第06讲 一元二次方程的解法（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版五四制八年级数学上册满分全攻略备考系列

第06讲 一元二次方程的解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．解一元二次方程-直接开平方法 2．解一元二次方程-配方法 3．解一元二次方程-公式法 4．解一元二次方程-因式分解法 5．换元法解一元二次方程 6．配方法的应用 题型巩固 一、因式分解法解一元二次方程 二、解一元二次方程——直接开平方法 三、解一元二次方程——配方法 四、配方法的应用 五、公式法解一元二次方程 六、换元法解一元二次方程 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（10） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型巩固 题型一、因式分解法解一元二次方程 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程的根是 ． 3．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 题型二、解一元二次方程——直接开平方法 4．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级·上海闵行·阶段练习）方程的解是 ． 6．解方程： (1) (2) (3) (4) 题型三、解一元二次方程——配方法 7．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 8．把一二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ． 9．（23-24八年级上·上海·单元测试）用配方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四、配方法的应用 10．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 12．我们知道：对于任何实数x． ①∵x2≥0， ∴x2+1＞0； ②∵（x﹣）2≥0， ∴（x﹣）2+＞0． 模仿上述方法解答： 求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0； （2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值． 题型五、公式法解一元二次方程 13．在实数范围内分解因式2x2﹣8x+5正确的是（　　） A．（x﹣）（x﹣） B．2（x﹣）（x﹣） C．（2x﹣）（2x﹣） D．（2x﹣4﹣）（2x﹣4+） 14．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 15．（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 题型六、换元法解一元二次方程 16．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　) A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若x、y为实数，且，则的值是 ． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 分层强化 一、单选题 1．方程的两个根是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是（   ） A． B． C． D． 3．若一元二次方程配方后的结果为，则（   ） A． B． C． D． 4．用因式分解法解下列方程，其中正确的是（   ） A．，所以 B．，所以或 C．，所以或 D．，所以或 5．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 6．已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 7．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．方程的解是 ． 9．关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个即可）． 10．已知方程，则 ． 11．用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 12．完成下面的解题过程． 用配方法解方程． 解：移项，得 ， 二次项系数化为，得 ， 配方，得 ， 由此得 ， 解得 ， ． 13．方程的解为 ． 14．若代数式与的值互为相反数，则的值为 ． 15．一元二次方程配方，得，则是 ． 16．已知一个直角三角形的两条边长恰好是方程的两根，则它的第三条边长为 ． 17．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 三、解答题 18．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 19．用配方法解方程： (1)． (2)． 20．解下列一元二次方程． (1)（公式法）． (2)（配方法）． (3)． (4)． 21．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 22．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 23．阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务． (1)①图中解方程的方法是　　 ； A．直接开平方法；B．配方法；C．公式法；D．因式分解法 ②第二步变形的依据是　　； (2)用公式法解方程：． 24．用下列方法解方程，并完成解题过程． (1)配方法： 解：配方，得____________， 即____________， 开平方，得____________， 解得____________，____________． (2)公式法： 解：____________，____________，____________， ________________________， ____________， ____________，____________． (3)因式分解法： 解：因式分解，得____________， ____________或____________， ____________，____________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 一元二次方程的解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1．解一元二次方程-直接开平方法 2．解一元二次方程-配方法 3．解一元二次方程-公式法 4．解一元二次方程-因式分解法 5．换元法解一元二次方程 6．配方法的应用 题型巩固 一、因式分解法解一元二次方程 二、解一元二次方程——直接开平方法 三、解一元二次方程——配方法 四、配方法的应用 五、公式法解一元二次方程 六、换元法解一元二次方程 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（10） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点2．