第二章 1 第2课时 正弦和余弦-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(鲁教版2012 五四学制)

1 9 “直线PA的函数表达式为y=2x十2， 如图所示，延长CA至点D,使得DA=AB, ∴，AD=AB=√5，∴.∠D=∠ABD, 当y=0时，x=-9,,点P的坐标为(-9,0). ∴.∠BAC=2∠D,CD=AD+AC=2+√5， 第二章 直角三角形的边角关系 1 1 锐角三角函数 之an2∠BAC=amD-8S-写十25-2.】 (2)如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点E,连接BE. 第1课时正切 1.D2.C3.20 4.解：过点A作AH⊥BC于点H,如图所示. E ② 则∠BEC=2∠A,AE=BE,∠A=∠ABE. :在R△ABC中，∠C=90,AC=3,anA=专 SAw27 cm7 ∴.BC=1,AB=√10. 设AE=x,则EC=3-x, ..AH=6 cm.'AB=10 cm, 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1, BH=√AB2-AH=√/102-6=8(cm), AH6_3 第得=号，即AE=BE=号BC= 3 六tanB BH=8-4 BC 3 tan2A=tan∠BEC= 5.B6.D7.1:2 CE 4 8.解：分别过点A,D作AM⊥BC,DN⊥BC,垂足分别为点 第2课时正弦和余弦 M,N,如图所示. 1.B2.A3.124.A5.B 6.C解析：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当 13 12.523 AB为斜边，∠C=90°时， B MN :AC=8,BC=6,.AB=√JAC2+BC=√82+62=10. 根据题意，可知AM=DN=23米，MN=AD=6米， AC 8 4 在R△ABM巾，-行M=9米 cos A-AB-105 ②当AC为斜边，∠B=90°时， .AB2=AM2+BM2, 由勾股定理，得AB=√AC2-BC=√82-6=2√7， ∴.AB=√232+692≈72.7（米）， 在Rt△DNC中，DN:CN=1:2.5, aA-0-2-只 ∴.CN=2.5DN=57.5米， ∴.BC=BM+MN+CN=132.5米， 袋上所光0A的位为台表 4 答：背水坡AB的长度约为72.7米，坝底BC的长度约为 8.A9.A10.A1 132.5米. 9.B10.D11.10 12.解：∠C=90°，CD=3,AD=BD=5, 12.解：(1)楼梯的坡度为1， ∴.BC=√/BD2-CD2=√52-32=4，AC=AD十DC= ∴.∠ABC=45°， 5十3=8. AC= ∴.tanA= C-35=台在R△ABc中，∠C=0, 答：年台的商4AC为3m ∴，AB=√AC2+BC=√82+4'=45. (2):新楼梯较度为号，AC-3y 咖A器是gA器六 2m, 13.D .CD=3√2m,由勾股定理，得 AD-A) 14.了 5.解：在R△B'OC中，sin∠OB'C三%=3设OC=3x,则 答：AD的长度为3V0n -m. B'C=5x, 2 13.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 由勾股定理，得OB'=√CB-OC=4x, 根据矩形的性质可知BC=B'C=OA=5x,∴.AB'=x. ∴.AB=/AC2+BC2=√5， 将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上， ∴.∠B=∠CB'E=90°， ∴.∠OB'C+∠ABE=90°.又，∠AB'E+∠AEB=90. D ∴.∠OB'C=∠AEB'. ∠COB'=∠EAB'=90°， ① .△B'OCp△EAB', 器指骺是-“品 ∴.CD2+BD2=142+482=2500,BC2=502=2500, AE BE ..CD2+BD2=BC2, 4 5 AE-32BE-3 △BCD是直角三角形， ∴.∠BDC=90°，.BD⊥DE 在Rt△B'CE中，由勾股定理，得B'C2+B'E2=CE2,即 (2)过点F作FH⊥CD,垂足为点H. 5x)+(停)广=510)，解得x=3(负值合去) .'BC=AB=50 cm,..AC=AB+BC=100 cm. 0A=5x=15,AE= 3x=4, CF=号AC,cF=号×10=20cm. .E(15,4). 在Rt△CFH中，∠DCF=45°，∴.FH=CF·sin45°=20X 16.解：(1)B 2-102(cm,CH=Cp·cos45°=20X号=102(cm (2)0<sadA<2 2 (3)如图所示，在△ABC中，∠ACB=S0,smA=号在AB .'DF=30 cm, ∴.DH=√DF2-FH=√302-(10W2)2=10W7(cm), 上取点D,使AD=AC,作DH⊥AC,H为垂足，令BC= 3k,AB=5k,则AD=AC=√(5k)2-(3k)了=4k.又：在 ∴.CD=CH+DH=(10√2+10W7)cm, 即CD的长为(10√2+10√7)cm. △ADH中，∠AHD=S0,sinA=号iDH=ADsin A= 3用计算器求锐角的三角函数值 号，AH=VaD-D-9.则在△cDH巾.CH= 第1课时用计算器求非特殊锐角的三角函数值 1.D2.C3.B4.C5.A6.612 AC-AH-A.CD-DCH 7.解：(1)sin25°+sin46°≈0.423+0.719=1.142，sin71°≈ 0.946, 于是在△ACD中，AD=AC=4,CD=4点.由正对的 5 .sin25°+sin46>sin71°. 定义可得sadA=CD-V而 (2)sin a+sin B>sin(a+B). AD 5 (3)证明：sina+sin月=AB+BC OA OB B ma+g-合景：0A≥0B, 器骺品+器+紧8+C OA AB+BC>AE,:AB+BCAE AB.BC AE OA OAOAOBOA' 2 30°，45°，60°角的三角函数值 .'sin a+sin B>sin(a++8). 