2.1锐角三角函数同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

2.1 锐角三角函数 知识梳理 核心结论：2.1 以直角三角形为基础，通过“边角比值”定义正切、正弦、余弦三种锐角三角函数，揭示“锐角确定则比值唯一”的本质，同时建立三角函数与直角三角形倾斜程度（如梯子陡缓、坡面坡度）的关联，是后续学习三角函数计算与应用的核心基础。 一、锐角三角函数的定义前提与边角标识 1. 定义前提：直角三角形 所有锐角三角函数的定义均基于直角三角形，且研究对象为直角三角形中的锐角（记Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B为锐角）。 2. 边角对应关系（文字标识） 在Rt△ABC中（∠C=90°）： · ∠A的“对边”：与∠A不相邻的直角边，即BC； · ∠A的“邻边”：与∠A相邻的直角边，即AC； · 斜边：所有直角三角形中最长的边，即AB（与直角∠C相对）； · 同理，∠B的对边为AC，邻边为BC，斜边仍为AB。 二、三种锐角三角函数的定义与符号 1. 正切（tanA）：刻画倾斜程度的核心比值 · 定义：在Rt△ABC中，∠A的正切等于∠A的对边与邻边的比，是一个仅与∠A大小有关的比值。 · 表达式：的对边的邻边（如∠A对边为BC、邻边为AC，则）。 · 符号说明：“tanA”是完整数学符号，不可拆分，其中“∠”符号可省略，仅表示“∠A的正切”，并非“tan与A的乘积”。 · 与倾斜程度的关联：tanA的值越大，代表∠A越大，直角三角形的倾斜程度越陡（如梯子与地面的夹角∠A越大，tanA越大，梯子越陡）。 2. 正弦（sinA）与余弦（cosA）：补充边角比值关系 · 正弦（sinA）定义：∠A的对边与斜边的比，仅与∠A大小有关。 · 表达式：的对边斜边（如）。 · 余弦（cosA）定义：∠A的邻边与斜边的比，仅与∠A大小有关。 · 表达式：的邻边斜边（如）。 · 与倾斜程度的关联：sinA的值越大、cosA的值越小，∠A越大，直角三角形的倾斜程度越陡（如梯子的sinA越大，说明梯子顶端越高，倾斜越明显）。 3. 三角函数的本质：“锐角确定，比值唯一” 由于直角三角形中，若锐角大小确定，所有含该锐角的直角三角形均相似（对应角相等），因此“对边/邻边” “对边/斜边” “邻边/斜边”的比值始终固定，与三角形的实际大小无关。例如，所有含30°锐角的直角三角形，tan30°、sin30°、cos30°的比值均为固定值。 三、锐角三角函数的基本计算（已知边求比值/已知比值求边） 1. 已知直角三角形的边，求三角函数值 核心步骤：先明确目标锐角的“对边、邻边、斜边”→代入对应三角函数表达式计算。 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，求sinA和cosA： · 第一步：确定∠A的对边为BC，邻边为AC，斜边为AB； · 第二步：用勾股定理求对边BC：； · 第三步：代入公式计算： · ，。 2. 已知锐角的三角函数值，求直角三角形的边 核心步骤：根据三角函数表达式变形→代入已知值计算目标边。 示例：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长： · 第一步：由变形得； · 第二步：代入已知值：。 四、实际应用：坡度与正切的关联 1. 坡度的定义（坡面倾斜程度） 坡面的“铅直高度”与“水平宽度”的比称为坡度（或坡比），本质上等于坡面与水平面夹角α的正切值（tanα）。 2. 坡度的计算示例 若某山坡沿水平方向每前进100m，铅直方向升高60m（水平宽度=100m，铅直高度=60m），则坡度为： 铅直高度水平宽度。 五、核心要点与注意事项 1. 定义前提不可缺：所有三角函数均需在“直角三角形”中定义，且研究对象为“锐角”，钝角不存在此类比值关系。 1. 符号与表达式规范：tanA、sinA、cosA是完整符号，不可拆分；表达式中分子、分母需严格对应“对边、邻边、斜边”，不可混淆。 1. 比值的不变性：三角函数值仅由锐角大小决定，与直角三角形的边长无关（相似三角形性质）。 1. 倾斜程度的多元刻画：可通过tanA（对边/邻边）、sinA（对边/斜边）、cosA（邻边/斜边）共同判断，三者本质一致（均反映锐角大小）。 同步训练 一、单选题 1．如图，在中，三边，，满足，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则的值为（   ） A． B． C． D．2 3．已知中，，，，那么下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果把一个的三边都扩大2倍，那么锐角A的正切值（    ） A．扩大2倍 B．保持不变 C．缩小到原来的 D．以上都有可能 5．在直角坐标平面内有一点与轴正半轴的夹角为，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知在中，，，，则 ． 8．如图，菱形的对角线、相交于点，为的中点，，，那么 . 9．在中，，如果，，那么 ． 10．如图，已知中，，正方形的顶点、分别在边、上，、在边上，如果，那么 ． 11．如果等腰三角形三边之比为3：3：4，那么底角的正弦值为 ． 三、解答题 12．如图，已知中，是的角平分线，， (1)求的长； (2)求的值． 13．在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积．（结果都保留根号） 14．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在x轴负半轴上，且． (1)求的长． (2)若点C在x轴正半轴上，且．点D是x轴上的动点，当时，求点D坐标． 15．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上，在图①、图②，图③中，只用无刻度的直尺按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中画，使； (2)在图②中画，使； (3)在图③中画，使． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角函数． 先判断三角形的形状，再根据，求解即可． 