·上海·高一复旦附中校考期中）已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 6．（2023上·上海黄浦·高一卢湾高级中学校考期中）已知函数的表达式为，，则 . 7．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 . 二、单选题 8．（2023上·上海嘉定·高一校考阶段练习）下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 9．（2023上·上海·高一专题练习）托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A． B． C． D． 10．（2023上·上海·高一专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 三、解答题 11．（2022上·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知函数 (1)若其定义域是，求实数的取值范围； (2)若其值域是，求实数的取值范围. 12．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）（1）求函数的值域； （2）求函数的值域. 13．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）通过对方舱隔离室的调查研究发现，一天中病毒污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，，其中a是与环境有关的参数，且.若用每天的最大值作为当天方舱隔离室的病毒污染指数，并记作. (1)令，，求t的取值范围； (2)按规定，每天方舱隔离室的病毒污染指数不得超过5，则环境参数a需要控制在什么范围？ 14．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质． (1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由； (2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质； (3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$