第2课时用计算器求非特殊锐角的度数 1.A2.B3.D 1.A2.B 4.解：(1)原式=2-√5. 3.解：(1)由sinA=0.3035可得∠A≈17°40'5"： (2)原式=-4 7 (2)由cosA=0.1078可得∠A≈834841”； (3)由tanA=7.5031可得∠A≈8224'30. 5.D6.A7.A 4.A5.A 8.钝角9.A 10.解：在△ADC中，设AD=xm.:AD⊥BD,∠ACD=45°， 6.解：设点B的影子落在北楼的点E处，过点E作EF⊥AB于点 ∴.CD=AD=xm, F,连接AE,如图所示. 在△ADB中，AD⊥BD,∠ABD=30°， AD=BD·tan30,即x=发(16+x),解得x与 (8W3+8)m,∴.AB=2AD=2×(8√3+8)=(163+16)m, 即钢索AB的长度为(16√3+16)m. 11.012.D13.B14.60°或45°15.8002m 16.解：(1)②③ CE=16.2m,.AF=16.2m, (2)①sin75°=sin(30°+45)=sin30°·cos45°+cos30°· .BF=30-16.2=13.8(m) 又EF=AC=24m, 血5×号+×号- 2 4 BF13.8 =0.575. ②sin15°=sin(45°-30)=sin45°·cos30°-cos45°· ÷.tn/BEF-EF=24 ∴.∠BEF≈2954，即太阳光线与水平线的夹角为2954'. m0-号×号×号-5 4 阶段检测二 (1~3) 17.解：(1)BD⊥DE. 理由：连接BD. .'EC=36 cm,DE=50 cm,.'CD=DE-EC=14 cm. 1.B2.B3.B4.C5.C6. 7.75 .'BC=50 cm,BD=48 cm, 8.(3675√3-525) 8第2课时 正弦和余弦（答案P7) 7.比较大小：cos36° c0s37°.（填“>” “<”或“=”) 知识点1正弦 知识点3正弦、余弦与倾斜程度的关系 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=5, 8.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A,关于 则sinA的值为( ∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙 A居 B号 c 12 D.5 述正确的是( A.sinA的值越大，梯子越陡 2.把△ABC三边的长度都缩小为原来的3，则锐 B.cosA的值越大，梯子越陡 角A的正弦值() C.tanA的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的函数值无关 A.不变 五箱小为原米的号 知识点4”锐角三角函数 C.扩大为原来的3倍D.不能确定 9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3, 3.在R△ABC中，∠C=90,inA=,BC=3, BC=2,则下列三角函数表示正确的是() 则AB= AmA台 BosA=号 知识点2余弦 CamA-含 D.tan B=3 2 4.(教材P29随堂练习T1变式)已知在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,AB=3,则 cosA的值是() A号 R c号 第9题图 第10题图 5.如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格图 10.如图所示是某公园一段索道的示意图.已知 的格点上，则cos∠ABC的值为() A,B两处的距离为30米，∠A=a,则缆车从 A处到达B处上升的高度(BC的长) 为() 30 A.30sina米 B. 米 sin a C.30cosa米 D.30米 cos a 3 μ号 c D.2V2 3 11.几何直观如图所示，已知CD是Rt△ABC 6.在Rt△ABC中，AC=8,BC=6,则cosA的 斜边上的高线，且AB=10,若BC=8,则cos 值为( ) ∠ACD= 号 8 4 九年级·上册数学·鲁载版一 12.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为 通素第》沙92> AC上的一点，CD=3,AD=BD=5.求∠A 的正弦、余弦和正切. 16.阅读理解》学习过三角函数，我们知道在直角 三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比 值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间 可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中 建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形 中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图 所示，在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对 记作dA,这时山A=边-胎容易知 道一个角的大小与这个角的正对值也是相互 通能力2 唯一确定的 12 13.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°的值为 则tanB的值为( e. 4号 B.1 C⑤ D.2 A空B9 5 2 D.2 (2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA 14.已知△ABC的三边a,b,c满足等式(2b)2= 的取值范围是 4(c+a)(c-a),且5a-3c=0,则sinA+ sin B= (3)已知smA=其中∠A为领角，试求 15.如图所示，在平面直角坐标系中放入矩形纸 sadA的值. 片ABCO.将纸片翻折后，点B恰好落在x轴 上，记为B',折痕为CE,已知sin∠OB'C= CR=5而，求点E的坐标 一优学案·课时通 25