第4章 线段与角（7大题型）（42道压轴题专练）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第4章 线段与角（7大题型）（42压轴题专练） 压轴题型一 线段中点相关计算 1．【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 2．如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 3．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 4．已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)①点A所表示的数为________； ②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________； (2)问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系． 5．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 6．已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧． (1)若线段在线段上运动． 如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果） 为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 压轴题型二 与线段有关的动点问题 7．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 8．点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 9．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 10．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 11．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 12．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 　 　； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 压轴题型三 三角板中角度计算问题 13．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当时，求和的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数； ②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值． 14．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则________；（答案写在右边一栏答题区域） (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数． 15．一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器180°刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为（秒）． (1)____________； (2)当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为_____________°； (3)_____________秒时，； (4)_____________秒时，边平分； (5)在三角尺旋转过程中，时，求值． 16．如图1，将两个三角板的两顶点重叠放在直线上，其中点B落在另一个三角板的边上，已知，，，三角板绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角板绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角板旋转满一周后，两个三角板同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图2，当，时，求的度数． (2)当时， ①将图1中的两个三角板绕点A旋转至图3，若平分，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． (3)将图1中三角板沿边翻转后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角板的两条边，第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角板的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 17．如图，将一幅直角三角板的直角顶点C叠放在一起． 若，则______；若，则______． 猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 如图，若是两个同样的直角三角板锐角的顶点A重合在一起，则与的数量关系为______． 18．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　； （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由； （3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°） ①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由． ②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？ 压轴题型四 几何图形中角度计算问题 19．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 20．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 22．（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 23．数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移．下面是教学片段： 【观察】已知：数轴上有两点． （1）如图1，点表示的数是，点表示的数是4，线段的长度是______，可理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是7，线段的长度是______，可理解为； 【发现】（2）经过大量的观察，小明发现：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离即______（用含的代数式表示）； 【应用】（3）若点表示的数是，点表示的数是3，，则，得______； 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图3：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．例如：射线表示为，射线表示为，； （4）若射线表示，射线表示，则______度；（用含的代数式表示） 【应用】如图4所示，已知，，，射线同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． （5）①当______秒时，；②试说明：当为何值时，？ 24．如图，长方形纸片，点分别是边上的动点，将，分别沿，折叠，点的对应点分别是点，点． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点在同一直线上，探索与的关系，并说明理由． (3)若，直接写出折叠后的度数（用含的代数式表示）． 压轴题型五 动角问题 25．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称射线是的半角线，但射线不是的半角线． (1)如图1，已知，垂足为O，，在射线，中，射线______是的半角线； (2)如图2，同一平面内，已知，射线是的半角线，求； (3)如图3，，射线同时从开始，分别以每秒5°和每秒3°的速度按逆时针方向绕点O旋转，当射线旋转一周时同时停止运动，设旋转的时间为t（时间单位：s）．问t为何值时，射线是的半角线． 26．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若．则我们称射线是射线的“友好线”．例如．如图1，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，．射线是射线的友好线．则_____； （2）如图3，，射线与射线重合．并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合．