【详解】解：∵， 令， ， ， ∴是直角三角形， ， 故选：C． 2．A 【分析】本题主要考查了正切的定义，在网格中构造直角三角形是解题的关键． 先在网格中构造直角三角形，易得，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图：由方格可知：，则． 故选A． 3．D 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，熟知锐角三角函数的定义是解答的关键．根据勾股定理求得，再根据锐角三角函数的定义逐一判断选项． 【详解】解：如图， ∵中，，，， ∴ ． 对于A：，错误，不符合题意； 对于B：，错误，不符合题意； 对于C：，错误，不符合题意； 对于D：，正确，符合题意． 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了求角的正切值，在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角所对的直角边与另一条直角边的比值，据此求解即可． 【详解】解：在中，不妨设， ∴， ∴把三边的长度都扩大为原来的2倍后， ∴锐角A的正切值保持不变， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查三角函数及勾股定理，解题的关键是熟练掌握各三角函数的定义． 根据点的坐标，先计算的长度，再利用直角三角形中三角函数的定义判断各选项。 【详解】解：由题意得，如图所示， ∴， ∴， ， ， ， 故选A． 6．B 【分析】本题考查三角形的中线性质、勾股定理、正切定义，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． 过B作交延长线于H，先根据三角形的中线平分该三角形的面积和三角形的面积公式求得，再根据正切定义求得，则，然后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：过B作交延长线于H，则， ∵是的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：B． 7．/0.8 【分析】本题考查了求余弦值，勾股定理．先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 8． 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，求一个角的正弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由四边形是菱形，得，，再结合为的中点，得，，故，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵为的中点，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查锐角三角函数、勾股定理，先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，则， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正切函数．根据已知条件证明，根据对应边成比例列出等式，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了三角函数的定义，结合勾股定理和等腰三角形的性质计算是解题的关键． 根据等腰三角形的三边比例，确定腰和底边的长度，通过作高构造直角三角形，利用勾股定理求高，再根据正弦定义求解． 【详解】由等腰三角形三边之比为，可设腰长为，底边长为，如图所示， 作底边上的高，则，， ， ， ； 故答案为 ． 12．(1)4 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识解决问题是解题的关键； （1）证明，推出构建方程求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出，可得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴的长为； （2）解：过点作于点 ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(1) (2) 【分析】本题考查了三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据三角函数得到，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理求出，进而求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点D， 在中，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ， ， 的面积为． 14．(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理，三角函数以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到的长，再求出，结合勾股定理即可求解； （2）连接，设，当点D在C左侧时以及当点D在点C右侧时两种情况分情况讨论． 【详解】（1）解： ， ． 在中， ， ，， ； （2）解：连接，设． 在中， ，， ， ①当点D在C左侧时，，． ，， ， ， ， ，． ②当点D在点C右侧时，，． ， ． 在中，， ， ，． 综上所述，，． 15．(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】该题是格点作图题，考查了角的正切，相似三角形的性质和判定． （1）取格点，使，连接，则即为所求； （2）取格点，使，连接，则即为所求； （3）取格点，连接交于点E，连接，则即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求；； （2）解：如图，即为所求；； （3）解：如图，即为所求； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $