第10讲 勾股定理（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版(五四制)八年级数学上册满分全攻略备考系列

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，系统梳理定理内容、多种证明方法（赵爽弦图等）、逆定理及勾股数，延伸至网格折叠问题与实际应用，搭建“概念-证明-应用”的完整学习支架。 融入赵爽弦图等经典证法渗透数学文化，20类题型覆盖梯子滑落、小鸟飞行等生活场景，培养几何直观与应用意识。分层强化题量适中，课中辅助教学，课后助力查漏补缺，提升数学思维与解决问题能力。

第10讲 勾股定理（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.勾股定理 2.勾股定理的证明 3.勾股定理的逆定理 4.勾股数 5.勾股定理与网格问题 6.勾股定理与折叠问题 7.勾股定理的简单应用 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、勾股定理与网格问题 四、勾股定理与折叠问题 五、勾股定理的证明方法 六、以弦图为背景的计算题 七、勾股定理与无理数 八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 十二、解决航海问题(勾股定理的应用) 十三、求河宽(勾股定理的应用) 十四、求最短路径(勾股定理的应用) 十五、判断三边能否构成直角三角形 十六、在网格中判断直角三角形 十七、利用勾股定理的逆定理求解 十八、勾股树（数）问题 十九、勾股定理逆定理的实际应用 二十、勾股定理逆定理的拓展问题 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（9） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 勾股定理的变形公式：＝－；＝－. 3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点2.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 知识点3.勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边； (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)“ 判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为，，，∠C=90° 在△ABC中，∠A, ∠B，∠C的对边长分别为，，，且 结论 △ABC为直角三角形，且∠C=90° 关系 知识点4.勾股数 1. 勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 2. 判断一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”：看是不是三个正整数. (2)“找”：找最大数. (3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“ 判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数. 知识点5.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点6.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点7.勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果有两条边长分别是3和4，那么它斜边上的中线长为 ． 【答案】2或 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，分边长为4的边是斜边和直角边两种情况确定出斜边长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：当边长为4的边是直角边时，则斜边的长为，则它斜边上的中线长为； 当边长为4的边是斜边时，则它斜边上的中线长为2； 综上所述，它斜边上的中线长为2或； 故答案为：2或． 2．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．求的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，设，则，在和中，由勾股定理得出方程，解得，则，再由勾股定理求出的长，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， 设，则， 在和中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， ， 即的面积为． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理可知，以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积． 【详解】解：设直角三角形的三边从小到大是 ∴ 如图，过A作于H， ， 则； 同理 ， 又 则． 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 【答案】 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求出正方形的边长即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，字母所表示的正方形的边长为， ∴字母所表示的正方形面积等于 故答案为：． 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3． 【答案】见解析 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC2+BC2的值，根据S1，S2分别表示正方形面积，求出S1+S2的值即可． 【详解】证明：由题意得S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，则由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2， S1+S2＝S3． 【点睛】本题考查的是与勾股定理相关的图形面积问题，掌握“勾股定理”是解本题的关键. 题型三、勾股定理与网格问题 6．（23-24八年级·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 【答案】或1 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关键． 根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出的长即可． 【详解】解：若，如图1所示； 则； 若，如图2所示， 则． 故答案为：或1． 7．在同一直角坐标系中分别描出点、、，再用线段将这三点首尾顺次连接起来，求的面积与周长． 【答案】面积：；周长为：. 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】先在平面直角坐标系中作出，再用勾股定理求出三边长，进一步求出周长和面积 【详解】解：如图所示 过点C作CD⊥AB于点D， ∵、、， ∴AD=4,BD=1,CD=3 由勾股定理得：， ， ， 周长为； 面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据点的坐标画图形，一定要明确点所在的象限及坐标，求三角形的面积，可以根据实际情况用面积公式或割补法． 题型四、勾股定理与折叠问题 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（        ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，设，则，由折叠性质可知，， ，求出，，在中，，即，即可求解． 【详解】解：设，则， 由折叠性质可知，， ， 在中，，， ， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 9．如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解 再证明 从而求解 于是可得答案. 【详解】解： 长方形ABCD中，BC=5，AB=3， 由折叠可得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键. 题型五、勾股定理的证明方法 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 11．如图，OP=1 ,过点P作P⊥OP ,且P=1 , 得O = ;再过点作⊥O ,且=1 ,得O= ;又过点作⊥O ,且=1 , 得O=2 ;……如此方法作下去,那么O = . 