并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止： ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在．请说明理由； ②当射线相遇后，射线中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值． 27．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 28．已知，过顶点O作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”． (1)已知射线是的“好线”，且，求的度数． (2)如图2，O是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． (3)如图3，已知，，射线和分别从和同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到，立即绕点O按逆时针方向旋转，直至射线与重合时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 29．年月日，深外（集团）年度表彰大会暨文艺演出隆重举行．其中我校教职工参演的《璀璨》，展现了深外初中部的风采，也体现了艺术之美，如图．学生小红想从图形旋转的角度来学习舞蹈的动作，如图，为了方便研究，定义两手位置分别为，两点，两脚位置分别为，两点，为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)在一张照片中，小红发现某一时刻，如图，，，三点共线，但不在水平方向上，且．试求； (2)在一段表演的视频中，小红发现，舞者两腿左右张开，使得、关于对称且．开始运动前、、三点在同一水平线上，如图，、绕点同时开始逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，、停止运动．设运动的时间为． 当，，三点共线时，__________； 在表演过程中，是否存在时刻，使得？如存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 30．【阅读理解】 定义：一条射线在内部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的内分线；一条射线在外部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的外分线．内、外分线统称为倍分线． 【知识运用】 (1)如图（1），若，为的一条内分线，求的度数． (2)如图（2），已知，． ①若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转．若t秒后为的外分线时，恰为的内分线，求m的值． ②若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．当由三条射线组成的图形中，其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时，求时间t的值． 压轴题型六 角平分线计算 31．（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 32．如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 33．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 34．如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 35．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 36．（1）如图1，已知点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点．若线段，则线段______， ______， ______． （2）已知、为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①如图2，若、均为内的两条射线，且，求的度数． ②如图3，若为外的一条射线，且，则______． 压轴题型七 余角、补角计算 37．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 38．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 39．已知：，，，是从点O引出的三条射线．    (1)如图1，若平分，平分，当时，______；当射线绕点O在内部旋转时，______； (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余； (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由； ②当大于而小于时，直接写出的度数． 40．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 41．阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 42．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 线段与角（7大题型）（42压轴题专练） 压轴题型一 线段中点相关计算 1．【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】 （3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴， ∴点是线段的的“巧点”， 故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点， ∴则最长时，满足， 即， ∴， 故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点 ∴或，或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 2．如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)经过2秒，秒，P、Q两点相距； (3) 【分析】（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，， ∴，而， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点 ∴，而， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒 则， ∵点Q运动到O点时停止运动 ∴点Q最多运动时间为 依题意，分以下两种情况： ①当点P、Q相遇前， ，即， 解得 ②当点P、Q相遇后， ， ， 解得：，经检验不符合题意，舍去； 当时，与重合，停止运动， 此时， 当再运动时，相距， 此时， 综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， 点E、F分别为和的中点， ， 则． 【点睛】本题考查了线段的和差、线段的中点定义，一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 3．如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 4．已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为，点A在B点的右边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)①点A所表示的数为________； ②当秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________； (2)问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？ (3)若点M为的中点，点N为的中点，求出线段与线段的数量关系． 【答案】(1)①16；②11，； (2)点运动2秒或4秒与点相距8个单位长度． (3)或． 【分析】（1）①由数轴上两点之间的距离列式即可；②由起点对应的数加上或减去移动距离可得答案； （2）先表示点表示的数为，点表示的数为，再利用两点之间的距离公式列方程求解即可； （3）分两种情况讨论：当在右侧时，如图，同理在左侧时：如图，再利用中点的含义结合线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：①∵，， ∴表示的数是16； ②∵， ∴点表示的数是； 点表示的数是：； （2） 点表示的数为，点表示的数为 解得或4 答：点运动2秒或4秒与点相距8个单位长度． （3）为的中点，为的中点 当在右侧时，如图，有： ∴ ， ，即． 同理在左侧时：如图， 同理可得： ， ∴． 综合知，或． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，清晰的分类讨论是解本题的关键． 5．【感悟体验】如图，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是 （直接填序号）． ；；． 【运用概念】如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． （1）若，求的长； （2）若，求的长； 【拓展提升】如图，在同一直线上依次有四点，且（为常数），点为的中点，点在上且．是否存在的值使得的长为定值？若存在，请求出的值以及这个定值（用含的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】【感悟体验】画图见解析；【认识概念】；【运用概念】（1），（2），【拓展提升】当时,为定值． 【分析】【感悟体验】 ：以点为圆心以长度为半径交直线于点即可求解； 【认识概念】，故①不符合题意； ，，故不符合题意；设，则，同理可得，即可求解； 【运用概念】 设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为，即可求解； 【拓展提升】设点对应的数为：，点对应的数为：，则点、对应的数分别为：，，求出 ，即可求解； 本题考查了几何变换，涉及到新定义、中点坐标公式的运用等，准确设定点所对应的数是解题的关键. 【详解】【感悟体验】：以点为圆心以长度为半径交直线于点 则点为所求点，如下图： 【认识概念】 ，故不符合题意； ，故不符合题意； 设 ，则， 同理可得：，故符合题意， 故答案为：； 【运用概念】设点对应的数为，点对应的数为，则点，对应的数为，， 则点对应的数为，点对应的数为， （）当，即，则， 则， （）当，即， 则， 【拓展提升】存在，理由： 设点对应的数为：，点对应的数为：， 则点、对应的数分别为：，， 则点对应的数为， 而， 则点对应的数为： ， 则 ， 当时，为定值． 6．已知，，点为线段的三等分点（），点在点左侧，点在点左侧． (1)若线段在线段上运动． 如图，当点为线段的中点时， ；（直接写出结果） 为线段上一点，且，，求线段的长； (2)若线段在射线上运动，且，求线段的长． 【答案】(1)；线段的长为或； (2)线段的长为或． 【分析】（）利用三等分点的定义求出，利用中点定义求出，再根据线段的和差关系即可求出；分当点在点的右侧和点在点的右侧，点在点的左侧两种情况，画出图形解答即可求解； （）分当线段在线段上、点在的延长线上，点在线段上和线段在线段的延长线上三种情况画出图形解答即可求解； 本题考查了中点定义，三等分点定义，线段的和差，一元一次方程的应用，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想进行解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，∵点为线段的三等分点（）， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，当点在点的右侧时， 设，则，，，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 如图，当点在点的右侧，点在点的左侧时， 设，则，，，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； ∴线段的长为或； （2）解：如图，当线段在线段上时， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，当点在的延长线上，点在线段上时， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得，不合，舍去； 如图，当线段在线段的延长线上时， 设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 压轴题型二 与线段有关的动点问题 7．已知：如图，点是线段上一定点，，两点分别从点出发以、的速度在直线上运动，运动方向如图中箭头所示（点在线段上，点在线段上）    (1)若，当点、运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点运动了时，求的值． (3)若点、运动时，总有，则 （填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)4 (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）由已知条件得、的长，由即可求解； （2）由已知条件得，，由，即可求解； （3）的运动速度可知：，由线段的和得，即可求解；解法二：、运动时间为，的长度为，得，，由，即可求解； （4）①当点在线段上时，由线段和差得，可求，由即可求解；②当点在线段的延长线上时，同理可求，即可求解； 能用已知线段的和差表示所求线段，根据点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， ， ， 故答案：；； （2）解：由题意得 ，， ； 故的值为； （3）解：的运动速度可知：， ， ， 即 ， 又 ， ， ， ． 故答案为：4． 解法二 设、运动时间为，的长度为，得 ， ， ， ， ． 又 ， ， 解得：； 故答案为：4； （4）解：①当点在线段上时，如图1，   ， 又， ， ， ； ②当点 在线段的延长线上时，如图2，   ， 又 ， ， ． 综上所述 或1． 8．点是线段上一点，若（n为大于1的正整数），则我们称点是的最强点．例如，，，则，称E是的最强点；，则是的最强点． (1)点在线段上，若，，点是的最强点，则 ． (2)若，是的最强点，则 ．（用n的代数式表示） (3)一直线上有两点A，B，，点从B点出发，以每秒的速度向A运动，运动到点A时停止．点D从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，t为多少时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点．（用n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)当t为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点 【分析】（1）根据“最强点”的定义计算即可； （2）根据“最强点”的定义列式即可； （3）将点、的运动分成未相遇，相遇后，点经过点后，和点到达点后四种阶段讨论，并且每个阶段又有可能有2种不同的点的情况． 【详解】（1）∵点是的最强点， ， ，， ， 故答案为：； （2）∵是的最强点， ， ， 又，， ， ， 故答案为：； （3）解：根据题意，当时、相遇， ， 解得， 阶段一：点、未相遇时，即时， ①设时点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴满足题意； ②设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段二：点、相遇后，且点未到达点，即时， ③设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； ④设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∵为大于1的正整数， ∴符合题意； 阶段三：点经过点后，且点未到达点，即时， ⑤设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； ⑥设时，点为的最强点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴不符合题意，舍去； 阶段四：点到达点后，即时， ∵， ∴点不可能为的最强点； ⑦设时，点为的最强点， ∴，， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴符合题意； 综上所述，当为或或或或或时，点B，，D恰好有一个点是其余2个点的最强点． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，列一元一次方程解应用题，线段上的动点等问题，运用分类讨论的思想，正确地列出代数式表示出线段的长是解题的关键． 9．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①；②同意，理由见详解 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 10．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 11．如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB． （1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______； （2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动． ①当点D在线段AB上运动，求的值； ②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长． 【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm． 