专题02 锐角三角函数与几何图形（专项训练）数学鲁教版五四制九年级上册

专题02 锐角三角函数与几何图形（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求锐角三角函数值 1 题型二、解非直角三角形 5 题型三、构造直角三角形求边长与面积 13 题型四、网格中的三角形问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求锐角三角函数值 1．（2025·山东临沂·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，利用等面积法求解是解本题的关键． 如图，过作于，先求解，再利用，求解，再利用正弦的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于   菱形中，对角线，相交于点O，，， ． 故选：D． 2．如图，中，是边上一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的正切值，添加辅助线构造直角三角形是解题关键． 延长，过点作，交的延长线于点，结合等腰直角三角形的性质分别求得和的长，从而求出角的正切值 【详解】解：延长，过点作，交的延长线于点， 在中， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在Rt中，， ∴， ∴， 故选：C． 3．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正切函数的定义等知识点．根据正切函数的定义解答即可． 【详解】解：在中，，，， ∴． 故选：B． 4．如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．设，可得，根据，得，根据勾股定理得，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值．根据矩形的性质可证，得到，，如图所示，过点作于点，可证，，，，在中由勾股定理得到的长，再根据余弦的定义计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 题型二、解非直角三角形 6．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查学生类比迁移思想，直接画出题目中描述的三角形，按照题干中的方程代入已知量解方程即可． 【详解】由题可知，需要画出满足条件的，如下图所示； ∵，； ∴，； ∴在中； ； ∵； ∴； 整理得：； ，（舍）； ∴； 故选．    7．如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 8．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 10．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 11．如图，在中，，，，求的长．（，） 【答案】 【分析】过C作，交的延长线于点D．由题意易得，然后根据解直角三角形可进行求解． 【详解】解：过C作，交的延长线于点D． ∵，， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 12．如图，在中，已知，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 13．如图，已知中，，，D是的中点，于点E，的延长线交于点F． (1)求的正弦值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）过点作于点，由得到是等腰三角形，由三线合一得到，由勾股定理求得，根据正弦的定义即可得到答案； （2）由，得到，由是的中点，得到是的中位线，求得，由得到，求得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 是等腰三角形， 又， ． 在中，， ． （2）解：，， ， ∴， 又是的中点， ∴， ∴， 是的中位线， ，． ． ，， ． ，即， 解得． ． ． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型三、构造直角三角形求边长与面积 14．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 15．为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【答案】6.5米 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F，把图形分成两个直角三角形和一个矩形，然后在求出BF、AF，利用矩形性质求出AE，再在求出DE即可解答． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点B作BF⊥AE于点F， 根据题意可知：AB＝4，CB＝5， ∠ABF＝∠ABC -90°=22°， 在中，， ∴，， 四边形是矩形 在中，，， （米） 答：蔬菜大棚的宽DC的长度为6.5米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；由根据已知条件构造直角三角形，求出AE是解决问题的关键． 16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 【答案】6 【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：延长DA交CB的延长线于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=90°， ∵∠DAB=120°， ∴∠EAB=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=24， ∵∠D=90°， ∴∠C=60°， ∴DE= CD=30， ∴AD=DE-AE=6． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．文物探测队探测出某建筑物下面埋有文物，为了准确测出文物所在的深度，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距米的两处，用仪器测文物,探测线与地面的夹角分别是和， 求该文物所在位置的深度(精确到米) ．    【答案】17.3米 【分析】首先构建直角三角形，然后利用特殊角锐角三角函数，即可得解. 【详解】过点 作于，设，如图所示：    在中，，则 在中，， （米） （米） 即米． 答：该文物所在的位置在地下约17.3米处． 【点睛】此题主要考查含有特殊锐角三角函数的实际应用，解题关键是构建直角三角形，即可解题. 题型四、网格中的三角形问题 18．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 19．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查格点三角形，勾股定理，正切函数的定义．根据各点的位置求出的长，判断是否是直角三角形，再根据正切函数的定义即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且，，， ∴的正切值是， 故选：A． 20．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到是解决本题的关键． 如图：由题意得，，从而得出，设，则，由勾股定理得出，最后代入计算即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 设，则， ， ∵在中，， ∴． 故选：A． 21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A，B，C，D均在网格点上，与交于点E，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的余弦值，平行四边形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，取格点F，连接，则四边形是平行四边形，则可证明，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，取格点F，连接， 由网格的特点可得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2025·山东威海·中考真题）问题提出 已知，都是锐角，，，求的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知，都是锐角，，，则___________； （3）已知，，都是锐角，，，，求的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会路数形结合的思想解决问题． （1）连接，利用等腰直角三角形的性质求解； （2）构造等腰直角三角形可得结论； （3）构造直角三角形可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，连接， ，， ， ∴是等腰直角三角形， ，， ； （2）如图中，连接， 由题意，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故答案为：； （3）如图中， 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ． 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线可得，，进而得，然后利用锐角三角函数进行计算即可解答． 【详解】解：在，是斜边上的中线，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 3.如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 4．（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，灵活运用网格特点和证明是解决问题的关键． 连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ，则利用正方形的性质得到，则，再根据正切的定义，在中可计算出，在中可计算出，所以，然后利用三角形外角性质和角的代换可证明，所以． 【详解】解：连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ， 则， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 故选：B． 5.如图，在中，，．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义以及互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据直角三角形的边角关系进行判断即可． 【详解】解：在中，，，设所对边分别为， ，，，，，， ，选项A正确，不符合题意； ， ，选项B正确，不符合题意； ，选项C错误，符合题意； ，选项D正确，不符合题意； 故选C． 6．如图，在中，，，，下列锐角三角比表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 先运用勾股定理得到，再根据锐角三角函数的定义即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项正确，符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项错误，不符合题意； 故选：B ． 7．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形和折叠的性质可证明，通过等腰三角形的性质得到为中点，则由平行线分线段成比例定理可得，那么设，则，再由正弦的定义即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴, ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵折叠， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 8．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点，    ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 锐角三角函数与几何图形（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求锐角三角函数值 1 题型二、解非直角三角形 2 题型三、构造直角三角形求边长与面积 5 题型四、网格中的三角形问题 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求锐角三角函数值 1．（2025·山东临沂·一模）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，是边上一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ． 题型二、解非直角三角形 6．阅读材料：余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．用公式可描述为：；；．已知在中，＝2，＝4，＝，则的长为（  ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，则的长为 ． 8．如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 9．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 10．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 11．如图，在中，，，，求的长．（，） 12．如图，在中，已知，，，求的面积． 13．如图，已知中，，，D是的中点，于点E，的延长线交于点F． (1)求的正弦值； (2)求的值． 题型三、构造直角三角形求边长与面积 14．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 15．为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展．如图，四边形ABCD是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC＝112°，∠D＝67°，AB＝4米，求此蔬菜大棚的宽CD的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝10，求AD的长． 17．文物探测队探测出某建筑物下面埋有文物，为了准确测出文物所在的深度，他们在文物上方建筑物的一侧地面上相距米的两处，用仪器测文物,探测线与地面的夹角分别是和， 求该文物所在位置的深度(精确到米) ．    题型四、网格中的三角形问题 18．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 19．如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（   ） A．2 B． C． D． 20．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（   ） A． B． C． D． 21．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格图中，点A，B，C，D均在网格点上，与交于点E，则 ． 22．（2025·山东威海·中考真题）问题提出 已知，都是锐角，，，求的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知，都是锐角，，，则___________； （3）已知，，都是锐角，，，，求的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 1．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，在中，是斜边上的中线．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    4．（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 5.如图，在中，，．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，下列锐角三角比表示正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏常州·一模）如图所示为一张矩形纸片，为的中点，点在边上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与交于点，的延长线过点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$