【答案】2. 【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】∵OP＝1，OP1＝，OP2＝，OP3＝ ∴OP4＝， …， O＝=2． 故填：2. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律． 12．（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 【答案】(1)一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． (2)见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查勾股定理及其证明： （1）直接写出勾股定理即可； （2）利用赵爽弦图进行证明即可． 【详解】（1）解：勾股定理内容为：一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）如图，大正方形由4个全等的直角三角形（直角边为，斜边为）和一个小正方形组成，则：大正方形的面积的等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， ∴． 题型六、以弦图为背景的计算题 13．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 14．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ， ，边上的高为______． 【答案】(1)见解析 (2)6， 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题、勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用 （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 化简得：； （2）解：设边上的高为，则： ， ∴， ∴ 即AB边上的高是， 故答案为：，． 题型七、勾股定理与无理数 15．（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 16．请在数轴上作出对应的点(合理标注，保留作图痕迹，不写做法)。    【答案】见解析 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】根据，所以在数轴上以原点O向左数出3个单位（为点A）作为直角三角形的一条直角边，过点作数轴的垂线并截取为1个单位长度，连接，求得，最后以点O为圆心，以为半径画弧，交数轴的负半轴于点C即为所求． 【详解】解：如图：点C即为所求．    作法：在数轴上以原点O向左数出3个单位确定点，过点作数轴的垂线并截取为1个单位长度，连接，以点O为圆心，以为半径画弧，交数轴的负半轴于点C． 【点睛】本题考查了实数与数轴的关系，勾股定理，熟练掌握借助勾股定理在数轴上表示无理数是解题的关键． 题型八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 17．一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多2cm，另一条直角边长6cm，那么这个直角三角形的斜边长为（　　） A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x-2）cm．根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】设直角三角形的斜边是xcm，则另一条直角边是（x-2）cm． 根据勾股定理，得（x-2）2+36=x2， 解得：x=10， 则斜边的长是10cm． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理列出方程，熟练求得方程的解． 18．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图： 米长的滑梯 开始在 点距墙面水平距离 米，当向后移动 米， 点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于） 米． 【答案】等于 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方． 直接利用勾股定理得出的长，进而求出的长，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∵当向后移动 1 米， ， ， 则． 故下滑的距离为 1 米， 故答案为：等于． 题型九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 19．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．13米 【答案】D 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据勾股定理解答即可. 【详解】如图， AC=米. 故选D. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 20．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 【答案】10 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 题型十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 21．《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D．    22．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为 ． 【答案】4.55尺． 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】设AB=x，则BC=10-x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】∵∠ABC=90°，AB+AC=10， 设AB=x，则BC=10-x， 在直角三角形ABC中， 根据勾股定理，得 ， ∴， 解得x=4.55 ∴折断后的竹子（）的高度为4.55尺， 故答案为：4.55尺． 【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握定理，并灵活列式求解是解题的关键． 23．一根竖直的木杆在离地面的点处折断，木杆顶端点落在离木杆底端点16dm的点处，求木杆折断之前的高度． 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键； 根据题意可知，，利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴木杆折断之前的高度为 故答案为：． 题型十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 24．如图，小明有一个圆柱形饮水杯，底面半径是6，高是16，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】对两种临界点的情况进行讨论：①当吸管底部在点B时，吸管露在杯外部分a的长度最短；②当吸管底部在点C时，吸管露在杯外部分a的长度最长；分别求解即可得答案． 【详解】如图，①当吸管底部在点B时，吸管露在杯外部分a的长度最短， 此时，， 在中，， 或（不符合题意，舍去）； ②当吸管底部在点C时，吸管露在杯外部分a的长度最长， 此时，； 故直吸管露在杯外部分a的长度范围是：； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练运用勾股定理是解答此题的关键． 25．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 【答案】2 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图所示：是直角三角形， ∵底面半径为半径为，高为， ， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 答：吸管露在杯口外的长度最少2厘米， 故答案为：2． ． 26．"引葭赴岸“是《九章算术》中的一道题:”今有池一丈,葭生其中央,出水一尺，引葭赴岸,适与岸芥.伺水深,葭氏各几何?"题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'.向芦苇长多少? (画出几何图形并解答) 【答案】13尺 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺， 因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺 在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2， 解之得x＝13， 即水深12尺，芦苇长13尺． 故芦苇长13尺. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键． 题型十二、解决航海问题(勾股定理的应用) 27．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 28．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 【答案】15 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 29．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 在中，利用勾股定理计算出长，继而可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中，，米，米， （米）， 工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米． 题型十三、求河宽(勾股定理的应用) 30．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【答案】B 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 31．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 【答案】米． 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∵米，米， ∴米， 答：两点间的距离为米． 题型十四、求最短路径(勾股定理的应用) 32．如图，在长方体中，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进行计算，注意多种情况讨论．把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：如图1所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， 如图2所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， ． 第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是10． 故选：D． 33．（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ． 【答案】5 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 【详解】如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴的最小值等于5 ， 故答案为：5． 34．（1）如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【答案】（1）  （2） 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了平面展开图中最短路径问题，这是中考中热点问题，找出展开图的与原图形对应情况是解决问题的关键.首先画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理可求出最短路程的长. 【详解】（1）解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是； （2）如图， ∵盒高，盒底周长为， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是 ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 题型十五、判断三边能否构成直角三角形 35．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角形不是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵， ∴三角形不是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴三角形是直角三角形，故D选项符合题意； 故选：D． 36．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】先利用勾股定理得逆定理推出，则，设，则，则中利用勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理得逆定理，证明是解题的关键． 37．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等边三角形的判定和性质，连接，令中点为点E，连接，先根据勾股定理可得，再得出，通过证明为等边三角形，得出，根据勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：连接，令中点为点E，连接， ∵，，， ∴根据勾股定理可得， ∵中点为点E，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，则， ∴． 题型十六、在网格中判断直角三角形 38．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理、勾股定理的逆定理，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：由网格特点，，，，，，， A．∵，，， ∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； B．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； C．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； D．∵，，， ∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 39．如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； (3)如图3，点A，B，C是小正方形的顶点，则是____________三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)钝角. 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据正方形的定义画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可； （3）判断出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，正方形的边长是，面积是10； （2）解：如图，三角形的边长分别为2，，； （3）解：如图，取格点J，连接，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵． ∴为钝角三角形． 故答案为：钝角． 题型十七、利用勾股定理的逆定理求解 40．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 【答案】234 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积． 【详解】解：连接．如图所示： ， ， 在中，， ，即， ∴是直角三角形，． ， 即绿地的面积为234． 故答案为：234． 41．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 题型十八、勾股树（数）问题 42．在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．1，2，3 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选B． 43．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）一家公司，处于发展期当中，第一年年末增加员工m人，第二年年末增加员工n人．统计发现，正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了，已知每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍，试求公司现在的人数． 【答案】人 【知识点】勾股树（数）问题、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先根据“正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了”列方程求出公司原有人数，再求解． 【详解】解：设公司原来有x人，根据题意得即，即， ∴ ∴， 解得：（负值舍去） ∵都是正整数，每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍， ∴是正整数， ∵，，…… 当时，， ，符合题意； 当时，， （增加的人数超过公司原有的人数的两倍，舍去） ……（舍去） ∴公司现在的人数为（人） 题型十九、勾股定理逆定理的实际应用 44．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 【答案】南偏东 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，解题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， ∵， ∴， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东． 故答案为：南偏东． 45．如图，△ABC中，AC=2，BC=4，AB=6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． （1）求∠B的度数； （2）当点P在线段CB上时，设BE=x，△ACP的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果BE=2，请直接写出△ACP的面积． 【答案】（1）∠B=30°．（2）y=，（0＜x＜4）；（3）9． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、函数解析式 【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC=BC即可得出答案； （2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD=AB=3，EF=BE=x，根据勾股定理知BF= x，继而由S△ACP=CP•AD可得答案． （3）点P在线段BC上时，由BE=2知x=2，代入（2）中所得解析式计算即可得；当点P在射线CB上时，作AM⊥BC，根据已知条件得出EF=BE=1，PF=BF=，AM=AB=3，利用三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：（1）在△ABC中， ∵AC=2，BC=4AB=6， ∴AC2+AB2=48，BC2=48， ∴AC2+AB2=BC2． ∴∠BAC=90°． 又∵AC=2，BC=4， ∴AC=BC， ∴∠B=30°． （2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D． 在△ADB中，∵∠ADB=90°，∠B=30°， ∴AD=AB=3， 同理，EF=BE=x． 在Rt△EFB中，EF2+FB2=EB2，即（x）2+BF2=x2， ∴BF=x， 又∵BP=2BF， ∴BP=x． ∴CP=CB﹣PB=4﹣x， ∵S△ACP=CP•AD， ∴y=（4﹣x）×3=6﹣x，（0＜x＜4）； （3）当点P在线段BC上时，由BE=2知x=2， 由（2）知此时△ACP的面积为6﹣×2=3； 当点P在射线CB上时，如图，过点A作AM⊥BC于点M， ∵BE=2，∠EBF=∠ABC=30°， ∴EF=BE=1， 则PF=BF=， ∵AB=6， ∴AM=AB=3， 则△ACP的面积为×PC×AM=×（4++）×3=9． 【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及三角形的面积公式和分类讨论思想的运用． 题型二十、勾股定理逆定理的拓展问题 46．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 【答案】B 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】因为a、b、c为一个三角形的三边长，化简，可得a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形． 【详解】∵， ∴a2+b2=c2， ∴该三角形为直角三角形. 故选B. 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理. 47．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【答案】14 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 48．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 分层强化 一、单选题 1．下列每组三个数能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意； B：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意； C：∵，， ∴，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意． 故选：C ． 2．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 3．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 4．新考法  已知a，b，c为正数，则________．横线上应该填入（提示：数形结合）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式混合运算，三角形三边关系的应用，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形．作，平分，分别在射线上取点，令，，，连接．根据平分，得出，过点作于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，得出，求出，由勾股定理求出，，根据三角形的三边关系，求出结果即可． 【详解】解：如图，作，平分，分别在射线上取点，令，，，连接． ∵， ∴， ∵平分， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴为等腰直角三角形，结合勾股定理易知：， ∴， ∴由勾股定理得： ， 同理可得． ∵， ∴． 故选：B． 5．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，能判断是直角三角形，不符合题意； B、，则：，故，故，能判断是直角三角形，不符合题意； C、，则：，能判断是直角三角形，不符合题意； D、，不能判断是直角三角形，符合题意； 故选D． 6．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ． 故选：B． 7．在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“，”．现仅存下列三个条件：①；②；③．为了甲同学画出形状和大小都确定的，乙同学可以选择的条件的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形判定和性质，勾股定理，掌握相关知识点是解题关键．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，可判断条件①②；根据大边对大角和三角形内角和定理，得出是钝角三角形，过点作于点，利用勾股定理求出，则的三边长都是确定的，可判断的三边长都是确定的． 【详解】解：选择条件①， 由边边角不能得到全等三角形，无法画出形状和大小都确定的，不符合题意； 选择条件②， 由边角边能得到全等三角形，可以画出形状和大小都确定的，符合题意； 选择条件③， ，， ， ， ，即是钝角三角形， 过点作于点， ， 在中，， ， 在中，， ， 的三边长都是确定的，可以画出形状和大小都确定的，符合题意； 乙同学可以选择的条件的个数有2个， 故选：C． 二、填空题 8．若直角三角形的两条直角边分别是和，那么斜边是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，注意分清直角边长和斜边长，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在直角三角形中，由勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方求出斜边长即可． 【详解】∵直角三角形的两条直角边分别是和， ∴由勾股定理得，斜边长． 故答案为：． 9．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 10．如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是 ． 【答案】a 【分析】本题考查了无理数的定义，网格与勾股定理．先根据网格与勾股定理进行列式，求出每条边的长度，再分析每条边长度是不是无理数，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵都是有理数，是无理数， ∴的三边，，中边长是无理数的是a， 故答案为：a 11．如图，在中，平分，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∴． 故答案为： 12．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺， 尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 14．如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接，证明当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接，交于点，连接， 则， 即当、C三点共线时，的值最小，最小值为的长． ∵中，， ， ∴， 又∵P为的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 15．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 【答案】675 【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键． 【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为， ， ， ， ，， ． 故答案为：675． 16．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分和两种情形，结合折叠的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴； ①当时，如图， 由折叠得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 即：； ②当时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， 又， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上，的长为或． 三、解答题 17．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 【答案】超速 【分析】解直角三角形，求出，再求出小汽车的速度，从而可进行判断．本题主要考查的是勾股定理的应用，将实际问题转化为直角三角形中的数学问题是解题的关键． 【详解】∵是直角三角形，， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴这辆小汽车超速了． 18．如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，，若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通？ 【答案】15天 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理可先求解隧道，再根据每天凿隧道，即可求解天数． 【详解】解：∵，，， ∴由勾股定理可知，， ∵每天凿隧道， ∴天， 故15天才能把隧道凿通． 19．如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 20．已知如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理得，由勾股定理的逆定理得为直角三角形，由即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ， ， ， 为直角三角形， ， ． 21．某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．已知，棚宽米，棚高米，棚长米．求一个车棚顶需要的铁皮面积．（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮） 【答案】平方米 【分析】本题考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，掌握以上知识是解决问题的关键． 本题根据，，棚宽米，可得米，根据勾股定理求得米，然后根据长方形的面积公式即可求解； 【详解】解：∵，，棚宽米， （米）． ∴（米）， 一个车棚顶需要的铁皮面积为（平方米）． 答：一个车棚顶需要的铁皮面积为平方米； 22．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 23．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 24．（1）探究发现：如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，且； ①求的度数； ②与相等吗？请说明理由 （2）类比探究：如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，，，请直接写出下列结果： ①的度数 ②线段，，之间的数量关系 【答案】（1）①；②；理由见解析；（2）①；②． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）①证明，得到，即可求得的度数； ②证明，即可得证； （2）①证明，得出，即可得出答案； ②证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ， ， ， 在和中， ∴， ， ； ②；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）①∵是等腰直角三角形，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ； ② 理由如下： ， ， ， 在和中， ， ∴， ； 在中，， 又， ． 25．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】(1)锐角，钝角 (2)， (3)是锐角三角形，此时；时，是直角三角形；是钝角三角形，此时 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的性质，熟练掌握“大边对大角，大角对大边”、“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键． 【详解】（1）解：当三边长分别为6，8，10时，是一个直角边长分别为6、8的直角三角形，斜边长为10，，所以当三边长分别为6，8，9时，边长为9的边所对的角小于直角，则为锐角三角形； ，所以当三边长分别为6，8，11时，边长为11的边所对的角大于直角，则为钝角三角形； 故答案为：锐角，钝角． （2）解：由（1），猜想当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形； 故答案为：，． （3）解：为最长边， ， 时，是直角三角形； 时，是锐角三角形，此时，即； 时，是钝角三角形，此时，即； 综上，时，是锐角三角形；时，是直角三角形；时，是钝角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 勾股定理（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.勾股定理 2.勾股定理的证明 3.勾股定理的逆定理 4.勾股数 5.勾股定理与网格问题 6.勾股定理与折叠问题 7.勾股定理的简单应用 题型巩固 一、用勾股定理解三角形 二、以直角三角形三边为边长的图形面积 三、勾股定理与网格问题 四、勾股定理与折叠问题 五、勾股定理的证明方法 六、以弦图为背景的计算题 七、勾股定理与无理数 八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 十二、解决航海问题(勾股定理的应用) 十三、求河宽(勾股定理的应用) 十四、求最短路径(勾股定理的应用) 十五、判断三边能否构成直角三角形 十六、在网格中判断直角三角形 十七、利用勾股定理的逆定理求解 十八、勾股树（数）问题 十九、勾股定理逆定理的实际应用 二十、勾股定理逆定理的拓展问题 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（9） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1.勾股定理 1. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 数学表达式：如图3.1-1 ，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a， 则. 2. 