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可． 【详解】解：（1）图形补充完整如图， ∵CB＝AB， ∴CA＝， ， 故答案为：； （2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒， cm，cm， ， ②当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， cm， 运动时间为：18÷3=6（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 当时， ∵AB ＝ 9cm， cm， ∴cm， ∴cm， 运动时间为：36÷3=12（秒）， 则cm， cm， cm， ∵M，N分别是线段DE、AB的中点． ∴cm，cm， cm， 综上，MN的长是12cm或24cm． 【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长． 12．如图，三点A、B、P在数轴上，点A、B在数轴上表示的数分别是﹣4，12（AB两点间的距离用AB表示） （1）C在AB之间且AC＝BC，C对应的数为 　 　； （2）C在数轴上，且AC+BC＝20，求C对应的数； （3）P从A点出发以1个单位/秒的速度在数轴向右运动，Q从B点同时出发，以2个单位/秒在数轴上向左运动． 求：①P、Q相遇时求P对应的数； ②P、Q运动的同时M以3个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到P时，点M立即以同样的速度（3个单位/秒）向右运动，并不停地往返于点P与点Q之间，求当点P与点Q相遇时，点M所经过的总路程是多少？（直接写出结果） 【答案】（1）4；（2）﹣6或14；（3）①，②16． 【分析】（1）根据中点的定义可得； （2）设点C表示的数为x，分点C在A、B之间，点C在点A左侧和点C在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式分别列方程求解可得； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t，根据相遇时点P、Q所表示的数相同，列方程求解可得；②由①知点P、Q从出发到相遇用时秒，据此知点M的运动时间为秒，再根据路程＝速度×时间可得答案． 【详解】解：（1）根据题意知点C表示的数为4， 故答案为：4； （2）设点C表示的数为x， 当点C在A、B之间时，由题意知（x+4）+（12﹣x）＝20，即16＝20，不合题意，舍去； 当点C在点A左侧时，由题意知（﹣4﹣x）+（12﹣x）＝20，解得：x＝﹣6， 当点C在点B右侧时，由题意知x﹣12+x﹣（﹣4）＝20，解得：x＝14， 即点C表示的数为﹣6或14； （3）①设t秒后，点P表示的数为﹣4+t，点Q表示的数为12﹣2t， 由题意知﹣4+t＝12﹣2t， 解得：t， 则相遇时点P对应的数为﹣4； ②∵由①知点P、Q从出发到相遇用时秒， ∴点M的运动时间为秒， 则点M所经过的总路程是316单位． 【点睛】本题主要考查数轴、两点间的距离公式及一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式和分类思想的运用是解题的关键． 压轴题型三 三角板中角度计算问题 13．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当时，求和的度数； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数； ②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值． 【答案】(1)， (2)①①当与不重合前到重合时，，； 当与重合后到第一次与射线重合时：，；②或 【分析】本题考查的是在新定义的条件下，用方程的思想解决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程中出现的每一种情况． （1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可； （2）①先求出，据此可得的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；②分，以及三种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，， ， 当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：， 故，； （2）①由图1，得， 设运动时间为 ，如图2， ，，，， ，，，， 当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； ②当时， ， ， ， ， 故不存在的值； 当时，如图： ， ， ， 故不存在的值； 当时，如图：   ，， ， ， 解得，， 综上所述，的值为或． 14．点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合时，则________；（答案写在右边一栏答题区域） (2)如图2，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求旋转角的度数和的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转过程中，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)25 (2) (3)或 【分析】本题考查角的计算和旋转的知识，关键是明确题意，灵活变化，找出所求问题需要的． （1）根据和的度数可以得到的度数． （2）根据是的角平分线，可以求得的度数，由，可得的度数，从而可得的度数． （3）分两种情况，在左边或右边，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：25； （2）∵是的角平分线， 即； （3）当在左边时， 当在右边时， ， ， ∴的度数为或． 15．一副三角尺按照如图所示摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器180°刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为（秒）． (1)____________； (2)当秒时，边经过的量角器刻度线对应的度数为_____________°； (3)_____________秒时，； (4)_____________秒时，边平分； (5)在三角尺旋转过程中，时，求值． 【答案】(1)； (2)（或）添一即可； (3)9； (4)； (5)11或19． 【分析】（1）根据三角尺的特点可得； （2）先求的，再求出转过转过的角度，相加即可，根据量角器刻度有两层，且两层角度互补，故两个答案均可； （3）根据已知，求出的邻补角，再求出转过转过的角度即可解决； （4）根据角平分线的性质求出，根据邻补角求出他的领补角，即可求出转过转过的角度从而解答； （5）结合题意先求出①当在外部时，求出转过的度数即可求；②当在内部时，，求出转过的度数即可求． 【详解】（1）解：由图可知， 是含的三角尺，且 故答案为： （2）由（1）同理可知： 当秒时，边转过： 此时边所在的量角器刻度线对应的度数为： ， 由于量角器刻度有两层，且两层角度互补， 故答案为：（或）添一即可； （3）， 故的邻补角为 转过的度数为： 故答案为：9； （4）平分 故的邻补角为 转过的度数为： 故答案为：； （5）， ①当在外部时， 转过的度数为： ②当在内部时， 转过的度数为： 或 【点睛】本题考查了量角器、三角尺的角度、补角、角平分线以及交的和差计算；掌握三角尺的角度并正确进行交的和差计算是解题的关键． 16．如图1，将两个三角板的两顶点重叠放在直线上，其中点B落在另一个三角板的边上，已知，，，三角板绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角板绕点A按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角板旋转满一周后，两个三角板同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)如图2，当，时，求的度数． (2)当时， ①将图1中的两个三角板绕点A旋转至图3，若平分，求t的值． ②若点C，A，E三点共线，求出所有符合条件的t的值． (3)将图1中三角板沿边翻转后，再绕点A按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角板的两条边，第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角板的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2)①12；②当，16，28秒时，点C，A，E三点共线 (3)31 【分析】（1）由题可知，，当，时，代入求出和的角度，代入即可得出结论； （2）①由题意可知，，，由角平分线的定义建立方程，求解即可； ②由①可得，，，根据题意，三点共线，建立方程，求解即可； （3）由三等分线可知，，所以第一次分割，第二次分割，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知， ， 当，时， ，， ∵，， ∴． （2）解：①由题意知，， 则， 同理，， ∵平分， ∴， 即， 解得：． ②由①可得，，， （i）如图Ⅰ，， ∴； （ii）如图Ⅱ，， ∴； （iii）如图Ⅲ，， ∴； 综上所述，当，16，28秒时，点C，A，E三点共线． （3）解：由题意可知，， 第一次分割 则第二次分割， 解方程，可得，， ∴n的值为31． 