解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 知识点3．解一元二次方程-公式法 （1）把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 知识点4．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 知识点5．换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 知识点6．配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 题型巩固 题型一、因式分解法解一元二次方程 1．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先去括号化简，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 故选C． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程的根是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把看做整体，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则， 解得； （2）解：∵， ∴， 则， ， 解得． 题型二、解一元二次方程——直接开平方法 4．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【详解】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 5．（24-25八年级·上海闵行·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了直接开平方法，掌握直接开平方法解方程是解题的关键．根据直接开平方法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或（舍去）， ， 或． 故答案为：或． 6．解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程． （1）先移项，再两边同除以3，然后利用直接开方法解方程即可得； （2）先移项，再利用直接开方法解方程即可得； （3）先两边同乘以2，再利用直接开方法解方程即可得； （4）先利用平方差公式去括号，再移项合并同类项，然后利用直接开方法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）， ， 或， ∴； （3）， ， 或， 或， 即：； （4）， ， ， ， 即． 题型三、解一元二次方程——配方法 7．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程是解题的关键. 先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C. 8．把一二次方程2x2﹣8x﹣7＝0化成（x+m）2＝n的形式是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】先移项，再利用配方法，即可求解． 【详解】解：移项得： ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 9．（23-24八年级上·上海·单元测试）用配方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，并解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型四、配方法的应用 10．（22-23八年级上·上海杨浦·期中）用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论． 【详解】解：设围成矩形的长为厘米， ∴围成矩形的宽为：， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的值不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键． 11．（24-25八年级上·上海松江·期末）定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 12．我们知道：对于任何实数x． ①∵x2≥0， ∴x2+1＞0； ②∵（x﹣）2≥0， ∴（x﹣）2+＞0． 模仿上述方法解答： 求证：（1）对于任何实数x，均有2x2+4x+3＞0； （2）不论x为何实数，多项式3x2﹣5x﹣1的值总大于2x2﹣4x﹣7的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】配方法的应用 【分析】（1）将代数式前两项提取2，配方后根据完全平方式为非负数，得到代数式大于等于1，即对于任何实数x，代数式2x2+4x+3的值总大于0，得证； （2）证明3x2-5x-1-（2x2-4x-7）>0即可. 【详解】证明：(1)∵2x2+4x+3 =2(x2+2x)+3 =2(x2+2x+1)+1 =2(x+1)2+1⩾1>0. 2x2+4x+3>0 (2)∵3x2−5x−1−(2x2−4x−7) =3x2−5x−1−2x2+4x+7 =x2−x+6 =(x−)2+>0， ∴多项式3x2−5x−1的值总大于2x2−4x−7的值. 【点睛】本题考查偶次方的非负数的性质以及配方法的应用，解题的关键是掌握偶次方的非负数的性质以及配方法的应用. 题型五、公式法解一元二次方程 13．在实数范围内分解因式2x2﹣8x+5正确的是（　　） A．（x﹣）（x﹣） B．2（x﹣）（x﹣） C．（2x﹣）（2x﹣） D．（2x﹣4﹣）（2x﹣4+） 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】解出方程2x2-8x+5=0的根，从而可以得到答案． 【详解】解：∵方程2x2-8x+5=0中，a=2，b=-8，c=5， ∴Δ=（-8）2-4×2×5=64-40=24＞0， ∴x=， ∴2x2-8x+5=2（x﹣）（x﹣）， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，实数范围内分解因式，求出一元二次方程的根是解题的关键． 14．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 ． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，对于一元二次方程，若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到，，，即可得到答案． 【详解】解：设关于的一元二次方程为， 一元二次方程的根为， ，，， 该一元二次方程可以为， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·上海·单元测试）用公式法解方程 (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，再求出判别式的值，进而利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解； 整理得， ∴， ∴， ∴， 解得； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型六、换元法解一元二次方程 16．用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是(　　　) A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0 【答案】A 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设=y，则原方程化为y+=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解． 【详解】把=y代入原方程得：y+=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0． 故选：A． 【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 17．（24-25八年级上·上海·阶段练习）若x、y为实数，且，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 根据换元法，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案． 【详解】解：设，， ∴原方程变形为， ∴， ， 或， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：2． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）（1）如果实数x、y满足，那么的值为 ； （2）如果实数x、y满足，那么代数式的值为 ； （3）如果实数x满足，求代数式的值． 【答案】（1）9或；（2）81；（3）1 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （2）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． （3）设，则由原方程得到关于的一元二次方程，通过解该方程得到的值；然后将其代入所求的变形后的代数式进行求值． 【详解】解：（1）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或． 即值为9或． 故答案为：9或； （2）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即代数式的值为81； （3）设，则， 整理，得， 解得或， 当时，无解（舍去）， 即， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 分层强化 一、单选题 1．方程的两个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；先移项，然后直接开平方法即可求解. 【详解】解：， 即， ， ，． 故选：A． 2．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接开平方法适用于形如（）或（）的方程，以及两边均为平方的方程．需判断各选项是否符合条件即可．本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，可变形为， 符合（），可直接开平方求解． 选项B： ，可变形为， 符合（），可直接开平方求解． 选项C： ，原式无法直接表示为平方形式， 需通过配方转化为，但原方程本身不符合直接开平方的条件， 因此不能用直接开平方法求解． 选项D： ，两边均为平方， 可直接开平方得或， 符合直接开平方法的要求． 故答案为：Ｃ． 3．若一元二次方程配方后的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，能正确将配方后的式子化为一般式是解题关键． 将配方后的方程展开得到，与原方程对比系数即可确定和的值． 【详解】解：配方后的方程为，即； 移项整理为一般形式得： 与原方程对比系数，可得： 故选B． 4．用因式分解法解下列方程，其中正确的是（   ） A．，所以 B．，所以或 C．，所以或 D．，所以或 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，逐项分析判断，即可求解． 根据因式分解法解方程的条件，方程右边必须化为，左边为两个因式乘积的形式，再令每个因式等于求解． 【详解】解：选项A：方程的右边为0，正确解法应为或， 但选项A仅提到，漏掉，步骤不完整，错误． 选项B：方程的右边非，不能直接令各因式等于3或4；需先移项整理为再分解，选项B方法错误． 选项C：方程的右边为0， 正确解法为：令各因式或，步骤正确． 选项D：方程的右边非，不能直接令各因式等于1； 需移项后重新分解，选项D方法错误． 故选：C． 5．方程的根是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法解方程即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解： ， 或 ， ∴ ，， 故选：． 6．已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握配方法、偶次方的非负性是解题的关键． 先求出的值，然后根据偶次方的非负性，判断出值的正负，进而判断出两者的大小关系． 【详解】解： ． ， ， ， ． 故答案为：C． 7．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 通过配方法将方程变形为的形式，确定和的值后计算． 【详解】解：将原方程的常数项移到右边，得 配方，得即 则，． 故 故选：D． 二、填空题 8．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 将方程变形为，再解方程即可． 【详解】方程变形为， 或， 解得，， 故答案为：，． 9．关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了方程有根的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据题意，得，自主选择一个该范围内的数即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴， 故答案为：2（答案不唯一）． 10．已知方程，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 11．用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】根据配方法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程， ①； ②； ③； ④，即，． 故答案为：④． 12．完成下面的解题过程． 用配方法解方程． 解：移项，得 ， 二次项系数化为，得 ， 配方，得 ， 由此得 ， 解得 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 按照配方法的步骤解方程即可． 【详解】解：移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得，即， 开平方，得 ， 解得：，． 故答案为：①，②，③，④ ，⑤，⑥ ． 13．方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，直接利用因式分解法求解即可，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：或． 14．若代数式与的值互为相反数，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了相反数的定义和配方法解一元二次方程，解题的关键在于根据题意列出方程并利用配方法求解． 根据相反数的定义： 互为相反数的两数之和为可列方程，再用配方法解方程即可． 【详解】解：由题意，得， 即， 移项，得， 两边同除以，得， 配方，得 ， 解得． 故答案为：或 15．一元二次方程配方，得，则是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【详解】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 16．已知一个直角三角形的两条边长恰好是方程的两根，则它的第三条边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是要注意分两种情况进行讨论，避免漏解．先用因式分解法解方程，求出两根，，即直角三角形的两条边长分别是2、3，再分两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求出第三边长． 【详解】解方程， ， ， ， 解得：，， 直角三角形的两条边长恰好是方程的两根， 直角三角形的两条边长分别是2、3， 当2、3分别是直角三角形的两条直角边时，根据勾股定理斜边长为， 当2、3分别是直角三角形的一条直角边和一条斜边时，斜边一定是3，根据勾股定理，另一条直角边长为， 故答案为：或． 17．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 三、解答题 18．用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解答本题的关键． 【小问1分析】 对一元二次方程进行移项、合并同类项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【小问2分析】 对一元二次方程进行去括号、移项等步骤将方程化为一般形式并分析出二次项系数、一次项系数以及常数项，然后利用求根公式对方程进行求解． 【详解】【小问1详解】 解： 移项、合并同类项得 观察可得 ；； 故答案为：. 【小问2详解】 解： 去括号得 移项得； 合并同类项得 ； ， 19．用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤． （1）将系数化为得，配方得，再开平方即可求解； （2）将方程整理得，配方得，再开平方即可求解． 【小题1】解：系数化为，得． 移项，得． 配方，得． 解得，． 【小题2】解：两边同时乘以，整理得． 配方，得． 解得，． 20．解下列一元二次方程． (1)（公式法）． (2)（配方法）． (3)． (4)． 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． (4)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 原方程可化为， ，，， ， ． ∴，； （2）解： 原方程可化为， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 即． 两边开平方，得， ∴，； （3）解： 方程整理，得， 移项，得， ∴， ∴或． ∴，； （4）解： 方程整理，得，即， 配方，得， 即，， ∴，． 21．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用直接开平方法计算即可． （3）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （2）解：∵, ∴ ∴ 解得，． （3）解：∵， ∴ ∴ 解得，． 22．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了提取公因式的方法进行因式分解，熟练掌握是解题的关键． （1）先移项，提取公因式，再计算即可； （2）先移项，利用平方差公式分解因式，再计算即可． 【详解】（1） 解：移项，得， 分解因式，得， 或， 所以，． （2） 解：移项，得， 分解因式，得， 即， 所以或． 所以，． 23．阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务． (1)①图中解方程的方法是　　 ； A．直接开平方法；B．配方法；C．公式法；D．因式分解法 ②第二步变形的依据是　　； (2)用公式法解方程：． 【答案】(1)B；等式的基本性质1 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解答的关键． （1）①根据解方程过程可得结论； ②根据等式的性质求解即可； （2）先求出根的判别式的值，再运用求根公式解答即可． 【详解】（1）解：图中解方程的方法是配方法，第二步变形的依据是等式的基本性质1，等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立． 故选：B；等式的基本性质1． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．用下列方法解方程，并完成解题过程． (1)配方法： 解：配方，得____________， 即____________， 开平方，得____________， 解得____________，____________． (2)公式法： 解：____________，____________，____________， ________________________， ____________， ____________，____________． (3)因式分解法： 解：因式分解，得____________， ____________或____________， ____________，____________． 【答案】(1)；；；； (2)；；；； ； ； ； (3)；；；； 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，配方法，公式法，因式分解法，熟记各类解法是解题的关键. （1）配方法的关键是要把二次项系数化为以后，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解; （2）公式法的核心是利用二次公式：，适用于所有有实数根的一元二次方程求解； （3）因式分解法需要把左边化成因式的积，右边为的形式再求解. 【详解】（1）配方法： 解：配方，得， 即， 开平方，得， 解得，． 故答案为：；；；； （2）公式法： 解：，，， ， ， ∴，． 故答案为：；；；； ； ； ； （3）因式分解法： 解：因式分解，得， 或， ∴，． 故答案为：；；；； 学科网（北京）股份有限公司 $