勾股定理的变形公式：＝－；＝－. 3. 基本思想方法：勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范. 知识点2.勾股定理的证明 1. 常用证法：验证勾股定理的方法很多，有测量法，有几何证明法. 但最常用的是通过拼图，利用求面积来验证，这种方法是以数形转换为指导思想，以图形拼补为手段，以各部分面积之间的关系为依据来进行验证的. 2. 著名证法举例 方法 图形 证明 “赵爽 弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为. 又因为大正方形的面积＝4×＋＝，所以＝ 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝. 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝，所以＝ 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝. 又因为S＝，所以＝ 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝，由图②得大正方形的面积＝，比较两式易得＝ 在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 知识点3.勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)“找”：找出三角形三边中的最长边； (2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)“ 判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为，，，∠C=90° 在△ABC中，∠A, ∠B，∠C的对边长分别为，，，且 结论 △ABC为直角三角形，且∠C=90° 关系 知识点4.勾股数 1. 勾股数：如果三个正整数a，b，c满足关系，则称a，b，c为勾股数. 勾股数必须同时满足两个条件： (1)三个数都是正整数； (2)两个较小数的平方和等于最大数的平方. 2. 判断一组数是否为勾股数的一般步骤 (1)“看”：看是不是三个正整数. (2)“找”：找最大数. (3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和. (4)“ 判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数；否则，不是一组勾股数. 知识点5.勾股定理与网格问题 求边长：网格中每个小正方形的边长通常为1，可根据勾股定理求出格点间线段的长度。若线段两端点在格点上，且水平、垂直方向间隔分别为m、n个小正方形边长，则线段长度l=m2+n2​。 知识点6.勾股定理与折叠问题 应用勾股定理：折叠问题常常会产生直角三角形，找到相关直角三角形，确定其直角边和斜边，通过已知条件计算出直角边的长度，再根据勾股定理求出斜边或其他未知边的长度。 注意事项： 1关注折叠性质：折叠前后对应线段相等，对应角相等，这是解题的重要依据。 2准确确定直角三角形：有些情况下，直角三角形并不明显，需要根据折叠后的图形特征和已知条件去寻找或构造。 3灵活设未知数：对于一些未知边长，可设未知数，根据勾股定理建立方程求解，将几何问题转化为代数问题。 实际应用：折叠问题在现实生活中有很多应用，如制作纸盒、折叠衣服等。理解其解题方法对于解决实际生活中的折叠问题有很大帮助。 知识点7.勾股定理的简单应用 1. 勾股定理的应用范围 勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系. 利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题. 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边求第三边； (2)已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 题型巩固 题型一、用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如果有两条边长分别是3和4，那么它斜边上的中线长为 ． 2．（24-25八年级上·上海·期末）如图，中，，，．求的面积． 题型二、以直角三角形三边为边长的图形面积 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是，，，则它们之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）如图所示的三角形为直角三角形，那么字母所表示的正方形面积等于 ． 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边作正方形，面积分别记作S1、S2、S3．求证：S1+S2＝S3． 题型三、勾股定理与网格问题 6．（23-24八年级·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 7．在同一直角坐标系中分别描出点、、，再用线段将这三点首尾顺次连接起来，求的面积与周长． 题型四、勾股定理与折叠问题 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）如图长方形中，，，点为边上一点，将沿翻折后，点恰好落在边上的点处，则（        ） A．2 B． C． D．1 9．如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是 ． 题型五、勾股定理的证明方法 10．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，OP=1 ,过点P作P⊥OP ,且P=1 , 得O = ;再过点作⊥O ,且=1 ,得O= ;又过点作⊥O ,且=1 , 得O=2 ;……如此方法作下去,那么O = . 12．（24-25八年级上·上海·期末）本学期，我们学习了勾股定理，勾股定理的提出可以追溯到三千多年前的周朝，当时商高提出了“勾三股四弦五”的特例．中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．目前已知的勾股定理的证明方法约有500多种． (1)请写出勾股定理的内容_____． (2)请写出一种勾股定理的证明方法． 题型六、以弦图为背景的计算题 13．（24-25八年级上·上海青浦·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（   ）． A． B． C． D． 14．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． (1)请用分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ， ，边上的高为______． 题型七、勾股定理与无理数 15．（25-26八年级上·上海·期中）如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是 ． 16．请在数轴上作出对应的点(合理标注，保留作图痕迹，不写做法)。    题型八、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 17．一个直角三角形的斜边长比一条直角边长多2cm，另一条直角边长6cm，那么这个直角三角形的斜边长为（　　） A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm 18．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图： 米长的滑梯 开始在 点距墙面水平距离 米，当向后移动 米， 点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离 （大于、小于或等于） 米． 题型九、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 19．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．13米 20．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 题型十、求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 21．《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 22．《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为 ． 23．一根竖直的木杆在离地面的点处折断，木杆顶端点落在离木杆底端点16dm的点处，求木杆折断之前的高度． 