【点睛】本题考查了一元一次方程在角的旋转问题中的应用，理清题中的数量关系并数形结合是解题的关键． 17．如图，将一幅直角三角板的直角顶点C叠放在一起． 若，则______；若，则______． 猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由． 如图，若是两个同样的直角三角板锐角的顶点A重合在一起，则与的数量关系为______． 【答案】（1）57°；42°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（3） 【分析】根据角的和差定义计算即可； 利用角的和差定义计算即可； 利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题. 【详解】解：（1）∵，， ， ∵，， ， . 故答案为：57°，42°； （2）猜想得：或与互补. 理由：，， ， ， ； （3）结论：理由如下： ，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 18．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE＝35°，∠ACB＝　 　；若∠ACB＝140°，则∠DCE＝　 　； （2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由； （3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD＝α（0°＜α＜90°） ①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由． ②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE＝21°时，转动了多少秒？ 【答案】（1）∠ACB＝145°；∠DCE＝40°；（2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补，理由见解析；（3）①能；理由见解析，α＝54°；②23秒 【分析】（1）由题意可得，重叠的部分就比90°+90°减少的部分，即当∠DCE＝35°时，∠ACB=180°﹣35°＝145°，当∠ACB＝140时°，∠DCE=180°﹣140°＝40° （2）由于∠ACD＝∠ECB＝90°，则重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE＝180°． （3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，设∠ACB＝4x，∠DCE＝x，利用∠ACB与∠DCE互补列方程解答即可； ②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒，根据∠BCD+∠DCE＝90°，列方程解答即可． 【详解】解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°， ∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°． ∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠ACB＝140°， ∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°． 故答案为：145°，40°； （2）∠ACB+∠DCE＝180°或互补， 理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180． ∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB， ∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补． （3）①当∠ACB是∠DCE的4倍， ∴设∠ACB＝4x，∠DCE＝x， ∵∠ACB+∠DCE＝180°， ∴4x+x＝180° 解得：x＝36°， ∴α＝90°﹣36°＝54°； ②设当∠DCE＝21°时，转动了t秒， ∵∠BCD+∠DCE＝90°， ∴3t+21＝90， t＝23°， 答：当∠DCE＝21°时，转动了23秒． 【点睛】本题考查了互补、互余的定义以及角的重叠等知识点，解决本题的关键是确定重叠部分的大小. 压轴题型四 几何图形中角度计算问题 19．定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的，那么这两条射线所成的角叫做这个角的伴随角．如图1，若，则是的伴随角． (1)如图1，已知，，是的伴随角，则__________； (2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度（）至，当旋转的角度为何值时，是的伴随角． (3)已知，把一块含有角的三角板如图3叠放，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图4），问：在旋转一周的过程中，射线，，，能否构成伴随伴随角？若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能构成伴随角；或或或 【分析】本题主要考查了角的计算，一元一次方程，解题的关键是理解伴随角的定义． （1）根据伴随角的定义可求得，进一步解答即可； （2）首先求得，然后根据伴随角的定义进一步解答即可； （3）根据伴随角的定义列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：是的伴随角，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 是的伴随角， ， ， 旋转的角度为时，是的伴随角； （3）解：在旋转一周的过程中，射线，，，能构成伴随角； 理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为， 如图1， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 如图2， 是的伴随角，， ， ， ， ； 如图3， 是的伴随角，， ， ， ， ， 如图4， 是的伴随角，， ， ， 解得：， ； 综上所述，当旋转的时间为或或或时，射线，，，能构成伴随角． 20．如图1，A，O，B三点在一条直线上，且，射线分别平分和．如图2，将射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转，射线分别平分和，当射线与射线重合时，停止运动．设射线的运动时间为t秒． (1)如图1，运动开始前， °； (2)若在上方，当t为何值时，射线平分？ (3)旋转过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)存在，11或32 【分析】本题主要考查一元一次方程的知识，角平分线的定义，根据角的关系列方程求解是解题的关键． （1）根据角平分线的定义直接计算即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分情况根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵射线分别平分和， ， ， ， 故答案为：90． （2）解：∵射线以每秒的速度绕点O逆时针旋转一周，同时将以每秒的速度绕点O逆时针旋转， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故当时，射线平分． （3）解：存在某一时刻使得，理由如下： ①当在上方，此时有：， 即：， 解得：； ②当在下方，此时有：， 即：， 解得：； ③当停止运动，继续旋转时，此时有旋转，， ． 综上所述：当或32时，． 21．如图，射线、在内部，且满足，其中．射线、同时分别从射线、出发，射线以每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，所在区域为“转换区”：当从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度旋转，设旋转的时间为秒． (1)分别求出的度数． (2)当射线与射线重合时，求的值及此时的度数． (3)当射线与射线重合时停止旋转，求满足时的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或或或． 【分析】本题考查了角度的和差，涉及一元一次方程的应用，在解题过程中根据角度的变化进行合适的分段讨论是解题的关键． （1）由，即可得解； （2）分别求出射线与射线重合，射线与射线重合所需时间，射线在“转换区”所需时间，相加即可； （3）根据射线运动位于不同的角内分段讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2），射线以每秒的速度顺时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） ，射线以每秒的速度逆时针旋转， 射线与射线重合所需时间为（秒） 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转，此时射线与重合还需时间（秒）， 射线旋转了， 当射线从射线进入“转换区”，其速度变为射线的每秒的速度旋转， 重合还需时间为， 时间（秒），； （3） 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合所需时间为（秒）， 射线与射线重合时所需时间为（秒）， ，根据运动分五种情况， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，解得． 当满足时，或或或． 22．（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s． （ⅰ）________cm． （ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． （2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，． （ⅰ）________度． （ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方． ①当平分，，其中的两边组成的角时，________． ②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）10（ⅱ）；（2）（ⅰ）75（ⅱ）①的值为，，②当或时，存在 【分析】（1）（ⅰ）根据线段中点，可得答案；（ⅱ）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． （2）（ⅰ）根据平角的定义即可得到结论；（ⅱ）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当在的左侧时，当在的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）（ⅰ）∵C为的中点 ∴． 故答案为：10； （ⅱ）存在， ①∵P的速度2，Q的速度是1， ∴， 又， ∴ ∴不是线段的中点； ②为线段的中点，得 ，解得； ③为线段的中点，得 ，解得 综上所述：或． （2）（ⅰ），， ， 故答案为：75； （ⅱ）①当平分时， ，， ， ， ， 当平分时， ， ， ； 当平分时， ， ， ， 综上所述，旋转角度的值为，，； ②当在的左侧时，则，， ， ， ； 当在的右侧时，则，， ， ， ， 综上所述，当或时，存在． 【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 23．数轴是一种工具，结合数轴与绝对值知识可以研究两点之间的距离．线段的计算和角的计算有紧密联系，借助数轴可以实现它们之间解法的迁移．下面是教学片段： 【观察】已知：数轴上有两点． （1）如图1，点表示的数是，点表示的数是4，线段的长度是______，可理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是7，线段的长度是______，可理解为； 【发现】（2）经过大量的观察，小明发现：若点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离即______（用含的代数式表示）； 【应用】（3）若点表示的数是，点表示的数是3，，则，得______； 【迁移】受此启发，小明制作出一种“异形数轴”用来解决角度问题．如图3：标记射线表示，规定顺时针方向为正方向，选取为单位角度．例如：射线表示为，射线表示为，； （4）若射线表示，射线表示，则______度；（用含的代数式表示） 【应用】如图4所示，已知，，，射线同时绕点以的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒． （5）①当______秒时，；②试说明：当为何值时，？ 【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）度；（5）①或；②当或时，． 【分析】（1）由数轴上两点之间的距离的含义可得答案； （2）由数轴上两点之间的距离公式直接表示即可； （3）由可得或，再解方程即可； （4）根据新定义的含义可得答案； （5）①根据新定义，分两种情况讨论即可；②求解，如图，当时，，，如图，当时，，，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，点表示的数是，点表示的数是4，线段的长度是，可理解为；如图2，点表示的数是0，点表示的数是7，线段的长度是，可理解为； （2）点表示的数是，点表示的数是，则与两点间的距离即； （3）∵， ∴或， ∴或； （4）若射线表示，射线表示，则度； （5）①当在的左边时，， ∴， 解得：， 当在的右边时， ， 解得：， 综上：当或时，； ②∵，，， ∴， 如图，当时，，， ∵， ∴， 解得：， 如图，当时，，， ∵， ∴， 解得：， 综上：当或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，角的和差运算，熟练的利用数形结合的方法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 24．如图，长方形纸片，点分别是边上的动点，将，分别沿，折叠，点的对应点分别是点，点． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若点在同一直线上，探索与的关系，并说明理由． (3)若，直接写出折叠后的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质即可求解； （）根据折叠的性质分两种情况即可求解； 本题考查了折叠的性质，角的和差关系，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可得，，， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠可得， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 当折叠后的图形如图时，， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为． 压轴题型五 动角问题 25．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称射线是的半角线，但射线不是的半角线． (1)如图1，已知，垂足为O，，在射线，中，射线______是的半角线； (2)如图2，同一平面内，已知，射线是的半角线，求； (3)如图3，，射线同时从开始，分别以每秒5°和每秒3°的速度按逆时针方向绕点O旋转，当射线旋转一周时同时停止运动，设旋转的时间为t（时间单位：s）．问t为何值时，射线是的半角线． 【答案】(1) (2)或30° (3)t为或或时，射线是的半角线 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程； （1）运用新定义“半角线”，即可求得答案； （2）分两种情况：当射线在的外部时或当射线在的内部时，分别结合图形运用新定义“半角线”，进行角的计算即可； （3）根据与的关系分情况讨论，分别根据新定义进行角的计算即可； 熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1） 如图1，∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴射线是的半角线， 故答案为：； （2）①当射线在的外部时，如图1， ∵，射线是的半角线， ∴， ∴，即， ∴ ②当射线在的内部时，如图2， ∵，射线是的半角线， ∴， ∴，即， ∴， ∴或． （3）①当时，射线都在内部，如图3， ，， ∵射线是的半角线， ∴， ∴， 解得：； ②当时，射线在外部，射线在内部，如图4， ，， ∵射线是的半角线，射线都在内部， ∴， ∴， 解得：； ③当时，射线都在外部，如图5， ，， ∵射线是的半角线， ∴， ∴， 解得：． 综上所述，t为或或时，射线是的半角线． 26．【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若．则我们称射线是射线的“友好线”．例如．如图1，，，则，称射线是射线的友好线；同时，由于，称射线是射线的友好线． 【知识运用】 （1）如图2，．射线是射线的友好线．则_____； （2）如图3，，射线与射线重合．并绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合．并绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止： ①是否存在某个时刻t（秒），使得的度数是，若存在，求出t的值，若不存在．请说明理由； ②当射线相遇后，射线中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值． 【答案】（1）40；（2）①存在，28秒或44秒；②秒或45秒． 【分析】本题考查了角的运算，角的旋转定义，解一元一次方程等知识，读懂题目提供的材料，正确分类解决是本题的关键． （1）根据“友好线”的含义即可完成； （2）①分两种情况：与相遇之前，根据减去、旋转的角度的和等于列出方程即可；与相遇之后，根据、旋转的角度的和减去等于列出方程即可；②分是的友好线和是的友好线进行讨论求出结果即可． 【详解】解：（1）∵射线是射线的“友好线”，且， ∴ ． （2）射线与射线重合时，（秒）， ①存在某个时刻t（秒），使得的度数是，有两种情况： 在相遇前，， ∴； 在相遇后，， ∴，． 综上所述，当t为28秒或44秒时，的度数是； ②相遇之后： 是的友好线， ，即， ∴， 是的友好线， ，即， ∴； 综上所述，当t为秒或45秒时，射线中恰好有一条射线是另一条射线的友好线． 27．数学活动课上同学们对所学知识深入思考，如图1，点C在线段上，图1中共有三条线段，，，若其中有两条线段长度比为，则命名点C为线段的“幸福点”；此模型下，如图2射线在的内部，图2中共有三个角，，，若其中有两个角的度数比为，则命名射线为的“幸福线”． (1)线段的中点是否为这条线段的“幸福点”，说明理由； (2)若，点C为线段的“幸福点”，求线段的长度； (3)如图3，已知，射线从出发，以的速度顺时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，两条射线同时旋转，当射线与射线重合时，运动停止，设旋转运动的时间为，当t为何值时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)9或6或12 (3)或或，理由见详解 【分析】本题主要考查再新定义下线段的数量关系和角度之间的关系，以及一元一次方程的应用， 根据线段中的关系和“幸福点”的定义即可求得； 分情况讨论点C的位置，结合“幸福点”定义找到对应关系计算即可； 计算射线和射线移动过程中所形成的角，分情况讨论构成角的“幸福线”所在位置，找到对应关系计算即可； 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵点C为线段的中点， ∴， ∴， 则线段的中点是这条线段的“幸福点”； （2）∵点C为线段的“幸福点”，， ∴，或，或； 当，则； 当，则，解得； 当，则，解得，那么； 综上所述，线段的长度9或6或12； （3）根据题意得，，则，， 当重合时，，解得， ∴射线与射线运动时间为， ∵射线是以射线、为边构成角的“幸福线”， ∴，或，或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，t为或或时，射线是以射线、为边构成角的“幸福线”． 28．已知，过顶点O作射线，若，则称射线为的“好线”，因此的“好线”有两条，如图1，射线，都是的“好线”． (1)已知射线是的“好线”，且，求的度数． (2)如图2，O是直线上的一点，，分别是和的平分线，已知，请通过计算说明射线是的一条“好线”． (3)如图3，已知，，射线和分别从和同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，的速度为每秒，的速度为每秒，当射线旋转到，立即绕点O按逆时针方向旋转，直至射线与重合时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线能否成为的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 【答案】(1)或； (2)见解析 (3)秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据“好线”的定义，可得，再分在内部时，在外部时，两种情况分别求值即可； （2）根据，分别是和的平分线，可得，，进而即可得到结论； （3）设运动时间为t ，则 ，，分3种情况：射线顺时针旋转，当在上方时；射线顺时针旋转，当在下方时；射线逆时针旋转时，当在下方时，分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵射线是的“好线”，且， ∴， ∴当在内部时， ， 当在外部时，， ∴或； （2）∵，分别是和的平分线 ∴ (∠MOP+∠NOP)=，， ∴， ∴∠BOP=∠AOP ∴是的一条“好线” ； （3）解：设运动时间为t ， ∵， ∴， 射线顺时针旋转，当在上方时，即 ， ， ∴ 解得：； 射线顺时针旋转，当在下方时，即， ， ， ∴， 解得：； 射线逆时针旋转时，当在下方时，即， ，， ∴， 解得：， 综上所述：运动时间为秒或秒或秒． 29．年月日，深外（集团）年度表彰大会暨文艺演出隆重举行．其中我校教职工参演的《璀璨》，展现了深外初中部的风采，也体现了艺术之美，如图．学生小红想从图形旋转的角度来学习舞蹈的动作，如图，为了方便研究，定义两手位置分别为，两点，两脚位置分别为，两点，为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转：    (1)在一张照片中，小红发现某一时刻，如图，，，三点共线，但不在水平方向上，且．试求； (2)在一段表演的视频中，小红发现，舞者两腿左右张开，使得、关于对称且．开始运动前、、三点在同一水平线上，如图，、绕点同时开始逆时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，、停止运动．设运动的时间为． 当，，三点共线时，__________； 在表演过程中，是否存在时刻，使得？如存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；存在时，使得． 【分析】（）由，，三点共线，得到，再根据及即可求解； （）当，，三点共线时，，列出方程即可求解；时，，列出方程即可求解； 本题考查了角的计算，一元一次方程的应用，根据图形找到角之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当，，三点共线时，， ∴， 解得， 故答案为：； 存在． 当时，， ∴， 解得， ∴存在时，使得． 30．【阅读理解】 定义：一条射线在内部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的内分线；一条射线在外部，且与角的两边边所构成两个角、，若这两个角的大小满足的关系，则称为的外分线．内、外分线统称为倍分线． 【知识运用】 (1)如图（1），若，为的一条内分线，求的度数． (2)如图（2），已知，． ①若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转．若t秒后为的外分线时，恰为的内分线，求m的值． ②若射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，射线从出发，以的速度逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．当由三条射线组成的图形中，其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时，求时间t的值． 【答案】(1)或 (2)①或；②或或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，倍分线的定义： （1）根据题意可得或，再由即可求出答案； （2）①先推出在内部，再求出，由题意得，，根据题意可得，则，解得；②当时，如图2-3所示，当是的外分线时，则；如图2-4所示，当是的内分线时，则或；当时，如图2-5所示，当是的外分线时，则；如图2-6所示，当为的内分线时，则或；四种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵为的一条内分线， ∴或， ∵， ∴或； （2）解：①∵， ∴， ∴在内部， ∵，， ∴， 由题意得，， ∵为的外分线时， ∴， ∴， 解得； 如图2-1所示，当时，则， ∴； 如图2-2所示，当时，则， ∴； 综上所述，或； ②当时， 如图2-3所示，当是的外分线时，则， ∴，此时方程无解； 如图2-4所示，当是的内分线时，则或， ∴或， ∴或， 解得或（舍去）； 当时， 如图2-5所示，当是的外分线时，则， ∴， 解得； 如图2-6所示，当为的内分线时，则或， ∴或， 解得或； 综上所述，当由三条射线组成的图形中，其中一条射线是另两条射线为边构成的角的倍分线时， 或或或． 压轴题型六 角平分线计算 31．（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是： （1）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，推出即可； （2）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，用表示即可； （3）分三种情况讨论，第一种：在上，第二种：在下侧，之间，第三种：在之间，即可得到． 【详解】解：设， 则， 平分，平分， ； （2）设， 则， 平分，平分， ， 故答案为：； （3）①当在上，即在之间， 设， 则， 平分，平分， ； ②当在直线下方，且在之间时， ， ； ③当在直线下方，且在之间时， 由②得，， ； 综上所述，或． 32．如图，在的内部引一条射线，则图中共有个角，分别是、和．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“定分线”． (1)一个角的角平分线______这个角的“定分线”（填“是”或“不是”）； (2)如图，若，其中射线是的“定分线”，请求出的度数； (3)如图，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，并与同时停止旋转．请直接写出射线是“定分线”时的值． 【答案】(1)是； (2)或或； (3)或或． 【分析】（）根据角平分线的定义即可求解； （）分三种情况：①是的角平分线；是的三等分线，且更小；③是的三等分线，且更大进行解答即可求解； （）分三种情况：①；②；③；分别画出图形列出方程解答即可求解； 本题考查了“定分线”的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：一个角的角平分线是这个角的“定分线”， 故答案为：是； （2）解：①当是的角平分线时，； ②当是的三等分线时，且更小时， ； ③当是的三等分线时，且更大时， ； 综上，的度数为或或； （3）解：①当时，如图， 则， 解得； ②当时，如图， 则， 解得； ③当时，如图， 则， 解得； 综上，的值为或或． 33．图1，把一副三角板拼在一起，边放在直线上，其中，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度，在转动过程中，三角板一直在直线上方，设． ①若平分，求； ②若，求． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②分用含的代数式表示出和，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴； （2）①∵， ∴， 当平分时，， ∵， ∴， ∴； ②当射线在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 当射线在内部时， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 综上所述，满足条件的的值为或． 34．如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)能，或； (3)能或． 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 35．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用． （1）先求出度数，根据角平分线定义求出和度数，求和即可得出答案； （2）根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可； （3）分两种情况：①射线，只有1个在外面，根据角平分线定义得出，，求出；②射线，个都在外面，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可． 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 36．（1）如图1，已知点C、D为线段上两点，且，点M和点N分别是线段和的中点．若线段，则线段______， ______， ______． （2）已知、为从顶点出发的两条射线，且，射线和射线分别平分、． ①如图2，若、均为内的两条射线，且，求的度数． ②如图3，若为外的一条射线，且，则______． 【答案】（1）5；4；；（2）①；②64或16 【分析】本题考查了角平分线定义，角的运算，线段的和差和线段中点性质，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）根据题意求得、、、，再根据中点求得、，利用即可求解； （2）①根据题意求得和，由平分线定义得和，再由求得，即可求解． ②根据题意求得，由平分线定义得，有，结合题干的条件，下面分类讨论，当在内部时，的取值，当在外部时，的取值，即可解题． 【详解】解：（1），， ，， ，， ∵点M和点N分别是线段和的中点， ，， ， 故答案为：5；4；； （2）①， ， ， 平分， ， ， ， ，， 平分， ， ； ②当在内部时， ，平分， ， ． ， ． 平分， ， ， ； 当在外部时，， ， ， ． 压轴题型七 余角、补角计算 37．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且OE在内部，求的度数； (2)若OE恰好平分，求的度数； (3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 38．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100 (2) (3)①或30或48；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 39．已知：，，，是从点O引出的三条射线．    (1)如图1，若平分，平分，当时，______；当射线绕点O在内部旋转时，______； (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余； (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由； ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题是角的综合题，主要考查角的和差，角平分线的定义，余角的定义等知识，关键是运用角平分线和角的和差正确表示所需要的角． （1）由角平分线的定义可分别求出和，再根据求解即可；同理可求出第二个空； （2）由角平分线的定义分别表示出与，然后根据整理，即可证明； （3）①由角平分线的定义分别表示出与，可得，再结合，求解即可； ②由角平分线的定义分别表示出与，根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴和互余； （3）解：①如图，当时，    ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴和互余； ②如图，当时，    ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴ ． 40．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”； (1)若，且在内部，则 ； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （）根据“好线”的定义即可求解； （）根据“好线”和角平分线的定义求解即可； （）分两种情况：在内部和在内部，进行解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，平分， ∵射线是的“好线”， ∴， ∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：或． 理由：当在内部时，如图， 由（）可得，， 设，则，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 当在内部时，如图， 由（）可得， 设，则， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴； 综上，当在内部时，；当在内部时，． 41．阅读理解： 如图，从的顶点出发，在的内部作一条射线，将分得的两个角为和，其中至少有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”．请回答以下问题： (1)若，，请判断此时是否为的“分补线”，并说明理由； (2)若平分，为的“分补线”， ①当与重合时，求的度数； ②当为的“分补线”时，请画出图形并求出此时的度数． 【答案】(1)是的“分补线”，理由见解析； (2)①；②或 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角等，理解“分补线”的概念是解题的关键． （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分补线”的定义，分和，根据，建立方程，解方程，进一步求解即可； 【详解】（1）解：是的“分补线，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是的“分补线； （2）解：①当与重合时， ∵平分， ∴， ∵为的“分补线”， ∴， ∴， ②设 ∵平分，为的“分补线”， ∴， ∴ 又∵为的“分补线”，则在的内部， 如图所示， 当 ∴ ∵ ∴ 即 解得： ∵为的“分补线”， 当， ∴ ∵ ∴ 解得： 综上所述，或 42．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【答案】(1) (2)或 (3)①4或16；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可。 【详解】（1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$