题型十一、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 24．如图，小明有一个圆柱形饮水杯，底面半径是6，高是16，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，一透明圆柱状玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，今有一根长的吸管任意放入杯中，若不计吸管粗细，则吸管露在杯口外的长度最少为 ． 26．"引葭赴岸“是《九章算术》中的一道题:”今有池一丈,葭生其中央,出水一尺，引葭赴岸,适与岸芥.伺水深,葭氏各几何?"题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'.向芦苇长多少? (画出几何图形并解答) 题型十二、解决航海问题(勾股定理的应用) 27．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 28．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为 海里/时． 29．如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 题型十三、求河宽(勾股定理的应用) 30．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 31．如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得长为米，长为米．求两点间的距离（取）． 题型十四、求最短路径(勾股定理的应用) 32．如图，在长方体中，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（   ） A． B． C． D．10 33．（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于 ． 34．（1）如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 题型十五、判断三边能否构成直角三角形 35．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 36．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，点D为上一点，连接，，则 ． 37．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 题型十六、在网格中判断直角三角形 38．如图，在5×5的正方形网格中，从点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 39．如图，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； (2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，； (3)如图3，点A，B，C是小正方形的顶点，则是____________三角形． 题型十七、利用勾股定理的逆定理求解 40．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 41．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 题型十八、勾股树（数）问题 42．在下列各组数中，是勾股数的一组是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．，，1 D．1，2，3 43．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）一家公司，处于发展期当中，第一年年末增加员工m人，第二年年末增加员工n人．统计发现，正好是第一年员工人数增长了，第二年员工人数增长了，已知每次增加的人数不超过公司原有的人数的两倍，试求公司现在的人数． 题型十九、勾股定理逆定理的实际应用 44．（23-24八年级上·上海·单元测试）如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时海里的速度前进，小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距海里，则乙船沿 方向航行． 45．如图，△ABC中，AC=2，BC=4，AB=6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP． （1）求∠B的度数； （2）当点P在线段CB上时，设BE=x，△ACP的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果BE=2，请直接写出△ACP的面积． 题型二十、勾股定理逆定理的拓展问题 46．若三角形的三边长分别为，，，且满足，则此三角形中最大的角是（   ） A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法确定 47．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 48．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 分层强化 一、单选题 1．下列每组三个数能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 3．在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 4．新考法  已知a，b，c为正数，则________．横线上应该填入（提示：数形结合）（   ） A． B． C． D． 5．三边为，下列条件不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 7．在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏．游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形．已知乙同学说出的前两个条件是“，”．现仅存下列三个条件：①；②；③．为了甲同学画出形状和大小都确定的，乙同学可以选择的条件的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 8．若直角三角形的两条直角边分别是和，那么斜边是 ． 9．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 10．如图，每个小正方形的边长为1，的三边，，中边长是无理数的是 ． 11．如图，在中，平分，则 ． 12．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 13．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 14．如图，在直角中，，，为的中点，为上的一个动点，连接，，则的最小值为 ． 15．如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 ． 16．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 三、解答题 17．交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？ 18．如图，为修铁路需凿通隧道，现测量出，，，若每天凿隧道，问几天才能把隧道凿通？ 19．如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 20．已知如图，四边形中，，，，，，求这个四边形的面积 21．某校预建如图1所示自行车棚，钢架已完成，现需要棚顶覆盖铁皮，图2是自行车棚顶的示意图．已知，棚宽米，棚高米，棚长米．求一个车棚顶需要的铁皮面积．（车棚顶铁皮褶皱忽略不计，车棚最顶端梁脊不用铁皮） 22．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 23．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 24．（1）探究发现：如图1，为等边三角形，点D为边上的一点，，且； ①求的度数； ②与相等吗？请说明理由 （2）类比探究：如图2，为等腰直角三角形，，点D为边上的一点，，，，请直接写出下列结果： ①的度数 ②线段，，之间的数量关系 25．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）． (1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形； (3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $